2024-2025学年福建省厦门一中集美分校九年级（上）期中数学试卷(含答案)VIP

2024-2025学年福建省厦门一中集美分校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1．（4分）下列图形是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）二次函数y＝3（x﹣2）2﹣1的图象顶点坐标是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（2，﹣1）3．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点P，连接OB．下列角中，等于的是（）A．∠OAB B．∠ACB C．∠CAD D．∠OPB4．（4分）已知x＝2是关于x的方程x2﹣5x﹣m＝0的一个根，则m的值为（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．65．（4分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A′BC′，此时点C在边A′B上，若AB＝5，BC′＝2，则A′C的长是（）A．2 B．3 C．4 D．56．（4分）某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．已知该店要想平均每天盈利12160元，可列方程为，则下列表述正确的是（）A．每顶帐篷单价为x元 B．降价后平均每天可出售（200﹣x）顶 C．每顶帐篷单价应降价x元 D．降价后每顶帐篷利润为元7．（4分）如图，二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象所在坐标系的原点是（）A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O48．（4分）如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB＝25°，则∠OCD的度数是（）A．45° B．60° C．65° D．70°9．（4分）菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（）A．3﹣ B．2﹣ C．﹣1 D．2﹣210．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+x+6，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线y＝x+m与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（）A． B． C．﹣6≤m≤﹣2 D．﹣7≤m≤﹣3二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）点（1，﹣3）关于坐标原点的对称点为．12．（4分）将抛物线y＝2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为．13．（4分）如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1（A、B分别与A1、B1对应），则∠A1OB的度数为度．14．（4分）为了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的中位数为．15．（4分）如图，⊙O过四边形ABCD的四个顶点，已知∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，AB＝1，BC＝2，则BD＝．16．（4分）古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根．若关于x的一元二次方程x2+mx＝16，按照图1，构造图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，若，则m的值为．三、解答题（本大题有9小题，共86分）17．（8分）解方程：x2+3x﹣1＝0．18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，求证：BE＝DF．19．（8分）先化简，再求值：，其中．20．（8分）芯片目前是全球紧缺的资源，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个，第三季度生产芯片144万个．求前三季度生产量的平均增长率．21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．（1）尺规作图：在⊙O中作出点D，使得点D是∠A所对的弧的中点（不写作法，只保留作图痕迹）；（2）连接OD，交BC于点E．探究OE与AC的数量关系，并证明你的结论．22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+k+3＝0（k为常数）的两个实数根分别为a，b．（1）若方程的两根相等，求k的值．（2）是否存在满足条件的常数k，使得成立，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．23．（10分）如图1所示为某公司生产的A型活动板房，成本是每个395元，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4米，宽AB＝3米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米．（1）按如图1所示建立平面直角坐标系；求该抛物线的解析式．（2）现将A型活动板房改为B型活动板房．如图2，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户框架FGMN，点G、M在AD上，点N、F在抛物线上，长方形窗户框架的成本为10元/米，设M（m，0），且满足≤m≤1，当窗户框架FGMN的周长最大时，每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇长方形窗户框架FGMN成本）（3）根据市场调查，以单价600元销售（2）中窗户框架周长最大时的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润W（元）最大？最大利润是多少？24．（12分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ANM，点B，C的对应点分别为N，M．（1）如图1，当点N落在BC的延长线上时，且∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，求BN的长；（2）如图2，△ABC绕点A顺时针旋转60°转得到△ANM，延长BC交AN于点D，连接BN并延长BN至点F，使得FN＝AD，连接DF，连接AF交MN于点H，猜想线段HN，MH，CD之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，连接BN，CM，直线CM交BN于点G，点R为BC的中点，连接RG．若∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，在旋转过程中，GR是否存在最小值？若存在，求出GR的最小值；若不存在，请说明理由．25．（14分）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．（1）判断二次函数y＝x2﹣1是否为一次函数y＝x﹣1的轴点函数，并说明理由．（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若，求b的值．（3）函数（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．

2024-2025学年福建省厦门一中集美分校九年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1．（4分）下列图形是中心对称图形的是（）A． B． C． D．选：D．2．（4分）二次函数y＝3（x﹣2）2﹣1的图象顶点坐标是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（2，﹣1）选：D．3．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点P，连接OB．下列角中，等于的是（）A．∠OAB B．∠ACB C．∠CAD D．∠OPB选：B．4．（4分）已知x＝2是关于x的方程x2﹣5x﹣m＝0的一个根，则m的值为（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6选：A．5．（4分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A′BC′，此时点C在边A′B上，若AB＝5，BC′＝2，则A′C的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5选：B．6．（4分）某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．已知该店要想平均每天盈利12160元，可列方程为，则下列表述正确的是（）A．每顶帐篷单价为x元 B．降价后平均每天可出售（200﹣x）顶 C．每顶帐篷单价应降价x元 D．降价后每顶帐篷利润为元选：C．7．（4分）如图，二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象所在坐标系的原点是（）A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O4选：B．8．（4分）如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB＝25°，则∠OCD的度数是（）A．45° B．60° C．65° D．70°选：D．9．（4分）菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（）A．3﹣ B．2﹣ C．﹣1 D．2﹣2选：A．10．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+x+6，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线y＝x+m与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（）A． B． C．﹣6≤m≤﹣2 D．﹣7≤m≤﹣3选：D．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）点（1，﹣3）关于坐标原点的对称点为（﹣1，3）．12．（4分）将抛物线y＝2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2+2．13．（4分）如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1（A、B分别与A1、B1对应），则∠A1OB的度数为70度．14．（4分）为了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的中位数为7.5小时．15．（4分）如图，⊙O过四边形ABCD的四个顶点，已知∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，AB＝1，BC＝2，则BD＝．16．（4分）古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根．若关于x的一元二次方程x2+mx＝16，按照图1，构造图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，若，则m的值为6．三、解答题（本大题有9小题，共86分）17．（8分）解方程：x2+3x﹣1＝0．【解答】解：这里a＝1，b＝3，c＝﹣1，∵△＝9+4＝13＞0，∴x＝，则x1＝，x2＝．18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，求证：BE＝DF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD（平行四边形对边平行且相等），∴∠BAE＝∠DCF（两直线平行内错角相等），∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB＝∠CFD＝90°（垂直定义），在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF（全等三角形的对应边相等）．19．（8分）先化简，再求值：，其中．【解答】解：原式＝×＝，当x＝+2时，上式＝＝1+2．20．（8分）芯片目前是全球紧缺的资源，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个，第三季度生产芯片144万个．求前三季度生产量的平均增长率．【解答】解：设前三季度生产量的平均增长率为x，根据题意得：100（1+x）2＝144，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．答：前三季度生产量的平均增长率为20%．21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．（1）尺规作图：在⊙O中作出点D，使得点D是∠A所对的弧的中点（不写作法，只保留作图痕迹）；（2）连接OD，交BC于点E．探究OE与AC的数量关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）如图，点D即为所求；（2）结论：AC＝2OE．理由：∵＝，∴OD⊥BC，∴CE＝EB，∵OA＝OB，∴AC＝2OE．22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+k+3＝0（k为常数）的两个实数根分别为a，b．（1）若方程的两根相等，求k的值．（2）是否存在满足条件的常数k，使得成立，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）Δ＝[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+k+3）＝4k2+8k+4﹣4k2﹣4k﹣12＝4k﹣8．∵原方程有两个相等的实数根，∴4k﹣8＝0，∴k＝2；（2）不存在，∵关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+k+3＝0（k为常数）的两个实数根分别为a，b．∴a+b＝2（k+1），ab＝k2+k+3，∵，∴a2+b2＝16，∴（a+b）2﹣2ab＝16，∴[﹣2（k+1）]2﹣2（k2+k+3）＝16，∴k2+3k﹣9＝0，∴k＝，∵一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+k+3＝0（k为常数）的两个实数根，∴Δ＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4（k2+k+3）≥0，∴k≥2，∴不存在常数k，使得成立．23．（10分）如图1所示为某公司生产的A型活动板房，成本是每个395元，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4米，宽AB＝3米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米．（1）按如图1所示建立平面直角坐标系；求该抛物线的解析式．（2）现将A型活动板房改为B型活动板房．如图2，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户框架FGMN，点G、M在AD上，点N、F在抛物线上，长方形窗户框架的成本为10元/米，设M（m，0），且满足≤m≤1，当窗户框架FGMN的周长最大时，每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇长方形窗户框架FGMN成本）（3）根据市场调查，以单价600元销售（2）中窗户框架周长最大时的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润W（元）最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）∵长方形的长AD＝4米，宽AB＝3米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米，∴OH＝AB＝3米，EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1米，E（0，1），D（2，0），由题意知抛物线的函数表达式为y＝ax2+1，把点D（2，0）代入，得a＝﹣，∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+1；（2）∵M（m，0），∴N（m，﹣m2+1），∴MN＝﹣m2+1，∴C矩形MNFG＝2（MG+MN）＝2[2m+（﹣m2+1）]＝﹣m2+4m+2，∵﹣＜0，对称轴为m＝4，且≤m≤1，∴当m＝1时，C有最大值，最大值为，∴长方形窗户框架的成本为×10＝55（元），∴395+55＝450（元），答：每个B型活动板房的成本是450元；（3）根据题意，得W＝（n﹣450）[100+]＝﹣2（n﹣550）2+20000，∵﹣2＜0，∴当n＝550时，W有最大值，且最大值为20000，答：公司将销售单价n定为550元时，每月销售B型活动板房所获利润W最大，最大利润20000元．24．（12分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ANM，点B，C的对应点分别为N，M．（1）如图1，当点N落在BC的延长线上时，且∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，求BN的长；（2）如图2，△ABC绕点A顺时针旋转60°转得到△ANM，延长BC交AN于点D，连接BN并延长BN至点F，使得FN＝AD，连接DF，连接AF交MN于点H，猜想线段HN，MH，CD之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，连接BN，CM，直线CM交BN于点G，点R为BC的中点，连接RG．若∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，在旋转过程中，GR是否存在最小值？若存在，求出GR的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ANM，∴AB＝AN＝10，∵∠ACB＝90°，∴∠ACN＝90°，∵AC＝6，∴BC＝＝＝8，CN＝＝＝8，∴BN＝BC+CN＝16；即BN的长为16；（2）HN﹣MH＝CD，证明如下：在NM上取点Q，使NQ＝CD，连接FQ，如图：由△ABC绕点A顺时针旋60°转得到△ANM得：AN＝AB，∠BAN＝60°，∴△ABN是等边三角形，∴∠ANB＝60°，∴∠FNQ＝180°﹣∠ANB﹣∠ANM＝180°﹣60°﹣∠ANM＝120°﹣∠ANM，在△ABD中，∠ADB＝180°﹣∠BAN﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣∠ABC＝120°﹣∠ABC，由旋转性质知∠ANM＝∠ABC，∴∠ADB＝∠FNQ，∵FN＝AD，∴△FNQ≌△ADC（SAS），∴∠FQN＝∠ACD，FQ＝AC，∴180°﹣∠FQN＝180°﹣∠ACD，即∠FQH＝∠ACB，由旋转性质知∠M＝∠ACB，∴∠FQH＝∠M，∵AM＝AC，∴FQ＝AM，∵∠FHQ＝∠AHM，∴△FQH≌△AMH（AAS），∴QH＝MH，∵HN﹣QH＝NQ，∴HN﹣MH＝CD；（3）在旋转过程中，GR存在最小值2，理由如下：过B作BP∥MN交MC延长线于P，连接NC，如图：∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△ANM，∴AC＝AM，∠ACB＝∠AMN＝90°，BC＝MN，∴∠ACM＝∠AMC，而∠BCP＝180°﹣∠ACB﹣∠ACM＝90°﹣∠ACM，∠NMP＝∠AMN﹣∠AMC＝90°﹣∠AMC，∴∠BCP＝∠NMP，∵BP∥MN，∴∠P＝∠NMP，∴∠P＝∠BCP，∴BP＝BC，∴BP＝MN，在△BPG和△NMG中，，∴△BPG≌△NMG（AAS），∴BG＝NG，即G是BN中点，∵点R为BC的中点，∴GR是△BCN的中位线，∴GR＝NC，要使GR最小，只需NC最小，而AN＝AB＝10，AC＝6，∴N、C、A共线，NC的最小值为AN﹣AC＝4，∴GR最小为NC＝2．25．（14分）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．（1）判断二次函数y＝x2﹣1是否为一次函数y＝x﹣1的轴点函数，并说明理由．（2）函数y＝x+c（c为常数，c