数学课堂导学：向量数量积的运算律

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、向量数量积的交换律和分配律【例1】已知平面上三个向量a、b、c的模均为1,它们相互之间的夹角为120°，求证：(a—b)⊥c。证法一:∵|a｜=|b|=|c｜=1且a、b、c之间夹角均为120°，∴（a—b）·c=a·c-b·c=｜a|｜c|cos120°-｜b|｜c｜cos120°=0。∴(a—b）⊥c.证法二：如右图,设=a,=b,=c，连结AB、AC、BC的三条线段围成正三角形ABC,O为△ABC的中心,∴OC⊥AB。又∵=a-b,∴(a—b)⊥c。各个击破类题演练1若a、b、c为任意向量,m∈R,则下列等式不一定成立的是（）A.（a+b)+c=a+（b+c）B.m(a+b)=ma+mbC.（a+b)·c=a·c+b·cD。(a·b)c=a（b·c)解析：A项是向量加法结合律。B项是向量数乘分配律。C项是向量数量积分配律。故A、B、C项均正确.D项中，(a·b）c表示与c共线的向量，a（b·c）表示与a共线的向量，而c与a一般不共线,∴（a·b）c≠a（b·c).故选D.答案：D变式提升1（2006湖南高考,理5）已知｜a|=2|b｜≠0，且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是（)A。［0，]B.[，π］C。［，］D.[,π］解析：据题意，x2+|a|x+a·b=0有实根，∴Δ=｜a|2-4a·b∴｜a｜2≥4a·b。cosθ==。∴θ∈[,π］。答案:B二、向量的数量积的应用【例2】(本例是一组应用本节知识的题目）1.(2006重庆高考,理7）与向量a=(，），b=(,）的夹角相等,且模为1的向量是（)A。（）B。(）或(）C.（)D.（)或（)解析:由题意知a与b垂直,设所求向量为m，则m与a或b所成角为45°或135°,排除A、C.验证B或D中任一个值即可迅速得解。答案：B2。（2006重庆高考,文8）已知三点A(2，3),B（—1，—1),C（6，k），其中k为常数。若|｜=｜｜，则与的夹角为()A。arccos（）B。或arccosC.arccosD.或π—arccos解析:由｜|=｜｜，得k=0或6。∴=（-3,-4），=（4，—3)或=（4,3）。∴||=|｜=5.又∵cos〈,〉=，代入坐标,∴与的夹角为或π-arccos。答案：D3.已知向量a、b的夹角为60°,且｜a｜=4，|b｜=2,求（1)|3a-4b｜;(2）（a—b)·（a+2b解：(1)因为｜3a—4b｜2=9|a|2—24a·b+16|=9×16—24×4×2×cos60°+16×4=16×7，所以｜3a—4b｜=.(2)(a-b)·(a+2b）=a2+a·b—2b2=16+4×2×-2×4=12。类题演练2已知｜a｜=｜b|=1，a与b的夹角为，求｜a+b|、｜a—b|的值.思路分析:求向量的模的问题往往转化为求模的平方,这样绝对值号就去掉了,也与向量的模及数量积联系起来了。解:因为a·b=｜a｜|b|cosθ=1×1×cos=,所以｜a+b｜=。同理，可得｜a—b｜==1.变式提升2若非零向量α、β满足｜α+β｜=｜α—β｜，则α与β的夹角为_________.解析一：如图所示，以α、β为邻边作出OACB,则=α+β,=α-β，又|α+β｜=｜α—β｜,即平行四边形OACB的对角线长相等,所以OACB为矩形,所以α⊥β,即它们的夹角为90°.解析二:因为|α+β｜=｜α—β|，所以α2+2α·β+β2=α2-2α·β+β2，即α