数学课堂导学：向量的减法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、向量减法的定义及作图法1。向量减法有两种定义（1)将减法运算转化成加法运算:a—b=a+（-b)。(2）将减法运算定义为加法运算的逆运算,即若b+x=a,则x=a-b。2.向量减法的几何作法在平面内任取一点O,作=a,=b，则=a-b，即a-b表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量。【例1】如下图,已知向量a、b，求作向量a-b。解法一:在平面内任取一点O,作=a，=b,连结AB，则=a—b。(如下图)解法二：在平面内任取一点O，作=a，=—b，连OB，则=a+(-b)=a—b。（如下图）各个击破类题演练1已知向量a，b，c与d，求a-b，c—d(如下图）.思路分析:a-b可以由向量减法的三角形法则(或平行四边形法则）直接作出，也可以看作a+(—b），先作出-b，再利用加法的三角形法则（或平行四边形法则)作出。解:作=a，=b，作，则a—b=—=;作=c，=d,作，则c—d=—==.变式提升1化简:（-)—（-）=___________。解法一：(—)—(—）=--+=+++=(+)+(+）=+=0。解法二:（—)—(-)=——+=（—）+（-)=+=0.答案:0温馨提示解法一是将向量减法转化为加法运算进行化简的.解法二是根据向量减法的几何意义进行化简的.二、用已知向量表示其他向量用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是,第一步:观察各向量位置;第二步：寻找（或作）相应的平行四边形和三角形；第三步：运用法则找关系；第四步:化简结果。【例2】已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b，=c，用a,b，c表示.思路分析：利用三角形法则，把向量互相表示.解：方法一:如图所示，=+=a+=a+（—)=a+c—b.方法二：=+++=++(+）=++0=+（+）=a+(-b+c）=a-b+c.类题演练2已知一个点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为a，b，c，则向量=_______。思路分析:可结合图形，利用向量相等的知识解决。解：如图，=a,=b，=c，则=+=+=+(-)=a+（c—b）=a+c—b.答案：a+c—b变式提升2如下图,在ABCD中,已知=a,=b，用a、b表示向量，。解析:由于=+,而=-b，所以=a-b.由于四边形ABCD为平行四边形，所以=+=a+a-b=2a—b.三、向量减法的综合应用【例3】如图,ABCD中，=a,=b,用a,b表示向量，。（1）当a，b满足什么条件时，a+b,a-b互相垂直?（2)当a,b满足什么条件时,｜a+b｜=｜a-b｜?(3）a+b，a—b有可能是相等的向量吗？为什么?思路分析：运用向量减法的几何意义作图求解.解:a+b,a—b恰对应ABCD的两条对角线，。（1)由a+b与a-b相互垂直，即ABCD的两条对角线互相垂直，所以ABCD为菱形,故相邻边相等，即|a|=|b｜。(2）由|a+b｜=|a—b|,知ABCD两条对角线相等，此时ABCD为矩形，所以a与b相互垂直。(3)不可能.因为ABCD中两条对角线不可能平行,故对应两向量的方向不可能相同.温馨提示把向量的加，减法，向量的模与四边形的边的概念综合起来,拓广了思维的范围。类题演练3给出下列命题，其中正确的是（）①向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反②△ABC中，必有++=0③四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=④若非零向量a与b方向相同或相反,则a+b与a，b之一方向相同A.①②B。③④C.①④D。②③思路分析：一定要注意零向量的特别之处.解:①中当a=0时,命题不正确。④中当a+b=0时,命题不正确.故选D。答案:D温馨提示记住常用关系、常用数据.如△ABC中，++=0，以向量a、b为邻边的平行四边形中，a±b表示的是两条对角线所在的向量。变式提升3试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.已知：如图,在四边形ABCD中，AC