《线性代数（第六版）》 课件赵树嫄 第1、2章 行列式、矩阵

线性代数音乐《线性代数》主编赵树嫄（第六版）中国人民大学出版社教材：2第一章

行列式3第一节二阶、三阶行列式(一)二阶行列式4方程组有唯一解5引入记号定义称为二阶行列式.主对角线对角线法则二阶行列式的计算6记对于二元线性方程组称系数行列式则方程组有唯一解---克莱姆法则7例1解例28例解9(二)三阶行列式三元线性方程组10引入记号定义称为三阶行列式。11对角线法则说明：

1、三阶行列式包括3!项，每一项都是位于不同行，不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项为负.2、对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．12如果三元线性方程组的系数行列式利用三阶行列式求解三元线性方程组—克莱姆法则记则该方程组的解为13例

解按对角线法则，有14

解例按对角线法则，有15例316例解17例4解即为所求充分必要条件。18例5解方程左端19例解线性方程组解20故方程组的解为21例解设所求的二次多项式为由题意得得故所求多项式为插值问题22

二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算小结：23第二节n

阶行列式(一)排列与逆序

由n个不同数码1,2,…,n

组成的有序数组i1i2…in,称为一个n级排列.定义

在一个n级排列i1i2…in中,如果有较大的数it排在较小的数is前面(is<it),则称it与is构成一个逆序.一个n级排列中逆序的总数,称为它的逆序数,记为

N(i1i2…in).n级排列共有n!个.

如果排列i1i2…in的逆序数N(i1i2…in)是奇数,则称为奇排列,是偶数或0则称为偶排列.24例1

排列326145中，326145N(326145)=6，例偶排列n元自然序排列，偶排列例当n=4k

或

4k+1时，n

(n-1)…2

1是偶排列；当n=4k+2

或

4k+3时，n

(n-1)…21是奇排列.25排列逆序逆序数奇偶性123无0偶排列132321奇排列213211奇排列23121,312偶排列31231,322偶排列32121,31,323奇排列3级排列共有3

!=6种.其排列情况见下表：26

在一个排列i1…is…it…in中，如果仅将它的两个数码is与it对调，其它数码不变，得到另一个排列,这样的变换，称为一个对换。定理任一排列经过一次对换后改变奇偶性。定理

n个数码(n>1)共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半。27(二)n

阶行列式(1)三阶行列式共有3!

=6项．(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．例如列标排列312是偶排列,列标排列132是奇排列,2829定义用n2个元素aij(i,j=1,2,…,n)组成的记号定义为determinantn阶行列式是n!项的代数和,不同列的n个元素的乘积.每项都是位于不同行、30所表示的代数和中有4

!=24项.例如，四阶行列式例如,a11a22a33a44项取号,a11a24a33a44不是D的项.a14a23a31a42项取号,+-31

D中各项中不为零的项只有a11a22…ann，其他项均为零，由于N(12…n)=0，因此这一项取正号，得例2

计算上三角行列式解32同理可得下三角行列式33特殊情况：这种行列式称为对角行列式。34例2计算行列式解练习：推广到

n

阶情况。3536例设含的项有两项，即解37第三节行列式的性质说明行列式中行与列的地位是对等的,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质1行列式与它的转置行列式相等，即行列式称为行列式D

的转置行列式。记证略38性质2交换行列式的两行(列),行列式的值变号。例如证略推论如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。证明互换相同的两行，有39性质3

行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数

k，等于用数

k

乘此行列式,即证略说明

行列式的某一行(列)中所有元素若有公因子,可以提到行列式符号的外面。推论

如果行列式有两行(列)的对应元素成比例,则行列式的值等于零。40性质4

若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和，则D等于下列两个行列式之和：例如注意：一次只能拆一行或一列。证略41例证明由性质4，

证上式左边

42由性质2推论，第二、第三个行列式的值为0；

再由性质4，把第一、第四个行列式分别拆成两个行列式之和并化简后，

上式43性质5

把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数k后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。例如列column行row44例4计算下列行列式45例546例6计算n阶行列式解将第2,3,…,n

列都加到第1列得“全加法”4748所求行列式是n+1阶行列式，从第二行开始，逐行加它的上一列，例7解49上三角50从第2行开始，每行减去第一行，

例8解5152第四节行列式按行(列)展开(一)余子式与代数余子式例如53例如5455行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式。56(二)行列式展开定理n

阶行列式

D

=

|aij

|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即或按第i行展开按第j列展开证略推论：若行列式某行(列)的元素全为零，则行列式的值为零。57例设58定理行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式之和等于零,即这是因为第i行第j行按第j行展开59同样，行列式对列展开,也有则有60计算行列式的基本方法：利用性质5将某行(列)化出较多的零，再利用展开定理按该行(列)展开。例6162例

计算行列式解63例3解64例4解从第一行开始，逐行减去下一行，6566再从第一行开始，逐行减去下一行67例5计算行列式递推法解按第一行展开，递推得68每行元素的和都相等,把第2、3、4列都加到第1列,

练习计算行列式解“全加法”6970按第一列展开,并由上、下三角形行列式得

练习计算n阶行列式解71证用数学归纳法，例6证明范德蒙(Vandermonde)行列式7273n–

1阶范德蒙行列式74证毕.75例如,76第五节克莱姆法则如果线性方程组的系数行列式不等于零，即那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以表为77证略其中Dj是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即78例用克莱姆法则解方程组解79所以方程组有唯一解,808182例1解83所以方程组的解为例2解“全加法”85为齐次线性方程组.称方程组(2)显然是(2)的一个解,称为零解.

推论如果齐次线性方程组(2)的系数行列式,则(2)只有零解.以后证明：如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D

=

0,则(2)必有非零解。87例3解所以方程组仅有零解。88例4解89有非零解？练习问

取何值时，齐次线性方程组解“全加法”90ENDEND91习题选解92P32，13、(4)计算行列式“全加法”93P34，23、计算行列式94“全加法”P34，24、计算行列式95P38，45、若齐次线性方程组解有非零解，求

k的值。96第2章矩阵97第一节矩阵的概念例1

设有线性方程组系数和常数项构成一个矩形阵列98第一节矩阵的概念例24种产品4个季度产值99第一节矩阵的概念定义100为了标明矩阵的行数m和列数n,可用Am

n表示,一般情形下,用大写黑体字母A,B,C等表示矩阵.或记作101例如是一个矩阵,是一个矩阵。是一个矩阵,是一个矩阵。102同型矩阵与矩阵相等的概念1、两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵。例如为同型矩阵.2、两个矩阵为同型矩阵，并且对应元素相等，即则称矩阵相等,记作103例

设解104元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作

或

O。注意：不同阶数的零矩阵是不相等的。例如105第二节矩阵的运算(一)矩阵的加法、矩阵的数乘定义注：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。106例1107矩阵加法的运算规律：显然有定义矩阵的减法：108说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行减法运算。例如109矩阵的数量乘法：定义数k与矩阵A的乘积记作kA，规定110例2

3个产地和4个销地的里程矩阵表为每吨货物的运费为1.5元/公里，则每吨货物的运费为111数乘矩阵的运算规律：加法和数乘合称为矩阵的线性运算。（设为矩阵，为数）112例3解113求2A-B.练习已知解114例4

已知且A

+

2X

=

B，求X。解115(二)矩阵的乘法并把此乘积记作定义116117注意

只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如，有意义，无意义。而118例例119例解单价可用矩阵表示为购买货物甲、乙的单价分别为300元/吨和200元/吨，试用矩阵乘法求出公司应该付给各地的费用。则费用矩阵为120例7解121例8解122(其中k为数);注意：交换律不成立。首先，AB有意义，BA不一定有意义；例如，矩阵乘法满足结合律！分配律矩阵乘法的运算规律：123例如，124例9结论：矩阵乘法交换律不成立，一般若称A、B可交换，(前提是A、B为同阶方阵).但仍不一定有125例10解126例解则127例11解128129130从前例还可看出，矩阵乘法不满足消去律：或左消去律不成立；同理没有右消去律：131例13线性方程组的矩阵形式记系数矩阵则上述方程组可写为132例14解由题意，133(三)矩阵的转置定义

把矩阵A的行列互换得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作.例134转置矩阵的运算性质：(4)可推广到多个矩阵:135第三节n阶方阵，方阵的行列式如果矩阵A=(aij)的行数与列数都等于n，则称A为n阶矩阵(或称n阶方阵)。主对角线(一)n

阶方阵136(二)方阵的幂定义设A为n阶方阵，则A的方幂定义为再规定

规律：其中k，l为任意非负整数。注意

由于没有交换律，一般因此，一般137138例设139例解所以140A是一个

n阶方阵，定义矩阵多项式为是一个多项式，例如，141(三)方阵的行列式定义

由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作|

A

|或det

A.142注意矩阵与行列式有本质区别：行列式是一个算式,一个数字行列式表示一个数值,而矩阵是一个数表,它的行数和列数可以不同.

对于方阵A,虽有行列式|A|,但A和|A|是不同的概念,不能混为一谈。143运算性质：推广：特别：注意！(n

为A的阶数)144例1解145例解两边取行列式，例设A为3阶矩阵，且|A|=16，则注：146第四节几种特殊的矩阵(一)对角矩阵即形如的方阵,称为对角矩阵，可记作diagonalmatrix147例148(二)数量矩阵，单位矩阵即形如的方阵，称为数量矩阵，当对角矩阵的主对角上的元都相同时，149例150(三)三角形矩阵即形如的方阵，称为上三角形矩阵，类似地，下三角形矩阵。151(四)对称矩阵定义对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。说明

设A为n阶方阵，如果满足，即那末A称为对称阵。152反对称阵的对角元全为零。说明那末A称为反对称阵。

设A为n阶方阵，如果满足，即(四)对称矩阵定义153例证因为BTB是n阶方阵，且同理可证，BBT是m阶对称矩阵。所以BTB是对称矩阵；154若A、B为同阶对称阵(反对称阵)，则仍为对称阵(反对称阵)。A、B为同阶对称阵，AB未必对称；只有A、B可交换，AB才对称。(证明留作练习)

设A是n阶反对称矩阵,B是n阶对称矩阵,则AB+BA是反对称矩阵.练习(AB+BA)T=(AB)T+(BA)T=BTAT+ATBT=B(-A)+(-A)B=-(AB+BA).证155练习C解反对称；156第五节分块矩阵对于规模较大，零较多或局部比较特殊的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法，把大矩阵分割成小矩阵。在运算时，把这些小矩阵当作元素一样来处理。

具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。157例158例159分块矩阵的运算规则(1)分块矩阵A与B的行数相同,列数相同,采用相同的分块法,有160由于矩阵的加法与数乘比较简单，一般不需用分块计算。

161分块矩阵转置时，先按块转置，再将各子块内部转置。

162163例

设解则164又于是165形如的分块矩阵,称为准上三角阵,类似有准下三角阵.准下三角阵几种特殊分块矩阵的行列式166(2)准三角矩阵有如下性质：(1)设A、B两个同类型的准三角矩阵，则均为同类型的准三角矩阵。167特别,称为准对角矩阵.168准对角矩阵除了具有准三角阵的性质以外,还有：特别，169例设解170解例设171第六节逆矩阵则矩阵B称为A的逆矩阵。在数的运算中，当数时，有其中为a的倒数；单位阵

E

类似于1在数的乘法运算中的地位。那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵B，使得对任何方阵A，

有AE

=

EA

=

A,(一)逆矩阵的概念172则称A为可逆矩阵,而B称为A的逆矩阵,记为定义例设设

A

是n阶方阵,如果存在n阶方阵B,使得解得证。173例解所以174定理

若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵必唯一。证设B和C都是A的逆矩阵，则结合律问题:(1)什么条件下A才可逆？175(二)矩阵可逆的条件上式两边取行列式,若则称矩阵A是非奇异的(或满秩的)；

否则称A为奇异的(或降秩的)。下面说明这个条件也是充分的。定理定义176伴随矩阵：定义称为A的伴随矩阵。代数余子式,矩阵177例1解178性质证明回忆行列式按行展开公式：类似地，按列展开公式可得179定理

矩阵A是可逆的充分必要条件是A非奇异；证充分性：必要性：已证；所以A可逆，且有当A非奇异时，有180推论证由定义知，定理

矩阵A是可逆的充分必要条件是A非奇异；当A非奇异时，有即A可逆，181求方阵的逆矩阵.例逆矩阵的求法—伴随矩阵法解所以A

可逆；182同理可求得对于3阶及以上的矩阵，用伴随矩阵法求逆矩阵较麻烦，以后将给出另一种求法--初等变换法。

183例2解所以A可逆，且逆矩阵为184例故A可逆的充分必要条件是且例如，对角元换位，非对角元变号。185例3对角阵可逆的充分必要条件是且例如，186证(三)逆矩阵的运算性质注意A,B可逆，A+B不一定可逆，即使可逆,一般187推论：可逆阵A若对称(反对称),则也对称(反对称).对称；反对称。对于可逆矩阵而言，矩阵乘法的消去律成立。证证188例证两边取行列式，得所以可以证明，去掉A可逆这个条件，上述结论仍然成立。189例6证190例解191例7解192193类似有特别，另外，194一般地，有195例设解196解例利用矩阵分块的方法，求下列矩阵的逆矩阵：所以197第七节矩阵的初等变换定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换:

同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．198初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．逆变换逆变换逆变换定义由单位矩阵E经过一次初等变换，得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵有下列3种：199(1)对E施以第(1)种初等变换得到的矩阵.i行i列j行j列200(2)对E施以第(2)种初等变换得到的矩阵.i

行i

列201(3)对E施以第(3)种初等变换得到的矩阵.202初等矩阵的逆矩阵还是同类型的初等矩阵：203(2)对A施以某种初等列变换,相当于用同种的n阶初等矩阵右乘A.(1)对A施以某种初等行变换,相当于用同种的m阶初等矩阵左乘A.定理

设A为阶矩阵，证略。例204矩阵等价：等价关系的性质：如果矩阵B可以由矩阵A经过有限次初等变换得到，则称矩阵A和B为等价的，记作

定义205定理任意一个矩阵

A

经过有限次初等变换，的矩阵，称之为A的等价标准形。

证略。总可以化为形如

206例将下列矩阵化为标准形：解207208例1将下列矩阵化为标准形：解209例2将下列矩阵化为标准形：解210对矩阵A施以初等行变换,相当于左乘一个初等矩阵；对矩阵A施以初等列变换,相当于右乘一个初等矩阵。任意一个矩阵

A总可以经过有限次初等变换，化为标准形推论1211推论1推论2212推论2若A为n阶可逆矩阵，推论3213若方阵A可逆，则它的等价标准形必为单位矩阵。初等阵是可逆的，且其逆阵仍为初等阵，于是其中均为初等矩阵，定理n

阶方阵

A可逆的充分必要条件是

A可以表示成一些初等矩阵的乘积。214用初等变换求逆矩阵：其中均为初等矩阵，或其中均为初等矩阵，设A可逆，则可逆阵可经过若干次初等行变换化为单位矩阵。表明：表明：如果用一系列初等行变换把可逆矩阵A化为单位矩阵E，那么同样地用这些初等行变换就把单位矩阵E化为215利用初等变换求逆阵的方法：如果用一系列初等行变换把可逆矩阵A化为单位矩阵E，那么同样地用这些初等行变换就把单位矩