数学课堂导学：诱导公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、关于诱导公式的理解【例1】若α和β的终边关于y轴对称，则下列各式中正确的是（)A。sinα=sinβB.cosα=cosβC.tanα=tanβD.cos（2π—α）=cosβ解析:α,β终边关于y轴对称可得β=2kπ+π-α，故sinα=sinβ.答案:A温馨提示(1)公式中的角α可以是任意角。(2）这五组诱导公式可以叙述为:①α+k·2π,—α，α+（2k+1)π的三角函数值,等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.为了便于记忆,也可简单地说成“函数名不变，符号看象限”。②α+，—α+的三角函数值，等于α的余名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.③这两套公式可以归纳为k·+α（k∈Z）的三角函数值,当k为偶数时,得α的同名函数值;当k为奇数时,得α的异名函数值,然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶是指k的奇偶.各个击破类题演练1若α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是（）A。sinα=sinβB。cosα=cosβC。tanα=tanβD.sinα=cosβ解析:α，β的终边关于x轴对称,则β=2kπ—α,故cosα=cosβ。答案:B温馨提示给定一个角α。（1)终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为π+α；（2）终边与角α的终边关于x轴对称的角可以表示为—α(或2π-α）；(3）终边与角α的终边关于y轴对称的角可以表示为π—α；（4）终边与角α的终边关于直线y=x对称的角可以表示为—α。变式提升1对于诱导公式中的角α，以下理解中正确的是（)A。α一定是锐角B.α一定是正角C。0≤α≤2πD。α是使公式有意义的任意角解析:我们有时把α当作锐角来记忆公式,事实上，α是使公式有意义的任意角.答案:D二、诱导公式的应用【例2】化简:cos(π+α）+cos(π-α)，其中k∈Z.思路分析一:注意到π+α=kπ++α,π-α=kπ-—α,必须对k进行讨论才能利用诱导公式进行化简.解法一:当k=2n,n∈Z时，原式=cos(kπ++α）+cos（kπ—-α）=cos(2nπ++α）+cos（2nπ-—α)=cos(+α)+cos(——α)=cos（+α)+cos（+α)=2cos(+α).当k=2n+1,n∈Z时，原式=cos［(2n+1)π++α]+cos［(2n+1）π——α］=cos(π++α）+cos(π—-α）=—cos(+α)—cos(+α）=—2cos（+α)。思路分析二:注意到（kπ++α）+(kπ—-α）=2kπ，则有cos（kπ——α)=cos［2kπ—(kπ++α）］=cos（kπ++α）.解法二:原式=cos（kπ++α)+cos(kπ——α)=2cos(kπ++α）.当k=2n,n∈Z时，原式=2cos(2nπ++α）=2cos（+α).当k=2n+1，n∈Z时，原式=2cos（2nπ+π++α）=2cos(π++α)=-2cos(+α）.类题演练2求下列各三角函数的值:(1)sin(）；(2）tan（-855°)；(3)cos210°.思路分析：负角化正角，正角化周期（0°—360°)角，周期角化为锐角（0°-90°).解：(1）sin（）=-sin=—sin(2π+)=-sin=-sin(π+)=sin=。（2)tan（—855°）=-tan855°=-tan（2×360°+135°）=-tan135°=—tan(180°-45°）=tan45°=1。（3)cos210°=cos（180°+30°)=-cos30°=—。温馨提示对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三化为正角的三角函数.若化了以后的正角大于360°，再利用诱导公式一,化为0°到360°间的角的三角函数.若这时的角是90°—360°间的角，再利用180°—α或180°+α或360°-α的诱导公式化为0°-90°间的三角函数，做题时，一定要认真地审视问题，找出最佳的路径.变式提升2已知cos（75°+α)=,其中α为第三象限角,求cos(105°-α）+sin（α-105°）的值.解：分别求cos(105°—α）和sin(α-105°)的值。cos（105°—α)=cos[180°—（75°+α)]=-cos（75°+α)=.sin（α—105°）=-sin(105°-α)=-sin［180°—（75°+α)]=-sin(75°+α).∵cos（75°+α)=>0且α为第三象限角，∴75°+α为第四象限角.∴sin（75°+α)=.∴sin（α—105°）=.∴cos(105°-α）+sin(α—105°）=.温馨提示观察一下每一组诱导公式的等号两边的角度,不难发现,这两个角度的和或差总是一