数学课堂导学：条件概率

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、利用公式P(A｜B)=求条件概率【例1】某个学习兴趣小组有学生10人，其中有4人是三好学生.现已把这10人分成两组进行竞赛辅导，第一小组5人，其中三好学生2人.如果要从这10人中选一名同学作为该兴趣小组组长，那么这个同学恰好在第一小组内的概率是多少？现在要在这10人中任选一名三好学生当组长,问这名同学在第一小组的概率是多少？思路分析：这实际是一道简单的古典概型问题,在第二问中，由于任选的一个学生是三好学生，比第一问多了一个“附加的”条件，因而本题又是一个简单的条件概率题。解：设A={在兴趣小组内任选一个学生，该学生在第一小组｝,B={在兴趣小组内任选一名学生，该学生是三好学生}，而第二问中所求概率为P(A|B），于是P（A）==P(A|B）=温馨提示利用P（B｜A）=求条件概率的一般步骤是：（1）计算P(A）;（2）计算P（AB)(A、B同时发生的概率）；(3）用公式P(B|A)=计算P(B｜A）。其中（1）（2）可利用古典概型等有关计算概率的方法.二、利用P(B|A）=计算条件概率【例2】10个考题中，有4道难题，甲、乙依次不放回抽取,求（1）甲抽到难题的概率；(2）在甲抽到难题的条件下，乙抽到难题的概率。解:基本事件空间Ω包含的事件数为：n(Ω)=10×9=90设事件A表示“甲抽到难题”所包含的基本事件数n(A）=4×9=36.故甲抽到难题的概率为P（A）===，设事件B表示“乙抽到难题”，则事件AB：“甲抽到难题的同时乙也抽到难题”包含的事件数为：n（AB）=4×3=12.∴P(B｜A)==温馨提示利用P（B|A）=计算条件概率时，要明确基本事件空间，以及A，AB包含的结果数.三、利用公式P（B∪C｜A)=P（B|A）+P（C｜A）求概率【例3】在10000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖,5个二等奖，10个三等奖,从中依次买两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率。解析：设“第一张中一等将”为事件A,“第二张中二等奖”为事件B,“第二张中三等奖”为事件C，则P(A）=，P(AB)=,P(AC）=故：P(B|A)=P（C|A）=∴P（B∪C｜A)=P(B|A)+P(C｜A)=即在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率为.各个击破【类题演练1】在100件产品中，有95件合格品,5件次品，从中任取2件，求：（1）第一次抽到次品的概率;（2）第一次和第二次都抽到次品的概率；（3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率。解析：设第一次抽到次品为事件A，第二次抽到次品为事件B，列第一次和第二次都抽到次品为事件AB。（1）从100件产品中任取二件的事件数为n(Ω）==9900.根据分步计数原理，n（A)=·=495，于是P(A）=(2）因为n(AB）==20∴P（AB)=（3）在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到次品的概率为：P(B｜A）=.【变式提升1】一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率为多大？(假定一个小孩是男还是女是等可能的）解析：根据题意基本事件空间为：Ω=｛（男，男），（男,女），(女，男），(女，女)}A={已知有一个是女孩}={（男,女），（女，男），（女，女)｝B=｛另一个也是女孩｝=｛（女,女）}于是所求事件的概率为:P（B|A)=【类题演练2】抛掷一枚骰子，观察出玩的点数，A=｛出现的点数是奇数｝=｛1,3，5｝。B=｛出现的点数不超过3｝=｛1，2,3}，若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的概率.解析:由题意知：n(B）=3，n(AB）=2故出现的点数不超过3的条件下，出现点数又是奇数的概率为：P(A|B）=【变式提升2】袋中装有6个白球，4个红球，从中依次不放回地取出两球，求在第1次摸到白球的条件下,第2次摸到红球的概率。解析:设A={第一次摸到白球｝B=｛第二次摸到红球}则n(A)=6×9=54n（AB）=6×4=24∴P(B｜A)=【类题演练3】掷两枚均匀的骰子，已知第一枚掷出6点,求两枚骰子掷出的点数之和不小于10的概率.解析：设A=｛掷出的点数之和不小于10｝，B=｛第一枚掷出6点}，于是P（A｜B）=。【变式提升3】A、B是两事件，已知，P(A）=0。3,P（B）=0.8，P（B｜A）=0.8.求P（B｜）。解析：由于B=B（A+）=