数学课堂导学：单位圆与三角函数线VIP

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、三角函数线的概念正弦线，余弦线，正切线分别是正弦,余弦，正切的几何表示,是与单位圆有关的有向线段，通过三角函数线可将三角函数问题转化为几何问题。【例1】分别作出和—的正弦线、余弦线和正切线.思路分析：先以原点为圆心,1为半径作单位圆，然后分别作出角度为和-的角的终边，最后按三角函数线的定义作出正弦线、余弦线和正切线.解析：在直角坐标系中作单位圆(如图），以Ox轴的正方向为始边作角的终边，与单位圆交于P点,作PM⊥Ox轴，垂足为M。由单位圆与Ox正方向交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点。则sin=MP，cos=OM,tan=AT,即的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT。同理可作出—的正弦线、余弦线和正切线。sin（—）=M′P′,cos(-）=OM′，tan(-）=AT′,即—的正弦线为M′P′,余弦线为OM′，正切线为AT′.温馨提示(1）三角函数线有方向、正负，是有向线段；（2）在利用三角函数线比较三角函数值的大小时要注意方向、正负。各个击破类题演练1在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边.（1)sinα=；（2)cosα=；（3）tanα=2。解:(1)作直线y=交单位圆于P,Q，则OP与OQ为角α的终边,如图甲。（2)作直线x=交单位圆于M,N,则OM与ON为角α的终边,如图乙.(3）在直线x=1上截取AT=2,其中A的坐标为（1，0），设直线OT与单位圆交于C,D，则OC与OD为角α的终边，如图丙。变式提升1根据下列三角函数值，求作角α的终边,然后求角α的取值集合。（1）sinα=;（2)cosα=;(3)tanα=-1。解:（1）角α的取值集合为｛α|α=2kπ+或α=2kπ+,k∈Z}.(2）角α的取值集合为{α|α=2kπ±，k∈Z}。（3）角α的取值集合为｛α｜α=2kπ+或α=2kπ+，k∈Z}={α｜α=kπ±,k∈Z｝.二、利用三角函数线解简单不等式【例2】在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合.(1)sinα≥;（2）cosα≤—。思路分析：先画出区域边界，再根据三角函数的正负确定区间范围.解：（1）作直线y=交单位圆于A、B两点,连结OA、OB,则OA与OB围成的区域(阴影部分）即为角α的终边的范围.故满足条件的α的集合为｛α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z｝.(2)作直线x=-交单位圆于C、D两点,连结OC与OD,则OC与OD围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围。故满足条件的角α的集合为｛α｜2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z｝。温馨提示(1）三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数定义域；（2）三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的工具。类题演练2利用单位圆解不等式3tanα+>0。思路分析:先画出正切线,再根据平面区域确定角的范围.解：(1）要使3tanα+〉0,即tanα〉,由正切线知kπ<α<kπ+，k∈Z。不等式的解集为(kπ，kπ+）,k∈Z。变式提升2求下列函数的定义域:（1）y=+tanx；（2)y=lg（3-4sin2x）。解:（1）由k∈Z。∴2kπ≤x≤（2k+1）π且x≠2kπ+(k∈Z).∴定义域为[2kπ,2kπ+）∪(2kπ+，(2k+1)π］(k∈Z）。(2）如图，∵3-4sin2x>0，∴sin2x〈.∴〈sinx<.∴定义域为(2kπ-,2kπ+）∪(2kπ+，2kπ+）,k∈Z。三、比较三角函数值的大小【例3】若集合A=［0，2π),集合B={α|sinα〉cosα｝,求集合A∩B。思路分析：三角函数线的作用是利用有向线段直观地表示三角函数值。有向线段的方向表示三角函数值的正负,有向线段的长度表示三角函数值的绝对值。在解决有关三角函数不等式或比较函数值大小方面，利用三角函数线比较简捷.解:依题意当≤α〈π时,sinα〉0，cosα≤0，∴sinα〉cosα成立。当0≤α≤时，如图中以OA为终边表示的角,这时sinα≤cosα.当〈α〈时，如图中以OB为终边表示的角，这时sinα>cosα成立。当π≤α〈时，如图中以OC为终边表示的角,这时sinα〉cosα成立.同理,可推出当≤α〈2π时,sinα≤cosα.综上所述，当<α<时,sinα>cosα.∴A∩B=｛α｜<α〈}.类题演练3比较sin1155°与sin(-1654°)的大小.思路分析：首先利用诱导公式将1155°和-1654°分别变化到0°—360°的角,然后在同一单位圆中作出它们的三角函数线,利用三角函数线即可比较出大小。解：先化成0°-360°间的角的三角函数。sin1155°=sin（3×360°+75°）=sin75°,sin(-1654°）=sin（—5×360°+146°）=sin146°.在单位圆中分别作出sin75°或sin146°的正弦线M2P2,M1P1(如图)。∵M1P1<M2P2，∴sin1155°>sin(—1654°）.变式提升3设a=sin（-1）,b=cos（-1)，c=tan(-1)，试比较a、b、c的大小。解：如右图,作出—1rad的