数学课堂导学：正弦函数的图象与性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、正弦函数的图象【例1】作函数y=3tanxcosx的图象。思路分析：注意函数的定义域。解：由cosx≠0，得x≠kπ+，于是函数y=3tanxcosx的定义域为{x｜x≠kπ+,k∈Z}。又y=3tanxcosx=3sinx，即y=3sinx（x≠kπ+,k∈Z).按五个关键点列表：x0π2πsinx010-103sinx030—30描点并将它们用光滑曲线连起来:（如下图)先作出y=3tanxcosx，x∈［0，2π]的图象,然后向左、右扩展，去掉横坐标为{x｜x=kπ+,k∈Z}的点,得到y=3tanxcosx的图象。温馨提示（1)函数y=3tanxcosx的图象与y=3sinx(x≠kπ+，k∈Z）的图象在x=kπ+处不同.因此，作出y=3sinx的图象后，要把x=kπ+（k∈Z）的这些点去掉。(2)作三角函数图象时，一般要先对解析式进行化简，需要注意的是，要保持其等价性。因此，作函数图象时，要先求定义域。各个击破类题演练1画出y=2sinx，x∈［0，2π］的图象。思路分析：先列出五个关键点，然后在坐标系中描出这五个点，最后用一条平滑的曲线依次把这五个点连接起来就得到y=2sinx，x∈［0，2π］的图象。解:列表：x0π2πsinx010—102sinx020—20描点并将它们用平滑曲线连接起来：温馨提示五点法是画三角函数图象的基本方法,其步骤为：（1)列表；（2）描点；（3）连线.变式提升1根据正弦函数图象求满足sinx≥的x的范围。解：首先，在同一坐标系内，作出y=sinx,y=的图象.然后观察长度为2π的一个闭区间内的情形，如观察［0，2π］找出符合sinx≥的x的集合［,］.最后拓展到x∈[2kπ+,2kπ+］，k∈Z.温馨提示（1)一般地，y=sinx观察长度为2π的区间,常常是[0，2π］或[—，]，即一个周期区间.（2）这类问题也可用单位圆,借助三角函数线来解决。二、正弦函数的定义域，值域与性质【例2】求下列函数的值域和最值：（1)y=2sinx—1；（2)y=3sin(3x+）+2；(3）y=2cos2x+5sinx—4；(4)y=.思路分析:利用｜sinx｜≤1，通过变量代换转化为基本函数。解：(1)∵—1≤sinx≤1,∴-2≤2sinx≤2.故—3≤2sinx—1≤1.当x=2kπ+（k∈Z)时,y有最大值1；当x=2kπ-（k∈Z）时,y有最小值—3.值域为［—3,1］.(2）u=3x+,则有y=3sinu+2，∴值域为［—1，5］.当u=2kπ+（k∈Z),即x=kπ+(k∈Z）时,y有最大值5.当u=2kπ-(k∈Z),即x=kπ-（k∈Z)时,y有最小值-1。(3)设sinx=u,则｜u｜≤1，y=2cos2x+5sinx-4=2-2sin2x+5sinx—4=—2u2+5u-2。①问题转化为在定义域［-1，1］内求二次函数①的值域问题.配方，有y=-2（u-)2+，∵—1≤u≤1,∴当u=-1,即x=2kπ—（k∈Z)时,y有最小值-9;当u=1，即x=2kπ+(k∈Z)时,y有最大值1。∴函数y的值域为［-9，1］。（4)原函数可化为y=，即y=1-.∵1≤sinx+2≤3,∴≤≤1,1≤≤3，-3≤≤-1。故—2≤1≤0.∴函数y的值域为［-2，0]，并且当x=2kπ+时，y=0;当x=2kπ—时,y=-2.类题演练2求下列函数的值域：(1）y=cos2x+2sinx—2；（2)y=.(1)解：y=cos2x+2sinx-2=-sin2x+2sinx-1=—（sinx—1)2。∵-1≤sinx≤1，∴sinx-1∈［-2,0］.∴y∈［—4，0］.∴函数y=cos2x+2sinx—2的值域是［-4，0］.（2)解法一：∵y==1+，∴当sinx=-1时，ymin=1+=。∴值域为[,+∞).解法二:由y=,得sinx=.又∵—1≤sinx≤1,∴∴y≥。∴函数y=的值域为[,+∞）。温馨提示（1)一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，用上述方法时，要注意三角函数的特性。（2)求三角函数的值域,主要是运用sinx,cosx的有界性，以及复合函数的有关性质.变式提升2求函数y=的定义域。思路分析：被开方数为非负数，对数的真数必须大于0.解:为使函数有意义,需满sinx〉0，即由正弦函数或单位圆，如图所示,∴｛x｜2kπ〈x≤2kπ+，k∈Z｝∪{x｜2kπ+≤x<2kπ+π，k∈Z}.【例3】求函数y=2sin（-x）的单调区间.思路分析:可依据y=sinx的单调区间来求本题函数的单调区间。解:y=2sin（-x)=—2sin(x-)，∵y=sinu（u∈R）的递增,递减区间分别为［2kπ—,2kπ+］（k∈Z），［2kπ+，2kπ+］(k∈Z),∴函数y=—2sin(x-)的递增,递减区间分别由下面的不等式确定：2kπ+≤x-≤2kπ+（k∈Z),2kπ-≤x—≤2kπ+(k∈Z)，得2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z∈Z）,2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z）。∴函数y=2sin(-x)的单调递增区间，单调递减区间分别为[2kπ+,2kπ+］（k∈Z），[2kπ-，2kπ+](k∈Z）。温馨提示从y=sinx,x∈［-,］的图象上可看出：当x∈[-,］时，曲线逐渐上升,sinx的值由—1增大到1;当x∈［，]时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到—1。结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［—+2kπ,+2kπ］(k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1；在每一个闭区间［+2kπ,+2kπ］（k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到-1.类题演练3比较下列各组数的大小：（1）sin194°和cos160°；(2)sin和cos;(3）sin（sin)和sin（cos)。思路分析：先化为同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小.解：（1)sin194°=sin（180°+14°)=-sin14°,cos160°=cos(180°—20°）=-cos20°=-sin70°。∵0°<14°〈70°〈90°,∴sin14°〈sin70°。从而-sin14°〉—sin70°,即sin194°>cos160°。（2)∵cos=sin（+）,又〈<+<π，y=sinx在［，π］上是减函数,∴sin〉sin（+）=cos,即sin〉cos。(3）∵cos=sin，∴0<cos<sin<1〈。而y=sinx在（0，)内递增，∴sin(cos）<sin（sin）。变式提升3判断下列函数的奇偶性：(1)f(x）=xsin(π+x);(2）f(x)=。思路分析：可利用函数奇偶性定义判断.解：（1)函数的定义域R关于原点对称.f(x)=xsin（π+x）=—xsinx,f(—x)=—（—x)sin(-x）=-xsinx=f（x）.∴f(x)是偶函数。(2）函数应满足1+sinx≠0,∴函数的定义域为{x∈R｜x≠2kπ+,k∈Z}。∴函数的定义域关于原点不对称.∴函数既不是奇函数也不是偶函数。三、正弦型函数y=Asin(ωx+φ）一般地,函数y=Asin(ωx+φ）(A〉0，ω〉0）,x∈R的图象可以看作是用下面的方法得到的:先把y=sinx的图象上所有的点向左（φ>0)或向右(φ〈0)平行移动|φ｜个单位,再把所得各点的横坐标缩短（ω>1)或伸长（0<ω〈1)到原来的倍(纵坐标不变）,再把所得各点的纵坐标伸长（A〉1)或缩短(0〈A<1)到原来的A倍（横坐标不变)。当函数y=Asin（ωx+φ)(A>0,ω〉0),x∈［0，+∞)表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅;往复振动一次所需要的时间T=，叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数f==，叫做振动的频率；ωx+φ叫做相位，φ叫做初相(即当x=0时的相位)。作函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0）的简图时，一般用五点法作图。【例4】已知函数y=sin（2x+)+，x∈R。（1）当函数值y取最大值时，求自变量x的集合;(2)该函数图象可由y=sinx，x∈R的图象经过怎样变换得到？思路分析：利用y=sinx与y=Asin（ωx+φ）+B的图象变换关系逐步进行变换，但要注意变换的顺序.解:（1）要使y取最大值,必须且只需2x+=+2kπ,k∈Z，即x=+kπ，k∈Z.∴当函数y取最大值时，自变量x的集合为｛x｜x=+kπ,k∈Z｝。(2)将函数y=sinx的图象依次进行如下变换：①把函数y=sinx图象上各点横坐标缩短到原来的倍，得y=sin2x的图象；②把得到的图象各点向左平移个单位，得到y=sin（2x+)的图象；③把得到的图象上的各点纵坐标缩短为原来的倍,得y=sin（2x+）的图象；④把得到的图象向上平移个单位长度，得y=sin（2x+）+的图象.温馨提示（1）本题把2x+视为一个整体,使思路变得十分清晰，这是一种重要而又常用的思考方法;(2)将y=sin2x的图象向左平移个单位，得到y=sin（2x+）的图象，为什么不是向左平移个单位呢？这是因为sin（2x+)=sin［2(x+）]。类题演练4已知函数f（x）=2asin（2x—)+b的定义域为［0,］,最大值为1，最小值为—5，求a，b的值.思路分析：应按a>0和a<0分类讨论。解:∵0≤x≤,∴—≤2x—≤。∴≤sin（2x-）≤1。当a>0时，有当a〈0时，有温馨提示求值域或最大值、最小值问题，一般依据是(1）sinx,cosx的有界性；（2）连续函数在闭区间上存在最大值,最小值。根据上述原则，常把给出的函数变成下面几种形式具体处理：(1）sin（ωx+φ）的一次式形式；（2）y=f(sinx）的形式，并根据｜sinx｜≤1来确定值域。变式提升4下图是函数y=Asi