2024-2025学年四川省成都市金牛区铁路中学九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年四川省成都市金牛区铁路中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题(共8小题，每题4分，共32分)1．（4分）如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，从正面看这个几何体是（）A． B． C． D．2．（4分）已知，则的值是（）A． B． C．3 D．3．（4分）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，则配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x+2）2＝74．（4分）如图，点O，F在直线AD上，E在直线BC上，且AB∥EF∥CD，OF＝1，FD＝2，则（）A． B． C． D．5．（4分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后（）A．＝ B．∠B＝∠D C．＝ D．∠C＝∠AED6．（4分）若▱ABCD中对角线AC、BD相交于点O，则下列说法正确的是（）A．当OA＝OD时，▱ABCD为菱形 B．当AB＝AD时，▱ABCD为正方形 C．当∠ABC＝90°时，▱ABCD为矩形 D．当AC⊥BD时，▱ABCD为矩形7．（4分）某种音乐播放器MP3原来每只售价400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元，则可列方程为（）A．400（1﹣x）＝256 B．400（1﹣x）2＝256 C．256（1﹣x）＝400 D．256（1﹣x）2＝4008．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，那么∠BOE的度数为（）A．55° B．65° C．75° D．67.5°二、填空题（共5小题，每题4分，共20分)9．（4分）在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，则袋子里白球可能是个．10．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，△DEF面积为9，则的值为．11．（4分）2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段AB的黄金分割点（AC＜CB），则BC＝cm．（结果保留根号）12．（4分）如图，小明用长为2.5m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，竹竿与这一点O相距6m、与旗杆相距12mm．13．（4分）如图，在△ABC中，D是边AB上一点①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；④过点N′作射线DN′交BC于点E．若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为．三、解答题(共48分)14．（12分）（1）计算：；（2）解方程：x2﹣6x﹣7＝0．15．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实根．（1）求实数k的取值范围．（2）方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣1，求k的值．16．（8分）3月14日是国际数学日．某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．根据上述信息，解决下列问题．（1）本次调查总人数为，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；（2）若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数；（3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法17．（10分）如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD＝∠B，（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD＝1，BD＝3，求AC的长．18．（10分）已知矩形ABCD，点E、F分别在AD、DC边上运动，连接BF、CE（1）如图1，若，CF＝4，∠AEP+∠ABP＝180°；（2）如图2，若∠EBF＝∠DEC，，求；（3）如图3，连接AP，若∠EBF＝∠DEC，BC＝3，求PB的长度．一、填空题（每小题4分，共20分)19．（4分）若m、n是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，则代数式m2+3m+n＝．20．（4分）在△ABC中，AB＝8，BC＝16，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝时，△BPQ与△BAC相似．21．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，OC＝8．若直线y＝2x+b把矩形分成面积相等的两部分，则b的值等于．22．（4分）有一个数字游戏，第一步：取一个自然数n1＝5，计算n1•（3n1+1）得a1，第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n2•（3n2+1）得a2，第三步算出a2的各位数字之和得n3，计算n3•（3n3+1）得a3；…以此类推，则a2024的值为．23．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BH⊥AC于点H．交AF于点G，点D在直线AF上运动，∠BDE＝135°，∠ABH＝45°，BE的长为．二、解答题（共30分）24．（8分）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系（1）求y与x之间的函数关系式．（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？25．（10分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣交x轴于点A，直线y＝﹣x+3交x轴于点C（1）如图1，连接BC，求△BCD的面积；（2）如图2，在直线y＝﹣x+3上存在点E，求点E的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OE，点P在直线EF上，在平面中存在一点Q，E，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．26．（12分）（1）问题发现（1）如图1，△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F．填空：①∠AFB的度数是；②线段AD，BE之间的数量关系为；（2）类比探究如图2，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F．请判断∠AFB的度数及线段AD，并说明理由．（3）解决问题如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，点D在AB边上，AE＝3，将△ADE绕着点A在平面内旋转，点C到直线DE的距离．

2024-2025学年四川省成都市金牛区铁路中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共8小题，每题4分，共32分)1．（4分）如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，从正面看这个几何体是（）A． B． C． D．【解答】解：从正面看，从左到右共3列、2、6，故选：A．2．（4分）已知，则的值是（）A． B． C．3 D．【解答】解：∵＝，∴＝，∴＝﹣1＝．故选：D．3．（4分）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，则配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x+2）2＝7【解答】解：∵x2﹣4x﹣6＝0，∴x2﹣8x＝3，∴x2﹣6x+4＝3+3，∴（x﹣2）2＝4．故选：C．4．（4分）如图，点O，F在直线AD上，E在直线BC上，且AB∥EF∥CD，OF＝1，FD＝2，则（）A． B． C． D．【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，∴AF＝5+1＝3，∵AB∥EF∥CD，∴＝＝，故选：A．5．（4分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后（）A．＝ B．∠B＝∠D C．＝ D．∠C＝∠AED【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠6+∠BAE＝∠2+∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC，∴选项B、D根据两角对应相等判定△ABC∽△ADE，选项A根据两边成比例夹角相等判定△ABC∽△ADE，选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C．6．（4分）若▱ABCD中对角线AC、BD相交于点O，则下列说法正确的是（）A．当OA＝OD时，▱ABCD为菱形 B．当AB＝AD时，▱ABCD为正方形 C．当∠ABC＝90°时，▱ABCD为矩形 D．当AC⊥BD时，▱ABCD为矩形【解答】解：当OA＝OD时，平行四边形ABCD是不一定是菱形；当AB＝AD时，▱ABCD不一定为正方形；当∠ABC＝90°时，▱ABCD为矩形；当AC⊥BD时，▱ABCD为是菱形；故选：C．7．（4分）某种音乐播放器MP3原来每只售价400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元，则可列方程为（）A．400（1﹣x）＝256 B．400（1﹣x）2＝256 C．256（1﹣x）＝400 D．256（1﹣x）2＝400【解答】解：第一次降价后的售价为400（1﹣x）元，第二次降价后的售价为400（1﹣x）5元，因此可列方程为：400（1﹣x）2＝256，故选：B．8．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，那么∠BOE的度数为（）A．55° B．65° C．75° D．67.5°【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∴AB＝BE，∴AC＝2CD，∴BD＝2AB，∴BO＝BE，∴∠BOE＝∠BEO，∵OA＝OC，OB＝OD，∴△AOD≌△COB（SAS），∴∠OAD＝∠OBC＝30°，∴∠OBE＝30°，∴∠BOE＝∠BEO＝＝75°，故选：C．二、填空题（共5小题，每题4分，共20分)9．（4分）在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，则袋子里白球可能是9个．【解答】解：由题意可得，30×0.3＝5（个），即袋子中白球的个数最有可能是9个，故答案为：9．10．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，△DEF面积为9，则的值为．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，AC∥DF，∵△ABC面积为1，△DEF面积为9，∴＝，∵AC∥DF，∴△OAC∽△ODF，∴＝＝，∴＝，故答案为：．11．（4分）2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段AB的黄金分割点（AC＜CB），则BC＝（5﹣5）cm．（结果保留根号）【解答】解：∵点C可看作是线段AB的黄金分割点（AC＜CB），AB＝10cm，∴BC＝AB＝﹣5）cm，故答案为：（4﹣5）．12．（4分）如图，小明用长为2.5m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，竹竿与这一点O相距6m、与旗杆相距12m7.5m．【解答】解：∵竹竿CD和旗杆AB均垂直于地面，∴CD∥AB，∴△OCD∽△OAB，∴，即＝，∴AB＝3CD＝7.8m；故答案为：7.5．13．（4分）如图，在△ABC中，D是边AB上一点①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；④过点N′作射线DN′交BC于点E．若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为．【解答】解：由作图知，∠A＝∠BDE，∴DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，△BAC的面积：△BDE的面积＝（△BDE的面积+四边形ACED的面积）：△BDE的面积＝1+四边形ACED的面积：△BDE的面积＝1+＝，∴△BDE的面积：△BAC的面积＝（）2＝，∴＝，∴＝．故答案为：．三、解答题(共48分)14．（12分）（1）计算：；（2）解方程：x2﹣6x﹣7＝0．【解答】解：（1）＝4﹣+1+3＝6﹣+7；（2）x2﹣4x﹣7＝0，（x﹣8）（x+1）＝0，x2＝7，x2＝﹣3．15．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实根．（1）求实数k的取值范围．（2）方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣1，求k的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0有实根，∴Δ＝34﹣4（k﹣2）≥8，解得k≤；（2）∵方程的两个实数根分别为x1，x6，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝k﹣6，∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣1，∴x7x2﹣（x1+x4）+1＝﹣1，∴k﹣4+3+1＝﹣5，解得k＝﹣3，符合题意．故所求k的值为﹣3．16．（8分）3月14日是国际数学日．某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．根据上述信息，解决下列问题．（1）本次调查总人数为200，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；（2）若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数；（3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法【解答】解：（1）20÷10%＝200（人），∴本次调查总人数为200；200﹣（40+20+60+30）＝50（人），∴喜欢24点游戏的有50人；补全条形统计图如下：故答案为：200；（2）3000×＝900（人），∴该校参加魔方游戏的学生人数约为900人；（3）根据题意画树状图如下：共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生有5种，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是＝．17．（10分）如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD＝∠B，（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD＝1，BD＝3，求AC的长．【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴，∵AD＝1，BD＝3，∴AB＝7，∴AC2＝AD•AB＝1×7＝4，∴AC＝2（负值舍去）．即AC的长为3．18．（10分）已知矩形ABCD，点E、F分别在AD、DC边上运动，连接BF、CE（1）如图1，若，CF＝4，∠AEP+∠ABP＝180°；（2）如图2，若∠EBF＝∠DEC，，求；（3）如图3，连接AP，若∠EBF＝∠DEC，BC＝3，求PB的长度．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵，∴＝＝，∵∠A+∠ABP+∠BPE+∠AEP＝360°，∠AEP+∠ABP＝180°，∴∠A+∠BPE＝180°，∴∠BPE＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°＝∠CPF，∴∠ECD+∠CFB＝90°，∵∠FBC+∠CFB＝90°，∴∠ECD＝∠FBC，∴△CED∽△BFC，∴＝＝，∵CF＝4，∴DE＝CF＝；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠DEC＝∠ECB，∵∠EBF＝∠DEC，∴∠EBF＝∠ECB，∵∠BEP＝∠CEB，∴△EBP∽△ECB，∴＝＝，∵＝，∴＝＝，∴EB＝EP，∵EC＝EP+PC，∴＝，∴＝，∴＝；（3）如图2，过点A作AH⊥BP于H，交AD于M，∵AP＝AB＝2＝CD，AH⊥BP，∴BH＝HP，设BH＝HP＝x，∵BC＝AD＝3，∴＝，∵∠EBF＝∠DEC，由（2）得△EBP∽△ECB，∴＝＝＝，∴EB＝EP，∴＝，即＝，∵MN∥CD，∴＝＝，∴PM＝，∵∠D＝∠DCN＝∠MNC＝90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN＝CD＝2，∴PN＝2﹣，∵∠BNP＝∠AHB＝90°，∴∠PBN+∠BPN＝90°，∵∠PBN+∠ABH＝90°，∴∠BPN＝∠ABH，∴△BPN∽△ABH，∴＝，∴AB•PN＝BH•BP，∴7（2﹣）＝2x8，∴x2＝，∵x＞0，∴x＝，∴BP＝2x＝，故PB的长度为．一、填空题（每小题4分，共20分)19．（4分）若m、n是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，则代数式m2+3m+n＝1．【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣7＝0的两个实数根，∴m十n＝﹣2，mn＝﹣2，m2+2m＝6，m2+3m+n＝m2+2m+m+n＝3+（﹣4）＝1，故答案为：1．20．（4分）在△ABC中，AB＝8，BC＝16，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝2或8时，△BPQ与△BAC相似．【解答】解：∵AB＝8，BC＝16，∴BP＝4．当△BPQ∽△BAC时，∴＝，∴＝，解得：BQ＝8；当△BPQ∽△BCA时，则＝，∴＝，解得：BQ＝2，综上所述：当BQ＝6或8时，△BPQ与△BAC相似．故答案为：2或5．21．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，OC＝8．若直线y＝2x+b把矩形分成面积相等的两部分，则b的值等于﹣5．【解答】解：∵OA＝6，OC＝8，∴A（8，6），0），∴AC中点的坐标为（4，3），∵当直线y＝2x+b经过AC的中点时，直线把矩形的面积等分，把（2，3）代入y＝2x+b得，5×4+b＝3，解得b＝﹣5．故答案为：﹣5．22．（4分）有一个数字游戏，第一步：取一个自然数n1＝5，计算n1•（3n1+1）得a1，第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n2•（3n2+1）得a2，第三步算出a2的各位数字之和得n3，计算n3•（3n3+1）得a3；…以此类推，则a2024的值为200．【解答】解：由题意可得，n1＝5，a2＝5×（3×6+1）＝80，n2＝2+0＝8，a8＝8×（3×8+1）＝200，n3＝6+0+0＝6，a3＝2×（7×2+1）＝14，n7＝1+4＝2，a4＝5×（6×5+1）＝80，…，由上可得，每三个为一个循环，2024÷7＝674……2，∴a2024＝a2＝200，故答案为：200．23．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BH⊥AC于点H．交AF于点G，点D在直线AF上运动，∠BDE＝135°，∠ABH＝45°，BE的长为2．【解答】解：如图，连接CG．∵BH⊥AC，∴∠BHA＝90°，∵∠ABH＝45°，∴∠BAC＝45°，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴∠BAF＝∠CAF＝22.5°，BF＝CF，∴GB＝GC，∴∠BGF＝∠CGF＝67.5°，∴∠GBF＝∠GCF＝22.8°，∵DB＝DE，∠BDE＝135°，∴∠DBE＝∠DEB＝22.5°，∴∠DBE＝∠GBC＝∠DEB＝∠GCF，∴△DBE∽△GBC，∴＝，∴＝，∵∠DBG＝∠EBC，∴△DBG∽△EBC，∴∠BGD＝∠BCE＝112.5°，∵∠ACB＝67.6°，∴∠ACE＝45°，∴点E的运动轨迹是直线EC，∴当AE⊥EC时，AE的值最小AC＝6，此时∠BAE＝90°，BE＝＝，故答案为2．二、解答题（共30分）24．（8分）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系（1）求y与x之间的函数关系式．（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（2，100），160）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝20x+60（0＜x＜20）．故答案为：y＝20x+60（3＜x＜20）．（2）根据题意得：（60﹣x﹣40）（20x+60）＝2400，整理得：x2﹣17x+60＝0，解得：x7＝5，x2＝12，又∵要让顾客获得更大实惠，∴x＝12．答：这种菠萝蜜每千克应降价12元．25．（10分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣交x轴于点A，直线y＝﹣x+3交x轴于点C（1）如图1，连接BC，求△BCD的面积；（2）如图2，在直线y＝﹣x+3上存在点E，求点E的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OE，点P在直线EF上，在平面中存在一点Q，E，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．【解答】解：（1）对于直线y＝﹣3x﹣，令x＝0，故点B（0，﹣）；对于y＝﹣x+4，则y＝3，即﹣，解得：x＝4，故点D（0，8），0），则BD＝3+＝，OC＝5，△BCD的面积＝×BD×OC＝；（2）由题意，∠ABE＝45°，点E只能直线在AB的右侧，过点E作y轴的平行线交过点R与x轴的平行线于点G，如图7，设点E（m，﹣m+4），﹣3n﹣），∵∠ABE＝45°，故ER＝EB，∵∠REG+∠BEH＝90°，∠BEH+∠EBH＝90°，∴∠REG＝∠EBH，∵∠EHB＝∠RGE＝90°，EB＝ER，∴△EHB≌△RGE（AAS），∴RG＝EH，BH＝GE，即m＝﹣3n﹣+m﹣5，﹣＝m﹣n，解得，故点E（2，）；（3）如图3，设EF交x轴于点M，∵点E（2，），C（4，D（3，∴EC＝＝，CD＝，∵过点E作CD的垂线交y轴于点F，∴∠MEC＝90°，∴△CEM∽△COD，∴＝，∴＝，解得：CM＝，∴OM＝5﹣＝，由点E、M的坐标得x﹣