数学课堂导学案：两角差的余弦公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1。两角差的余弦公式【例1】已知sinα=，cosβ=,求cos(α-β)的值。思路分析：根据两角差的余弦公式知,还须求cosα、sinβ.由条件可知，只要对α、β所处的象限进行讨论即可.解:∵sinα=＞0，∴α为第一、二象限角。当α为第一象限角时，cosα=;当α为第二象限角时,cosα=—。∵cosβ=＞0,∴β为第一、四象限角.当β为第一象限角时，sinβ=；当β为第四象限角时，sinβ=—。∵cos（α-β)＝cosαcosβ+sinαsinβ，∴当α、β均为第一角限角时，cos(α—β）=×+×=;当α为第一象限角,β为第四象限角时，cos(α—β）＝×+×（-）=;当α为第二象限角,β为第一象限角时，cos（α-β）=（-)×+×=—;当α为第二象限角，β为第四象限角时，cos（α-β）＝(—)×+×（-)=-.温馨提示(1）解题时，由结论出发分析题目作了哪些条件准备，还需再求什么,明确理解题的目标。(2)已知条件中给出某个角的三角函数值,但并未指出角α所在的象限时，一般要进行分类讨论。2．灵活应用两角差的余弦公式【例2】已知cos(α-)=—,sin（—β)=，且α∈（，π)，β∈(0，π2）,求cos的值.思路分析:本题是给值求值的问题，若不考虑条件,盲目地看cos无法求.为此寻求已知条件中角α—、-β与欲求式中角的关系,不难发现=（α—）-（-β），这样将cos的值转化为cos［(α-)—(-β)］的值，可利用两角差的余弦公式求得。解：∵＜α＜π,0＜β＜，∴＜＜，0＜＜，＜α+β＜。∴＜α-＜π,—＜—β＜,＜α+＜.又cos(α—)=-,sin（—β)=,∴sin（α-）=,cos(-β）=。∴cosα+=cos［(α—）-（—β)］=cos(α-)cos(—β)+sin(α—)sin(-β)=(-)×+×=—.温馨提示像这类给值求值问题，关键是抓住已知条件中的角与所求式中角的联系，即想办法利用已知条件中角表示所求式中的角,这个过程我们称作“角的变换”,同学们应注意总结，积累经验。3。两角差的余弦公式的理解与变形是疑点【例3】以下命题：①cos（α-β）=cosαcosβ-sinαsinβ；②对任意角cos（α—β)=cosαcosβ+sinαsinβ都成立；③cos（α—β）=cosα—cosβ；④cos70°cos10°+sin70°sin10°=。其中正确命题为________________.思路分析：①式错误；②式正确。③式错误,④式正确,逆用两角差的余弦公式即可.答案：②④各个击破类题演练1已知sinα=,cosβ=-，α、β均为第二象限角,求cos(α-β）.解：由sinα=，α为第二象限角,∴cosα=。又由cosβ=—，β为第二象限角,∴sinβ=∴cos(α—β）=cosαcosβ+sinαsinβ=（-）×（—)+×=。变式提升1（1）已知tanθ=,θ∈（0,)，求cos（—θ）。解：∵tanθ==，且sin2θ+cos2θ=1，θ∈(0,),sinθ＞0,cosθ＞0，解得：sinθ=,cosθ=，∴cos（-θ)=cos·cosθ+sin·sinθ=.（2)若将条件θ∈(0,）去掉，结果如何.解：由tanθ=，θ在第一或第三象限.若θ在第一象限，同（1）,若θ在第三象限，则sinθ=—,cosθ=—。∴cos（—θ)=-×（—)+×(-）=类题演练2已知α、β为锐角,cosα=，sin（α+β)=，求cosβ。解:∵α为锐角且cosα=，∴sinα=.又β为锐角，∴α+β∈(0,π）.又sin(α+β)=＜sinα，∴α+β∈(，π）。∴cos(α+β)==∴cosβ=cos［（α+β）-α］=cos（α+β）cosα+sin(α+β）sinα=()×+。变式提升2已知:cos（α+β)=，cos（α—β)=—，＜α+β＜2π，＜α—β＜π，求cos2β.解：∵＜α+β＜2π，cos（α+β）=,∴sin(α+β）=-,又∵＜α-β＜π,cos(α-β)=-，∴sin(α—β)=.cos2β=cos［（α+β)-(α—β）］=cos（α+β)cos（α—β）+sin(α+β）sin（α—β）=—1。类题演练3下列说法中错误的是（）A。存在这样的α和β使cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβB.不存在无穷多个α和β使得cos(α-β）=cosαcosβ—sinαsinβC.对于任意的α和β，都有cos（α-β)=cosαcosβ+sinαsinβD。不存在α和β,使得c