数学课堂导学：7向量应用举例

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1。用向量解决简单的几何问题【例1】如右图平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2,求对角线AC的长。思路分析:本题要求线段长度问题，可以转化为求向量的模来解决.解：设=a,=b，则=a—b，=a+b.而｜|=｜a-b|=，∴|｜2=5-2a·b=4。①又｜｜2=|ab｜2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+｜b|2=1+4+2a·由①得2a·b∴|｜2=6，∴|｜=,即AC=.友情提示在解决本题中，不用解斜三角形，而用向量的数量积及模的知识解决，过程中采取整体代入，使问题解决简捷明快。各个击破类题演练1已知△ABC中，A（7,8),B（3,5），C（4，3）,M、N分别是AB、AC的中点,D是BC的中点，MN与AD交于F，求.解析：∵A(7，8）,B（3,5)，C(4，3)，∴=(3-7,5—8)=(—4,—3),=（4—7，3-8)=(-3，-5）。又∵D是BC的中点，∴=(+)=(-3。5,-4)。又M、N分别是AB、AC的中点，∴F为AD的中点。∴=—=（1。75，2）.变式提升1如右图，O为△ABC的外心，E为三角形内一点，满足=++,求证:⊥。∵=—，=-=（++）—=+，∴·=（—）·（+）=|｜2—｜|2。∵O为外心，∴｜｜=||,即·=0，⊥.2.用向量解决物理问题【例2】一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起,结果造成小孩胳膊受伤，试用向量知识加以解释.思路分析：针对小孩的两条胳膊画出受力图形，然后通过胳膊受力分析,建立数学模型：|F1｜=,θ∈［0,π］来确定何种情景时，小孩的胳膊容易受伤。解：设小孩的体重为G,两胳膊受力分别为F1、F2,且F1=F2，两胳膊的夹角为θ,胳膊受力分析如右图（不计其他因素产生的力)，不难建立向量模型：|F1|=，θ∈[0，π］，当θ=0时,｜F1｜=；当θ=时，｜F1|=|G｜；又θ∈（0，π）时，｜F1｜单调递增,故当θ∈(0，)时，F1∈(,|G|）,当θ∈(，π）时，|F1｜＞｜G|.此时,欲悬空拎起小孩容易造成小孩受伤。友情提示在解决力的合成、力的分解问题，一般是利用向量的平行四边形法则解决.类题演练2在重300N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°（如下图）,求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.解析：作OACB（左上图）,使∠AOC=30°,∠BOC=60°。在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°，|｜=｜｜cos30°=（N），｜|=｜|sin30°=150(N），｜｜=|｜=150（N)。答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.变式提升2如右图，质量为m的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为α，求斜面对于物体的摩擦力的大小f.解析:如右图，物体受三个力：重力w，支持力p,摩擦力f.由于物体静止，这三个力平衡，合力为0；w+p+f=0.①由①，得w+p+f=(mgcosα,mgsinα）+（-p,0）+(0,-f)=(mgcosα—p，mgsinα—f)=（0，0)。故mgsinα—f=0,f=mgsinα.3.在实际问题中怎样用向量【例3】已知两恒力F1（3，4)、F2(6,—5）作用于同一质点,使之由点A（20,15）移动到点B(7，0)。试求：（1)F1、F2分别对质点所做的功;（2）F1、F2的合力F对质点所做的功。思路分析:本题主要考查利用向量数量积知识解决物理中的做功问题，由于给出各分力的坐标，采用坐标法计算，首先求出位移的坐标，代入F·s公式即可。解：=（7,0)-（20,15）=（—13,-15).（1)W1=F1·=（3，4)·（-13，—15）=3×（-13）+4×(-15）=—99(焦)W2=F2·=（6，-5）·(—13，-15）=6×（-13)+(-5)×（-15)=—3(焦）（2)W=F·=(F1+F2）·=［（3，4）+(6，-5）］·（—13，—15）=（9，-1）·（-13,—15)=9×(-13）+（-1)×(—15)=—117+15=-102(焦）.友情提示力对物体所做的功实际是力与位移的数量积，即W=F·s,若用坐标运算，应当注意首先求出位移s这一向量的坐标，即终点的坐标减去起点的坐标.本题最易弄错符号，特别是当力与位移夹角为钝角时。类题演练3如右图所示,求两个力f1、f2的合力f的大小和方向（精确到一位小数）.解析:设f1=（a1，a2），f2=(b1,b2),则a1=300cos30°=259.8,a2=300sin30°=150,b1=—200cos45°=-141。4,b2=200sin45°=141.4，∴f1=（259。8,150)，f2=(—141.4，141.4）f=f1+f2=（259。8,150)+(-141。4，141。4)=（118。4,291.4），|f|==314。5。设f与x轴的正向夹角为θ，则tanθ==2.4611.由f的坐标知θ是第一象限的角，∴θ=67°53′.答：两个力的合力是314.5N，与x轴的正方向的夹角为67°53′，与y轴的夹角为22°7′.变式提升3已知一物体在共点力F1=（lg2，lg2）,F2=（lg5,lg2)的作用下产生位移s=（2lg5,1),则共点力对物体做的功