数学课堂导学：正态分布

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、正态分布的性质【例1】正态总体N（0，1）的概率密度函数是f(x)=。x∈R.(1）求证：f(x)是偶函数；（2)求f（x）的最大值；（3)利用指数函数的性质说明f（x）的增减性。解：(1)对于任意的x∈R，f（-x)===f（x)∴f（x)是偶函数.(2)令z=,当x=0时，z=0,ez=1，∵ez是关于z的增函数，当x≠0时，z＞0，ez＞1,∴当x=0，即z=0时，取得最小值.∴当x=0时，f(x)=取得最大值。（3）任取x1＜0,x2＜0，且x1＜x2,有x12＞x22，∴＜-,∴＜,∴即f(x1）＜f（x2）它表明当x＜0时,f(x)是递增的.同理可得，对于任取的x1＞0，x2＞0，且x1＜x2，有f(x1）＞f（x2）,即当x＞0时，f(x)是递减的.二、利用正态分布的密度函数求概率【例2】设ξ服从N（0，1），求下列各式的值：（1）P（ξ＞2.35);（2)P（ξ＜-1.24）；(3)P(｜ξ|＜1.54）.分析：因为ξ服从标准正态分布，所以可借助于标准正态分布表，查出其值，由于表中只列出x0＞0,P(ξ＜x0)=Φ（x0)的情形，其他情形需用公式：Φ（-x）=1—Φ（x);P（a＜ξ＜b）=Φ（b）-Φ（a）；和P（ξ＞x0)=1-P(ξ＜x0）进行转化。解析:（1）P（ξ＞2.35)=1—P(ξ＜2。35）=1—Φ（2。35）=1—0.9906=0。0094；(2）P(ξ＜-1。24）=Φ(-1。24）=1—Φ（1.24）=1-0.8925=0。1075;(3)P(|ξ|＜1。54）=P(—1。54＜ξ＜1。54)=Φ（1.54）—Φ(—1.54)=2Φ(1。54)—1=0.8764.温馨提示对于标准正态分布N（0，1）来说，总体在区间（x1,x2)内取值的概率P(x1＜ξ＜x2）=φ（x2）—φ（x1）的几何意义是：介于直线x=x1和x=x2间,x轴上方，总体密度曲线下方的阴影部分面积。三、正态分布的应用【例3】从南部某地乘车前往北区火车站搭汽车有两条线路可走,第一条线路穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间（单位为分）服从正态分布N（50,100）,第二条线路沿环城路走,线路较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N（60，16），试计算（1）若有70分钟时间可用，应走哪条线路？(2）若有65分钟时间可用，又应走哪条线路？解析：（1）有70分钟时走第一条线路及时赶到的概率为：P(ξ≤70）=Φ（）=Φ（2)=0.9772。走第二条线路及时赶到的概率为P（ξ≤70）=Φ()=Φ(2。5)=0.9938。所以，应走第二条线路。（2)只有65分钟可用时，走第一条线路及时赶到的概率为：P(ξ≤65)=Φ()=Φ（1。5)=0。9332.走第二条线路及时赶到的概率为P（ξ≤65）=Φ（)=Φ（1.25）=0。8944.所以，应走第一条线路。温馨提示正态分布是自然界中最常见的一种分布，例如测量的误差，人的生理特征的某些数据，学生的考试成绩等，它广泛存在于自然现象及科学技术的许多领域中，在实际应用中，当给定一个标准的正态分布N(0，1)以后,设P(ξ＜x）=P，结合标准的正态分布表可求两个方面的问题：一是已知x的值求概率P;二是已知概率P的值求x的值。若ξ—N（μ，σ2)，则—N（0,1)，从而把一般的正态分布转化为标准的正态分布.各个击破【类题演练1】下列函数是正态密度函数的是(）A。f(x）=B.f（x）=C.f(x）=D.f（x）=思路分析：对照正态密度函数f（x)=易知B选项正确.此时σ=1，μ=0。答案：B【变式提升1】把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位,得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是（)A。曲线C2仍是正态曲线B。曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等C.以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比的曲线C2为概率密度曲线的总体的方差大2D。以曲线C2为概率密度设曲线的总体的均值比以曲线C1为概率密度曲线的总体的均值大2思路分析：正态密度函数为f(x)=，正态曲线对称轴为x=μ,曲线最高点纵坐标为f（μ)=，所以曲线C1向右平移2个单位后，曲线形状没变,仍为正态曲线，且最高点的纵坐标f（μ)没变，从而σ没变，所以方差没变,而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移2个单位,所以均值μ增大2个单位。答案：C【类题演练2】若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1％以下设计的，如果某地成年男子的身高ξ—N(175,62)(单位：cm）,则该地公共汽车门的高度应设计为多高？解析：设该地公共汽车门的高度应设计为xcm，则根据题意可知：P(ξ＞x）＜1％,由于ξ—N(175,62），所以P(ξ＞x)=1—P（ξ＜x）=1-Φ(）＜0。01；也就是:Φ(）＞0。99，查表可知：＞2.33;解得x＞188.98，即该地公共汽车门至少应设计为189cm高.【变式提升2】某镇农民年平均收入服从μ=500元，σ=20元的正态分布，（1）求此镇农民年平均收入在500元—520元间人数的百分比;(2）如果要使农民的年收入在（μ—a,μ+a）内的概率不小于0.95，则a至少为多大？解析：设ξ表示此镇农民的年收入，由已知ξ—N（500，202）。（1）P（500＜ξ＜520）=Φ（)-Φ(）=Φ（1）-Φ(0）=0。3413.这说明此镇农民平均收入在500元—520元间的人数约为34%。(2)令P(μ—a＜ξ＜μ+a)=Φ()-Φ(—)≥0。95，则有Φ（)—[1—Φ（）]≥0.95,有2Φ(）-1≥0.95，所以Φ（)≥0.975,由于Φ(x）是增函数，故查表得()≥1。96,所以a＞39.2，因此要使农民的平均收入在（500-a,500+a）内的概率不小于0.95，a不能小于39。2.【类题演练3】某班有48位同学，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80分，标准差为10，问从理论上讲在80分至90分之间有多少人？解析：设x表示这个班的数学成绩,则x服从N（80，102），P（80＜x＜90)=Φ(）-Φ()=Φ(1）—Φ(0),查标准正态分布表得Φ(1）=0.8413，Φ(0）=0。5000,故P(80＜x＜90）=0.8413-0.5000=0。3413.所以从理论上讲在80分至90分之间有48×0.3413=16.3824≈16(人).【变式提升3】已知测量误差ξ-N(7.5,100)，（单位cm），则必须进行多少次测量才能使至少一次测量的绝对误差不超过10cm的概率大于0.9？解析：设测量的绝对误差不超过10cm的概率为p,则p=P（｜ξ|≤10)=Φ()-Φ(）=Φ（0.25）-Φ(—1.75)=Φ(0.25)-［1—Φ（1.75)］=Φ(0。25）+Φ(1。75）