数学课堂导学案：6三角函数模型的简单应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1.用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题【例1】某港口的水深y（米）是时间t(0≤t≤24,单位：小时）的函数，下面是水深数据:t（时）03691215182124y(米)10.013。09。97。010。013.010。17。010。0根据上述数据描出的曲线如下图所示,经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y=Asinωt+b的图象.(1)试根据以上数据,求出y=Asinωt+b的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5米时是安全的，如果某船的吃水深度（船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港,则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间）？思路分析：(1）从拟合曲线可知，函数y=Asinωt+b中的b，由t=0时的函数值取的，t=3时取得最大值，进而可求得ω、A、b的值,即得函数的表达式。(2）根据（1）中求得的函数表达式，求出数值不小于4。5+7=11.5（米）的时段，从而就可回答题中的两问.解:(1）从拟合曲线可知：函数y=Asinωt+b在一个周期内由最大变到最小需9-3=6小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12小时,因此=12，ω=.又∵当t=0时，y=10；当t=3时，ymax=13.∴b=10,A=13-10=3。于是所求的函数表达式为y=3sinx+10。(2）由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4。5米，故在船舶航行时水深y应大于等于7+4.5=11。5(米).由拟合曲线可知，一天24小时，水深y变化两个周期,故要使船舶在一天内停留港口的时间最长，则应从凌晨3点前进港，而从第二个周期中的下午15点后离港.令y=3sinx+10≥11。5，可得sinx≥.∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z).∴12k+1≤x≤12k+5（k∈Z）。取k=0，则1≤x≤5；取k=1，则13≤x≤17。而取k=2时，则25≤x≤29(不合题意）.从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长,就应从凌晨1点（1点到5点都可以）进港，而下午的17点（即13点到17点之间)前离港，在港内停留的时间最长为16小时。2.从实际问题中抽象出三角函数模型【例2】如右图，某大风车的半径为2m，每12s旋转一周,它的最低点O离地面0.5m.风车圆周上一点A从最低点O开始,运动t（s)后与地面的距离为h（m）.（1）求函数h=f（t)的关系式;(2)画出函数h=f(t）的图象。解：（1)如下图,以O为原点,过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系。设点A的坐标为（x，y），则h=y+0.5.设∠OO1A=θ，则cosθ=，y=—2cosθ+2.又θ=×t，即θ=t,所以y=-2cost+2，h=f（t）=—2cost+2.5。(2）函数h=-2cost+2.5的图象如下温馨提示呈现周期性变化规律的实际问题的解决往往与三角函数有关。实际问题的背景往往比较复杂，具有很强的现实生活色彩,语言表达形式不同于常规训练的简单问题，因此在解决实际问题时要注意：（1）自变量的变化范围。（2）数形结合，通过观察图形，获得本质认识。（3）要在实际背景中抽取出基本的数学关系比较困难,因此要认真仔细地审题，多进行联想，选用适当数学模型。3.绝对值对周期函数的影响【例3】画出下列函数图象并观察其周期性.（1）y=sin｜x｜；（2）y=cos｜x｜.思路分析：本题中含有｜x｜,故应先对x进行分类讨论去掉绝对值.根据绝对值的意义可知，x≥0的部分应是y=sinx,y=cosx右半平面的部分，由于这几个函数都是偶函数，其图象应关于y轴对称，于是可作出x＜0部分的图象。解:（1)y=sin｜x｜=其图象如下图所示：从图中可以看出y=sin｜x｜不再是周期函数。(2）y=cos｜x｜=其图象如下图所示:从图中可以看出y=cos|x｜仍是周期函数，其周期为2π,而且y=cos｜x｜的图象与y=cosx的图象相同.各个击破类题演练1已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（0≤t≤24,单位小时)的函数，记作:y=f（t).下表是某日各时的浪高数据:t(时)03691215182124y（米）1。51。00.51.01。510。50.991.5经长期观测，y=f（t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b。(1)根据以上数据,求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；（2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请根据（1）的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间,有多少时间可供冲浪者进行运动？解:(1）由上表中数据，知周期T=12。∴ω===。由t=0，y=1.5，得A+b=1.5。①由t=3,y=1。0，得b=1。0。②∴A=0。5,b=1,∴振幅为，∴y=cost+1.(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放，∴cost+1＞1,∴cost＞0.∴2kπ-＜t＜2kπ+，即12k—3＜t＜12k+3。③∵0≤t≤24,故可令③中k分别为0，1，2得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24。∴在规定时间上午8:00至晚上20:00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动：上午9：00至下午15：00。变式提升1(2006广东模拟）如下图某地夏天从8—14时用电量变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式。解：（1）最大用电量为50万度，最小用电量为30万度.（2）观察图象可知,从8-14时的图象是y=Asin（ωx+φ）+b的半个周期的图象.∴A=×(50-30）=10,b=×(50+30)=40。∵=14—8,∴ω=，∴y=10sin（x+φ）+40。将x=8,y=30代入上式，解得φ=，∴所求解析式为y=10sin(x+)+40，x∈［8，14］。类题演练2要在宽为6米的教室当中装一盏电灯，电灯装在距离正中桌面的高是多少米时,才能使两边靠墙的课桌得到的亮度最大?（已知：电灯对课桌的照度E=cosα，I为电灯的光度，b、α如右图所示)。解：由题设E=及b=得E=sin2αcosα要使靠墙的课桌得到最大亮度，即E值最大.∵是常数，且cosα的值使得（sin2αcosα)2与sin2αcosα同时达到最大值，因(sin2αcosα）2=cos2α(1—cos2α)2=·2cos2α·（1-cos2α)·（1—cos2α）,又由α为锐角，且2cos2α+(1—cos2α)+(1—cos2α)=2为定值，∴当2cos2α=1—cos2α,即cosα=时（sin2αcosα）2最大.亦即E最大,这时h=（米).注：若x+y+z=k,k为定值，x＞0,y＞0，z＞0，则当且仅当x=y=z时xyz有最大值。变式提升2将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如右图所示坐标系中，轮胎以角速度ωrad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针到轴(O)的距离为rcm，求气针（P）的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求出P的运动周期.当φ=，r＝ω=1时,作出其图象.解：过P作x轴的垂线，设垂足为M,则PM就是正弦线.y=γsin(ωt+φ)，因此T=,当φ=，γ=ω