《线性代数（第六版）》 课件 赵树嫄 第4、5章 特征值问题和矩阵的对角化、二次型

矩阵的特征值第四章1本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵对角化的问题。

2第一节矩阵的特征值与特征向量(一)矩阵的特征值定义说明：1、特征值问题是针对方阵而言的；2、特征向量必须是非零向量；3、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值λ。

3特征值与特征向量的计算方法：即要求齐次线性方程组有非零解，即方程的根就是矩阵A的特征值，相应非零解即为特征向量。记称为矩阵A的特征多项式，

4称为矩阵A的特征多项式，

为矩阵A的特征方程。特征方程的根，即为矩阵A的特征值。记5计算矩阵特征值和特征向量的一般步骤如下：6例1设求A的特征值与特征向量。解所以A的特征值为

相应齐次线性方程组的基础解系为7相应齐次线性方程组的基础解系为8练习设求A的特征值与特征向量。解所以A的特征值为

相应齐次线性方程组的基础解系为9相应齐次线性方程组的基础解系为10例2解11相应齐次线性方程组的基础解系为12相应齐次线性方程组的基础解系为13例3解14相应齐次线性方程组的基础解系为15相应齐次线性方程组的基础解系为16练习设求A的特征值与特征向量。解所以A的特征值为

17相应齐次线性方程组的基础解系为18相应齐次线性方程组的基础解系为19相应齐次线性方程组的基础解系为20练习解所以A的特征值为

设求A的特征值与特征向量。21相应齐次线性方程组的基础解系为22相应齐次线性方程组的基础解系为23对角阵、上三角阵、下三角阵，它们的特征值即为主对角元。

24(二)特征值与特征向量的基本性质性质1证(2)可推广到多个特征向量。25性质2证(1)26(2)重复这个过程,可得性质2证27(3)设A可逆,

矛盾；性质2证28性质3证从而有相同的特征值。注意：29属于各个特征值的线性无关的向量合在一起仍线性无关。

性质4属于不同特征值的特征向量线性无关。只证两个特征向量的情况。证(1)(2)推广30例4多项式证略例如,矩阵A的有一个特征值为2,则

有一个特征值7.例5证幂等矩阵31练习：例4多项式证略例如,矩阵A的有一个特征值为2,则

有一个特征值7.例5幂等矩阵32例6解由性质2,

注：因为方阵A可逆，所以其所有特征值不等于零。33矩阵的特征多项式的性质：中出现,故有而常数项等于所以34比较系数得性质5推论方阵A可逆的充分必要条件是A的特征值全不为零。trace35例7解36练习解37矩阵的迹的性质证略。38第二节相似矩阵与矩阵对角化(一)相似矩阵及其性质定义对于n阶方阵A和B，若存在n阶可逆方阵P，使得

则称A与B相似,记为例如39矩阵的“相似”关系具有以下特性：(1)反身性：(2)对称性：证(3)传递性：证40相似矩阵的性质：定理相似矩阵有相同的特征多项式,从而特征值相同。证推论1相似矩阵的行列式相等；推论2相似矩阵的迹相等；推论3若矩阵A与一个对角阵相似,(对角阵的特征值即为主对角元)。41注意：特征值相同的矩阵不一定相似。但它们不相似，因为与

E相似的矩阵只有它自己，因为对任意可逆阵P，42相似矩阵的其他性质：

相似矩阵的秩相等；若P,Q为可逆矩阵,则有43A,B同为可逆或不可逆,可逆时它们的逆矩阵及伴随矩阵也分别相似。只证(3)，其余证明留作练习。(1)(2)(3)(4)(5)(6)44例1解45(二)矩阵与对角矩阵相似的条件

n阶矩阵A与一个对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。定理如果一个矩阵能与一个对角阵相似,称该矩阵可以(相似)对角化。

证必要性：设A与一个对角阵相似,即存在一个可逆阵P,使46必要性得证。上述步骤倒过来写,即得充分性证明。

47推论1如果矩阵A的特征值互不相同，则A必可对角化。因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的。注意：这个条件是充分的而不是必要的。如果A的特征方程有重根，此时不一定有n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化；但如果能找到n个线性无关的特征向量，A还是能对角化。48解例249特征向量特征向量50特征向量特征向量特征向量5152例3解特征向量可对角化,53特征向量54例4解只有一个线性无关的特征向量,所以不能对角化。55一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵A能对角化，即存在可逆阵P，使得则于是转化为对角阵求幂，而对角阵求幂是容易的。56例1解57相应齐次线性方程组的基础解系为58相应齐次线性方程组的基础解系为596061练习解设

6263第三节实对称矩阵的特征值和特征向量(一)向量内积定义

给定

Rn

中向量实数

64向量的内积具有如下基本特性：65向量的长度：定义例166向量的长度具有如下性质：

证略67长度为1的向量称为单位向量。例2证68(二)正交向量组

定义显然零向量与任何向量都正交，即

69例3解将其单位化，得

70定义71定理证与上式两端作内积，得

72上述定理说明：一个向量组线性无关是该向量组为正交向量组的必要条件。但定理显然不是可逆的。73施密特正交化方法74例3将向量组正交化。解75解正交化。例3将向量组76练习解将向量组标准正交化。77再单位化,78(三)正交矩阵

定义

若

n阶实矩阵

Q

满足

则称

Q为正交矩阵。例1

单位矩阵

E是正交矩阵。例2所以Q是一个正交矩阵。79例3

在平面解析几何中，两个直角坐标系间的坐标变换公式为

写成矩阵形式为

80正交矩阵的基本性质：

(3)若

P

与

Q

都是

n

阶正交矩阵,则

PQ

也是

n

阶正交矩阵.逆命题也对；证所以

P

Q是正交矩阵。81例4

证82例5

证是对称正交阵.

故A为对称阵；

即A为正交阵。83定理

n阶矩阵

Q

为正交矩阵的充分必要条件是

Q的列(行)向量组是标准正交组。

证所以即Q的列向量组是标准正交组；利用即得行向量组的情况。84Q为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：(4)Q的列向量是两两正交的单位向量；(5)Q的行向量是两两正交的单位向量。85例6

验证矩阵是正交矩阵。P的每个列向量都是单位向量，且两两正交，所以P是正交矩阵。解86(四)实对称矩阵的特征值和特征向量

实对称矩阵的特征值都是实数。定理并非所有方阵都可对角化,但是实对称矩阵必可对角化。证证略实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交。定理只证两个特征向量的情况。87定理证略具体计算步骤如下：(1)求出实对称矩阵A的全部特征值；(2)若特征值是单根，则求出一个线性无关的特征向量，并加以单位化；

若特征值是重根，则求出重数个线性无关的特征向量，然后用施密特正交化方法化为正交组，再单位化；

(3)将这些两两正交的单位特征向量按列拼起来，就得到了正交矩阵Q。

88例4解89再单位化，拼起来得90例5解特征向量91正交化，92特征向量93单位化，拼起来得使94练习解再单位化,95于是所求正交阵为使96练习解特征向量97特征向量98再单位化，拼起来得使99ENDEND100习题选解10123、解102特征向量为正交化，103相应齐次线性方程组的基础解系为104再单位化，拼起来得使105解24、设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3；属于特征值1,2的特征向量分别为

(1)

求属于特征值3的特征向量；(2)

求矩阵A.

矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交,于是有

由于实对称即解齐次线性方程组,其系数矩阵为

106属于特征值3的特征向量为

(2)所以107二次型第五章108

本章讨论把一个n元二次齐次多项式化为仅含有完全平方项的和的形式，并研究有关的性质。

109第一节二次型与对称矩阵(一)二次型及其矩阵定义称为一个(n元)二次型.本课程只讨论实二次型，即系数全是实数的二次型。

110于是上述二次型可以写成如下求和形式

111112记则上述二次型可以用矩阵形式表示为

A称为二次型的矩阵。

113A的秩称为该二次型的秩。A称为二次型的矩阵。

A是一个实对称矩阵。

事实上，由一个实对称矩阵也可构造唯一的实二次型，也就是说，实二次型与实对称矩阵是一一对应的，所以，研究二次型的性质可以转化为研究它的矩阵A所具有的性质。

114例1写出二次型

的矩阵。解115练习设二次型

求二次型的矩阵A和二次型的秩。解所以r(A)=3，即二次型的秩等于3。116练习设二次型

的矩阵A和二次型的秩，解所以二次型

f

的矩阵为117(二)线性变换在平面解析几何中，为了确定二次方程

所表示的曲线的性态，通常利用转轴公式：

118定义关系式

记则上述线性变换可以写成矩阵形式：119C称为该线性变换的矩阵。

如果C为正交矩阵，则此线性变换称为正交变换。

容易验证，转轴公式是一个正交变换。120(三)矩阵的合同关系由于

C是可逆矩阵，所以

A和

B秩相等，从而两个二次型的秩相等。

121定义

与矩阵的相似关系类似，矩阵之间的合同关系也具有以下性质：(1)反身性：(2)对称性：(3)传递性：AAABBAABBCAC证明只证(3)，其余留作练习。122第二节二次型与对称矩阵的标准型123(一)二次型的标准形定义下面介绍二次型化为标准形的方法。1241、用拉格朗日配方法化二次型为标准形拉格朗日配方法的基本步骤：2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方。1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;125例1用配方法化二次型

解为标准形，并写出对应的可逆线性变换。126标准形为所用变换矩阵为127例1用配方法化二次型

解为标准形，并写出对应的可逆线性变换。含有平方项去掉配方后多出来的项128标准形为所用变换矩阵为129例2用配方法化二次型解为标准形，并写出对应的可逆线性变换。所给二次型中无平方项，所以先作线性替换原二次型化为130再配方，得标准形为131所用变换矩阵为对应的线性变换为132为标准形，并写出对应的可逆线性变换。解所给二次型中无平方项，所以先作线性变换练习用配方法化二次型

133所用可逆线性替换为134(二)用正交变换法化二次型为标准形定理任何二次型都可以通过正交变换化为标准形。而由正交阵性质可知，

因此这样的正交

135用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：136例4用正交变换将二次型

解化为标准形，并求所作的正交变换。二次型的矩阵以及正交矩阵137于是所求正交变换为标准形为138练习用正交变换将二次型

解化为标准形，并求所作的正交变换。二次型的矩阵139140再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵正交化，141于是所求正交变换为标准形为142练习用正交变换将二次型

解化为标准形，并求所作的正交变换。二次型的矩阵全加法143144145正交化，146147再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵所作正交变换为标准形为148例5已知二次型

解二次型的矩阵149单位化后拼起来，即得所求正交变换x=Q

y

的矩阵为150练习解151由题意,这两个矩阵相似,

152化为标准型，并指出表示何种二次曲面.练习求一正交变换，将二次型解对应特征向量为153再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵二次型的标准形154(四)二次型与对称矩阵的规范形一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的。

但是，标准形中系数不为零的项数是确定的，项数等于二次型的秩。实际上，不仅标准形中的非零系数的个数是确定的，其中正的系数个数和负的系数个数也被原二次型所确定，这就是下面的“惯性定理”。155定理(惯性定理)p为正惯性指数,正负惯性指数的差

称为二次型的符号差.为负惯性指数,无论用何种可逆线性变换把它化为标准形,其中正的系数个数(称正惯性指数)和负的系数个数(称负惯性指数)唯一确定。证略156继续作可逆线性变换矩阵形式为157二次型化为称之为二次型的规范形。定理任一二次型都可以通过可逆线性变换化为规范形，且规范形是唯一的。化二次型时，所作的线性变换不一定是正交变换。158定理

任一实对称矩阵

A与对角阵上式称为矩阵A的规范形。159推论

两个

n阶实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩和正惯性指数分别相等。160第三节二次型与对称矩阵的有定性定义如果二次型的取值有正有负，就称为不定二次型。

设

A

为实对称矩阵，对任意非零向量X，161正定矩阵、正定二次型的判别：由定义，可得以下结论：

充分性是显然的；下面用反证法证必要性：

代入二次型，得

162由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只要通过非退化线性变换，将其化为标准形，就容易由以下定理判别其正定性。

163定理准则1实对称矩阵

A正定的充分必要条件是A的特征值全为正。164解例1判别二次型是否正定。二次型对应的矩阵为

165全为正，

因此二次型正定。

166准则2167解例2判别二次型是否正定。二次型对应的矩阵为

它的顺序主子式为：

因此

A是正定的，

即二次型

f正定。

168解例3设有实二次型

问

t

取何值时，该二次型为正定二次型？

f的矩阵为顺序主子式为：

解得169正定矩阵的性质：准则1实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值全为正。1、若

A为正定矩阵，则

A

的行列式为正，因而可逆。

170都是正定阵，2、若

A为正定矩阵，则其中

k

为正整数。这是因为：正定矩阵的性质：1、若

A为正定矩阵，则

A

的行列式为正，因而可逆。