数学课堂导学：向量的概念VIP

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、向量的有关概念关于向量,要注意：1.向量的模：向量的大小——长度称为向量的模，记为｜｜.我们也可以用｜a｜来表示向量a的大小。模是可以比较大小的。2。零向量：长度(模)为零的向量，叫做零向量，记作0，零向量的方向不确定,是任意的.【例1】下列物理量，其中不是向量的有（）①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功A。1个B.2个C.3个D.4个思路分析：一个量是不是向量,就是看它是否同时具备向量的两个要素:大小和方向.解:由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的,所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向,所以不是向量.∴应选D.答案:D各个击破类题演练1判断下列说法正确与否,并说明理由.(1)温度有零上温度，有零下温度，所以温度是向量；（2）作用力与反作用力是一对大小相等，方向相反的向量;（3）线段是向量，数轴也是向量.思路分析：依据向量的定义来判断.解:(1)不正确.虽然温度有上下，但这指的不是方向，故不是向量.（2)正确。作用力与反作用力是作用于同一点，且大小相等方向相反的两个力,因而是向量.（3)不正确。线段只有大小没有方向，故不是向量；数轴只有方向,但没有大小，也不是向量。变式提升1下列命题中，假命题是(）A.向量与的长度相等B.两个相等的向量若起点相同,则终点必相同C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等解析:据向量的有关概念知A,B，C正确，而向量相等需要模相等且方向相同，共线不一定同向，故D是假命题.答案：D二、向量的表示方法1。向量的几何表示法以A为始点，以B为终点的有向线段记作（如图)。应注意，始点一定要写在终点的前面.已知,的长度记作｜｜.如果有向线段表示一个向量，通常我们就说向量.2.用字母表示向量向量除了用上面的符号表示外，通常在印刷时,用黑体小写字母a,b,c,…表示向量。手写时，可写成带箭头的小写字母,，,…用字母表示向量便于向量运算。【例2】热带风暴“麦莎”从A点出发向西行驶了150公里到达B点，然后又改变方向向西北60°走了200公里到达C点，最后又改变方向，向东行驶了150公里到达D点。（1)作出向量，,;（2）求｜|.思路分析:解答本题应先确立指向标，再由行驶方向确定有关向量来求解。解：（1）如图所示.（2)易知与方向相反，故与共线.又｜|=|｜=150，∴ABCD，即四边形ABCD为平行四边形。∴||=||=200（公里）.类题演练2对于下列各种情况,各向量的终点的集合分别是什么图形?(1）把所有单位向量的起点平移到同一点P；(2）把平行于直线l的所有单位向量的起点平移到直线l上的点P；(3)把平行于直线l的所有向量的起点平移到直线l上的点P.解：(1)是以P点为圆心，以1个单位长为半径的圆.(2）是直线l上与点P的距离为1个单位长的两个点.(3）是直线l。变式提升2一架飞机从A点向西北飞行200km到达B点，再从B点向东飞行km到达C点,再从C点向东南60°飞行了km到达D点，求飞行从D点飞回A点的位移.思路分析：利用平面几何三角函数正确画出图形。解:如图所示。由｜BC|=,知C在A的正北,又由|CD｜=，∠ACD=60°知∠CDA=90°，即∠DAC=30°,故的方向为南偏西30°,长度为km.温馨提示(1)准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点。用有向线段表示向量是数形结合思想的具体应用.（2）要注意运用向量观点将实际问题抽象为数学模型,“数学建模”能力是今后能力培养的重要方面。在平日学习中要不断积累经验。三、相等向量与共线向量共线向量也就是平行向量。任一向量a都与它自身是平行向量,并规定,零向量与任一向量是平行向量.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。零向量与零向量相等,任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.共线向量要求几个非零向量的方向相同或相反,当然向量所在的直线可以平行,也可以重合,其中“共线"的含义不同于平面几何中“共线”的含义.实际上,共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等.这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.【例3】如图所示,D，E，F分别是△ABC的三边AB，BC,AC的中点.（1）与相等的向量有____________；（2）与共线的向量有____________；（3）与的模相等的向量有____________.解析:根据相等向量，共线向量，向量的模的概念来解题.（1)相等向量必须满足方向相同,模相等两个条件。∴与相等的向量有,.(2)共线向量即是平行向量,其方向相同或相反，且与向量的模无关.∴与共线的向量有.（3)向量的模相等是指向量的长度相等,与方向无关。∴与的模相等的向量有.答案：（1),(2）(3）类题演练3判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由。（1）若向量a与b同向,且｜a｜＞|b｜，则a＞b.（2）若向量|a｜=｜b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反。（3)对于任意向量a和b，若｜a|=｜b|且a与b的方向相同,则a=b。（4)由于零向量方向不确定,故0不能与任意向量平行。（5）向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反.（6)向量与向量是共线向量,则A、B、C、D四点在一条直线上。(7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量。解：(1)不正确.因为向量是不同于数量的一种量,它由两个因素来确定,即大小与方向，所以两个向量不能比较大小.故(1）不正确。（2）不正确.由|a|=｜b|只能判断两向量长度相等,不能判断方向.（3)正确.∵｜a｜=｜b｜且a与b同向,由两向量相等的条件可得a=b。（4)不正确.由零向量性质可得0与任一向量平行。(5)不正确。因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定.（6）不正确。若向量与向量是共线向量，则向量与所在直线平行或重合，因此,A、B、C、D不一定共线。（7）正确。对于一个向量只要不改变其大小