数学课堂导学案：二倍角的正弦、余弦、正切公式（一）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1。二倍角公式的应用【例1】(1）求coscos的值；（2）求cos20°·cos40°·cos80°；（3)求的值.解：（1）coscos=cossin=·2cossin=sin=.（2）原式===(3）=温馨提示对于这类给角求值的问题，应首先观察题目中各角之间的关系。（1）根据、两角互余，将cos换成sin,再配以系数2即可逆用二倍角公式求值；（2）由于各角之间具有倍数关系，40°=2×20°，80°=2×40°，故分子分母同乘以sin20°，便可逆用二倍角公式求值；(3）由结构特点看应先通分，分子正好逆用两角差的正弦公式，分母逆用二倍角公式，约分后即可求值。2.公式的变形应用【例2】（1）化简：；（2）设α∈（,2π），化简：.思路分析：（1）1+sin8=sin24+2sin4cos4+cos24=（sin4+cos4）2，2（1+cos8）=4cos24.（2）连续运用公式:1+cos2α=2cos2α.解：(1）原式==2｜sin4+cos4｜+2|cos4｜。因为4∈（π，）,所以sin4＜0，cos4＜0.故原式=—2（sin4+cos4)—2cos4=-2sin4—4cos4=—2（sin4+2cos4）.（2）因为α∈（，2π),所以cosα＞0，cos＜0.故，原式=.温馨提示（1)带有根号的化简问题，首先要去掉根号，想办法将根号内的式子化成完全平方式，即三角函数中常用的解题技巧：“变次”,其中用到了二倍角正弦和余弦的两个重要的变形：1±sinα=（sin±cos）2,1+cosα=2cos2.（2）脱掉根号时要注意符号问题,如，利用α所在的象限,判断cos的正负,然后去掉绝对值符号.3。正确理解二倍角公式中“二倍”的含义,灵活运用公式【例3】设sin（-x）=,0＜x＜，求的值.思路分析:本题主要结合倍角公式考查给值求值问题.要抓住已知条件中角和被求式中角的关系，（+x)与（—x）互余,2x与-x的2倍角互余，即cos2x=sin（±2x）=sin［2(±x）]。解法1：∵0＜x＜，∴0＜-x＜.∴cos(—x)=又cos(+x）=sin(-x）=，∴原式===2cos（-x）=.解法2：∵cos2x=cos2x—sin2x=（cosx+sinx)（cosx-sinx）=sin（x+）·cos（x+）=2sin（x+）cos(x+），∴原式==2sin（x+）=2cos（—x）由解法1可知cos(—x）=，∴原式=2×=.温馨提示(1）在给值求值问题中，应该首先找出已知中的角和所求式中角的联系，这是我们解决三角函数问题的常规思路，概括为“先角后函数”.（2)对于二倍角应该有广义上的理解，4α是2α的2倍，3α是α的2倍，±2x是±x的2倍.各个击破类题演练1求下列各式的值：（1）（cos-sin）（cos+sin）;(2）—cos2；（3）+cos215°；（4）tan67°30′—tan22°30′。解：(1)原式=cos2-sin2=cos=；（2）原式=—(2cos2-1）=-·cos=；（3)原式=（2cos215°-1）=·cos30°=；（4）原式=tan67°30′-tan(90°-67°30′）=tan67°30′-=变式提升1化简:sin10°sin30°sin50°sin70°.解：原式=cos80°·cos40°·cos20°=.类题演练2化简：（1）；（0＜α＜）(2）θ∈(0，π）；解:（1)原式==｜sinα—cosα|。∵0＜α＜，∴sinα＜cosα,sinα-cosα＜0。∴原式=-（sinα-cosα）=cosα-sinα。（2）原式===|sin+cos|—|sin—cos|∵0＜θ＜π，∴0＜＜。①当0＜≤时，cos≥sin＞0，此时原式=（sin+cos）-（cos-sin）=2sin，②当＜＜时，sin＞cos＞0，此时原式=(sin+cos)—（sin-cos）=2cos。变式提升2化简：.解法1：原式===cot2α.解法2：原式====cot2α。类题演练3（2005江苏，10)若sin（-α）=,则cos（+2α）等于（）A。B.C。D.解析：cos（+2α）=2cos2（+α)-1.∵（-α）+（+α）=,∴cos（+α)=sin（-α）=。∴cos（+2α）=2×（）2—1=.答案：A变式提升3若cos（+x)=，＜x＜。求的值.解法1:∵cos（+x）=，＜x＜,∴＜+x＜2π，则sin(+x)=—.从而cosx=cos［（+x）-］=cos（+x）cos+sin（+x）sin=×+（—)×=,∴sinx=，tanx=7。故原式===。解法2:原式===sin2x·t