高考数学一轮复习：三角形中的范围与最值问题（十七大题型）（原卷版+解析）

重难点突破03三角形中的范围与最值问题

目录

题型一：周长问题

题型二：面积问题

题型三：长度问题

■方法技巧总结____________________

1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点.解决这类问题,

通常有下列五种解题技巧：

(1)利用基本不等式求范围或最值；

(2)利用三角函数求范围或最值；

(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；

(4)根据三角形解的个数求范围或最值；

(5)利用二次函数求范围或最值.

要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函

数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形

自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.

2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：

(1)求角的最值；

(2)求边和周长的最值及范围；

(3)求面积的最值和范围.

题型一：周长问题

例1.(2023•贵州贵阳•校联考模拟预测)记。8c内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且

S+b2-c2)(acos5+bcosA)=abc.

⑴求C；

⑵若“BC为锐角三角形，c=2,求“8C周长范围.

例2.(2023•甘肃武威•高三武威第六中学校考阶段练习)在锐角△48C中，,(2b-c)cosA=acosC,

(1)求角N;

(2)求△/BC的周长/的范围.

例3.(2023,全国•高三专题练习)在①2s=y[3AB-AC;@2cos2---=1+cos2A；@c—y[3asinC-ccosA;

在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.

在锐角中，内角/、B、C,的对边分别是。、b、c,且______

(1)求角A的大小；

(2)若.=百，求周长的范围.

变式1.(2023・全国•模拟预测)在锐角ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为“，b,c,且

c-b=acosB-bcosA.

(1)求角A的大小；

(2)若。=1,求“BC周长的范围.

变式2.(2023•陕西西安•高三西安中学校考阶段练习)的内角B,C的对边分别为a,6,c且满足

a=2,acosB=(2c-b)cos/.

(1)求角A的大小；

⑵求“3C周长的范围.

题型二：面积问题

例4.(2023•全国•模拟预测)已知在锐角力8。中，内角43,C所对的边分别为a,b,c,且而=(2sinx,Gb

n=(cosx,cos2x),/(x)=mn,/(S+C)=0.

(1)求角/的值；

(2)若6=1,求。BC面积的范围.

例5.（2023•江苏南通・统考模拟预测）如图，某植物园内有一块圆形区域，在其内接四边形/BCD内种植了

两种花卉，其中区域内种植兰花，△BCD区域内种植丁香花，对角线2。是一条观赏小道.测量可

知边界48=60m,BC=20m,AD=CD=40m.

（1）求观赏小道8。的长及种植区域/BCD的面积；

（2）因地理条件限制，种植丁香花的边界BC,CD不能变更，而边界可以调整，使得种植兰花的

面积有所增加，请在加。上设计一点尸，使得种植区域改造后的新区域（四边形9CD）的面积最大，并

求出这个面积的最大值.

例6.（2023•山东青岛•高三青岛三十九中校考期中）在①a=2,②a=b=2,③b=c=2这三个条件中任选

一个，补充在下面问题中，求△/BC的面积的值（或最大值）.已知△/BC的内角/,B,C所对的边分别

为a,b,c,三边a,b,c与面积S满足关系式：4S=b2+c2-a2,且,求△/8C的面积的值（或最

大值）.

变式3.（2023•江苏苏州•高三常熟中学校考阶段练习）如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地

其中CU=3km,OB=343km,4408=90。.物业管理部门拟在中间开挖一个三角形人工湖。儿W,其中M,

N都在边48上（M,N均不与重合，/在A,N之间），且/MON=30。.

（1）若M在距离A点1km处，求点N之间的距离；

⑵设ZBON=0,

①求出AOMN的面积s关于e的表达式；

②为节省投入资金，三角形人工湖的面积要尽可能小，试确定。的值，使AOJW得面积最小，并求出

这个最小面积.

变式4.（2023・全国•高三专题练习）在“3C中，SABC^-BA-BC,BC^3.

（1）。为线段8C上一点，且CO=22O,AD=1,求ZC长度；

（2）若“3C为锐角三角形，求AASC面积的范围.

变式5.（2023・河北•高三校联考阶段练习）已知在“3C中，内角A,B,C的对边分别为。，6,c,且

asin8_&

bcosA

（1）若”=2石，b=2,求c的大小；

（2）若6=2,且C是钝角，求AABC面积的大小范围.

题型三：长度问题

例7.（2023•浙江丽水•高三浙江省丽水中学校联考期末）已知锐角AA8C内角4B,C的对边分别为a,b,c.

若bsinB-csinC=（b-a）sirU.

⑴求C;

⑵若c=百，求a-b的范围.

例8.（2023・福建莆田•高三校考期中）在A48C中，a,b,c分别为角4,B,C所对的边，b=243,

（2c-a）sinC={b2+c2_力产；8

⑴求角B;

⑵求2a-c的范围.

例9.（2023•重庆江北•高三校考阶段练习）在"BC中，内角A,B,C所对的边分别。，b,c,且

（2c公、3

lacos—+ccos~—\（a+c-o）=-ac.

（1）求角B的大小；

（2）若6=2百，c=x（x>0）,当“8c仅有一解时，写出x的范围，并求的取值范围.

变式6.（2023•全国•高三专题练习）已知的内角B,C的对边分别为a,b,c,且满足条件；a=4,

sin2^4+sinBsinC=sin23+sin2C.

（I）求角A的值；

（II）求处—c的范围.

变式7.（2023・全国•高三专题练习）在A43C中，a,6,c分别是角4,8,C的对边（a+b+c）（a+b-c）=3仍.

（1）求角C的值；

（2）若c=2,且AABC为锐角三角形，求2a-b的范围.

变式8.（2023•山西运城・统考模拟预测）的内角B,C的对边分别为a,b,c.

（1）求证：sm（…q

sin4+sinBc

TT

（2）若AABC是锐角三角形，A-B=-,a-b=2,求c的范围.

变式9.（2023・安徽亳州•高三统考期末）在锐角AA8C中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知

asinC=ccosA----

I6

（1）求角A的大小;

(2)设H为AA8C的垂心，且/〃=1,求8H+C”的范围.

题型四：转化为角范围问题

例10.(2023•全国"高三专题练习)在锐角AABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且

(a+6)(sinA-sinB)=(c-b)sinC.

⑴求A；

(2)求cos8-cosC的取值范围.

例11.(2023・全国•高三专题练习)已知AABC的内角A、B、C的对边分别为〃、b、c,且

a-b-c(cos2?-cosA).

(1)判断AABC的形状并给出证明；

(2)若a1b,求sin/+sin8+sinC的取值范围.

例12.(2023・河北保定•高一定州一中校考阶段练习)设“3C的内角4用C的对边分别为a,6,c,已知

1-sin/_l-cos25

cos/sin23

(1)判断/的形状(锐角、直角、钝角三角形)，并给出证明；

(2)求纪:亘的最小值.

C

变式10.(2023・广东佛山•高一大沥高中校考阶段练习)已知AA8C的三个内角B,C的对边分别为a,b,

c,且万•%+防衣=2田•瓦；

(1)若竽=巴亚，判断“3C的形状并说明理由；

ba

（2）若“是锐角三角形，求cosC的取值范围.

变式11.（2023・全国•高三专题练习）在AASC中，角N,B,C所对的边分别是a,b,c.已知”=1力=啦.

（1）若求角/的大小；

⑵求cos/cos[/+g]的取值范围.

变式12.（2023•江西吉安•高二江西省峡江中学校考开学考试）在锐角“3C中，角/,B,C所对的边分别

是a,b,c,b2+c2-a1-2bcsin（^+—）.

6

Cl）求角N的大小；

（2）求sinbsinC的取值范围.

变式13.（2023・全国•高三专题练习）在锐角“8C中，角4B,。所对的边分别为a,6,c.若c?+儿-/=（）,

/X?11

则4（sinC+cosC）+——-------；的取值范围为（）

'7tanCtanA

A.（4>/2,9）B.（8,9）C.-^-+4,9D.（26+4,9）

I3J

题型五：倍角问题

例13.（2023•浙江绍兴•高一诸暨中学校考期中）在锐角”3C中，内角/,B,。所对的边分别为a,b,c,

已知b+c=2acosB.

（1）证明：A=2B；

（2）若6=1,求。的取值范围；

（3）若“3C的三边边长为连续的正整数，求“3C的面积.

例14.（2023•全国•高三专题练习）已知AA8C的内角A,B,C的对边分别为。，b,c.若A=2B,且A

为锐角，则Q二+―1的最小值为（）

bcosA

A.2V2+1c.2V2+2D.4

例15.（2023・全国•高三专题练习）锐角的角4B,C所对的边为a,b,c,A=2B,则f的范围是

变式14.（2023•全国•高三专题练习）在锐角“BC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,“3C的面

2V

积为5,若sin（/+C）=”~贝Itan/的取值范围为______.

b-a

变式15.（2023•全国•高三专题练习）已知的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,若N=23,则

竺士里的取值范围为.

变式16.（2023・全国•高三专题练习）在锐角“BC中/=2B,B,C的对边长分别是6,c,则丁也的取

值范围是（）

A.I!B.C.\,|]D,[|,|j

变式17.（2023•福建三明•高一三明市第二中学校考阶段练习）在锐角中，44=248,/B,NC的

对边分别是6,c,则竺£的范围是（）

43

352P2

变式18.（2023・江苏南京•高一金陵中学校考期中）已知△/BC的内角/,B,C的对边分别为a,b,C,若

A=2B,则£+（生]的最小值为（）

A.-1

题型六：角平分线问题

例16.(2023•江苏盐城・高一江苏省射阳中学校考阶段练习)己知“BC的内角4SC的对边分别为a,6,c,

asin5+A/3COS5

且NRB.

~bsin/+geos/

(1)求角C的大小；

(2)若角C的平分线交于点D,且CD=2g,求a+26的最小值.

例17.(2023•江苏淮安•高一统考期中)如图，中，AB=2AC,/8NC的平分线/。交BC于。.

CDB

⑴若4D=BC,求/B4C的余弦值；

(2)若/C=3,求的取值范围.

例18.(2023•浙江杭州•高一校联考期中)在①a+acosC=V§csin/,②(a+b+c)(a+6-c)=3ab,③

(a-/7)sin(5+C)+&sinS=csinC.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知在AA8C中，角4B,C的对边分别是a,b,c,

(1)求角。的值；

(2)若角C的平分线交于点。，且CO=2G，求2a+b的最小值.

变式19.(2023•河北沧州•校考模拟预测)已知“3C的内角4民C所对的边分别为a,6,c,且

acosC+(26+c)cos/=0,角A的平分线与边BC交于点。.

⑴求角A；

(2)若40=2,求6+4c的最小值.

变式20.(2023•山东泰安・校考模拟预测)在锐角”3C中，内角4民C所对的边分别为。,6,c,满足

sinA,sin2A-sin2C.,„

---------1=-------------------，且a/，C.

sinCsin*B

(1)求证：B=2C；

⑵已知2。是24BC的平分线，若。=6,求线段8。长度的取值范围.

变式21.(2023・全国•高一专题练习)在中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足

2asinAcosB+bsin2A=2逝acosC■

(1)求角C的大小；

⑵若c=2百，/48C与/A4c的平分线交于点/,求△AB/周长的最大值.

变式22.(2023・四川成都•石室中学校考模拟预测)在“3C中，角42,C所对的边分别为a,6,c,且

sinW=asin8,边BC上有一动点D.

(1)当。为边8C中点时，若AD=C,b=2,求c的长度；

(2)当4D为2胡C的平分线时，若a=4,求4D的最大值.

题型七：中线问题

例19.(2023・湖南长沙•高一雅礼中学校考期中)在锐角“3C中，角4瓦C的对边分别是“，b,c,若

2c-b_cosB

acosA

(1)求角A的大小；

(2)若a=2,求中线4。长的范围(点。是边中点).

例20.(2023・安徽•合肥一中校联考模拟预测)记小5。的内角4,B,C的对边分别是eb,c,已知

.712c-b

sm—+Bn

(22a

⑴求/;

⑵若6+c=3,求BC边中线4W的取值范围.

例21.(2023•全国•高一专题练习)在锐角三角形/8C中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,已知

asirU+ftsin5=csinC+41bsinA■

(1)求角C的大小；

⑵若c=2,边NB的中点为。，求中线CD长的取值范围.

变式23.(2023・辽宁沈阳・沈阳二中校考模拟预测)在中，角N,B,C的对边分别是a,b,c,若

2c-b_cos5

acosA

(1)求角A的大小；

(2)若a=2,求中线4。长的最大值(点。是边中点).

变式24.(2023・广东广州•高二广州六中校考期中)在△/BC中，角/,B,。所对的边分别为a,b,c,已

知43acosC-asinC=-

(1)求角A的大小；

(2)若a=2,求8。边上的中线ND长度的最小值.

题型八：四心问题

例22.(2023・四川凉山•校联考一模)设A/BO(O是坐标原点)的重心、内心分别是G,/,且丽〃面,

若5(0,4),则cosZOAB的最小值是.

例23.(2023•全国•高三专题练习)在中，。也c分别为内角42,C的对边，且

(acosC+ccos/)tan/=.

(1)求角A的大小；

(2)若0=#，。为“BC的内心，求OB+OC的最大值.

例24.(2023•全国•模拟预测)已知锐角三角形/8C的内角4瓦。的对边分别为a,6,c,且

(c-b)sinC=(acosC-6)sinS+acosSsinC.

⑴求角A；

(2)若H为的垂心，a-2,求"面积的最大值.

变式25.(2023・江苏无锡・高一锡东高中校考期中)在中，。力,。分别是角45,C的对边，

2acosA=bcosC+ccosB.

(1)求角A的大小；

(2)若“3C为锐角三角形，且其面积为亭，点G为“BC重心，点”为线段4C的中点，点N在线段

上，旦AN=2NB,线段四与线段CN相交于点尸，求|碇|的取值范围.

变式26.(2023•河北邢台•高一统考期末)记”8C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知

2A/3(COS2C-COS2A)=(a-b)sin/?,且^ABC外接圆的半径为G.

(1)求。的大小；

(2)若G是“3C的重心，求A/CG面积的最大值.

变式27.（2023・辽宁抚顺・高一抚顺一中校考阶段练习）如图，记锐角”3C的内角B,C的对边分别为

a,b,c,c=2b=4,N的角平分线交8C于点。，。为“3C的重心，过。作O尸〃8C,交/。于点尸，过

尸作PE_LZ3于点£.

（1）求。的取值范围；

⑵若四边形BDPE与AABC的面积之比为2,求彳的取值范围.

变式28.（2023・浙江•高一路桥中学校联考期中）若。是。8C的外心，且

4^r-（AB-Ad}+4^-（AC-AO）=-Ad2>贝！Jsin8+2sinC的最大值是（）

AB~''AC2

A.V3+—B.—+V2C.=D.272

222

变式29.（2023・全国•高三专题练习）已知。是三角形/3C的外心，若江刀・前+组工•方=加

ABAC

且sinB+sinC=百，则实数加的最大值为（）

614

A.6B.-C.—D.3

55

题型九：坐标法

JT

例25.（2023•全国•高三专题练习）在RtZ\4BC中，NBAC=—，AB=AC=2,点M在“3C内部,

2

3

22

COSZAMC=--,则MB-MA的最小值为.

例26.（2023•全国•高一专题练习）在中，48=2,AC=36，NB4c=135°,M是所在平面上

的动点，则卬=而.标+&瓦前+双己而的最小值为.

例27.（2023・湖北武汉•高二武汉市第三中学校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知2,C为圆

苫2+必=9上两点，点/（1,1）,且则线段8c的长的取值范围是.

变式30.（2023・全国•高三专题练习）在AA8C中，AB=ACX,且A48C所在平面内存在一点尸使得

PB2+PC2=3PA2=3,则AABC面积的最大值为（）

AT口57230后「3A/35

16416

变式31.（2023・全国•高三专题练习）在等边中，M为。BC内一动点，ZBMC=120°,则可的最

MC

小值是（）

A.1B.-C.—D.—

423

变式32.（2023•江西•高三校联考开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三

角形三个内角均小于120。时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形

三边的张角相等且均为120。.根据以上性质，.则

F（x,y）=q（x-26f+）+O-12。Mf+（y-25的最小值为（）

A.4B.2+2百C.3+26D.4+2百

题型十：隐圆问题

例28.（2023•全国•高三专题练习）在平面四边形/BCD中，连接对角线已知CD=9,BD=16,

4

^BDC=90°,sinA=~,则对角线/C的最大值为（）

A.27B.16C.10D.25

例29.（2023•江苏泰州•高三阶段练习）已知。3C中，BC=2,G为的重心，且满足/GL3G,则

AABC的面积的最大值为.

例30.（2023・湖北武汉•高二武汉市洪山高级中学校考开学考试）已知等边的边长为2,点G是。8c

内的一点，且而+而+西=0,点尸在"BC所在的平面内且满足户同=1,则|可|的最大值为.

变式33.（2023•全国•高三专题练习）在平面四边形ABCD中，ABAD=90°,AB=2,AD=\.若

AB-AC+BA-BC=-CA-CB,则C3+]CD的最小值为

32------

变式34.（2023・全国•高三专题练习）若》满足条件N2=4,ACfBC，则。面积的最大值为

变式35.（2023・江苏•高三专题练习）在。3C中，BC为定长，|与+2就卜3瓯|,若的面积的最大

值为2,则边BC的长为

变式36.（2023•全国•高三专题练习）“BC中AB=/C=2,AABC所在平面内存在点尸使得产4+PC?=4,

P/2=1,则^ABC的面积最大值为.

变式37.（2023•全国■高三专题练习）已知AA8C中，AB=AC=6，AABC所在平面内存在点尸使得

PB2+PC2=3PA2=3，则AABC面积的最大值为.

题型H1：两边夹问题

例31.（2023・全国•高三专题练习）在中，若空"+您g=2,4Be（0，W],且23C的周长为12.

sm5sm/I2/

（1）求证：“8C为直角三角形；

（2）求AABC面积的最大值.

例32.（2023•全国•高三专题练习）设A4BC的内角4B,C的对边长a,b,c成等比数列，

cos（Z-C）-cosB=g,延长3c至若BD=2,则A4cZ）面积的最大值为.

例33.（2023•全国"高三专题练习）设A43C的内角/,B,。的对边为。，b,c.已知。，b,c依次成等比

数列，且cos（/-C）-cosB=],延长边2c到。，若3Z）=4,则A4co面积的最大值为.

题型十二：与正切有关的最值问题

例34.（2023・全国•高一专题练习）在锐角三角形中，角A、3、C的对边分别为。、6、。，且满足

b2-a2=ac,则一^一一二的取值范围为

tanAtanB

例35.（2023•全国•高一阶段练习）在中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,S.bsm^-=asmB.

（1）求/角的值；

（2）若“BC为锐角三角形，利用（1）所求的/角值求一的取值范围.

例36.（2023・全国・高三专题练习）在“6。中，内角43,。所对的边分别为0,6,小且从山^^=好出8.求:

（1）A;

（2）的取值范围.

b

变式38.（2023・全国•高三专题练习）锐角AABC是单位圆的内接三角形，角4,B,C的对边分别为a,b,

ac

c,^a2+b2-c1=4（72cosA-laccosB,则丁的取值范围是（）

A.Qd)B.(V3,3A/3)

变式39.（2023・安徽合肥・高一合肥市第七中学校考期中）在锐角“3C中，角A,B,C的对边分别为

CA

b,c,S为的面积，且2S=/-（6-c）,则一的取值范围为（）

233435

2

P352453513

变式40.（2023・全国•高三专题练习）在锐角AASC中，角4B、C所对的边分别为。也c,若/一°2=历，

则」二——-—+3sin/的取值范围为（）

tanCtanA

A.(2^3,+00)B.(2后4)D.(273,—)

6

题型十三：最大角问题

例37.（2023•全国・高三专题练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M,N是锐角N/Q3的一边

Q4上的两点，试在03边上找一点P,使得最大.”如图，其结论是：点尸为过M,N两点且和射

线。2相切的圆与射线”的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点

M（-l,2）,N（l,4）,点尸在x轴上移动，当NMFN取最大值时，点尸的横坐标是（）

A

上PB

A.1B.-7C.1或一7D.2或一7

3

例38.（2023・全国・高三专题练习）设“5。中，内角A,B,。所对的边分别为。,b,。，且acosB-bcos/=1c,

则tanQ-B）的最大值为（）

3133

A.—B.-C.-D.一

5384

例39.（2023•江西上饶•高三上饶中学校考期中）在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

acosB-bcosA=^c,当tan（A—B）取最大值时，角C的值为

7171—7171

A.-B.—C.—D.一

2634

变式41.（2023・河南信阳・高一信阳高中校考阶段练习）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何

极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面12米，树上另一点5离地面8米，

若在离地面2米的C处看此树，则tan44cB的最大值为（）

A

A-TB-fC-岳n疝

-----\_）•-----

1520

2111

变式42.（2023•江苏扬州•高一统考期中）如图:已知树顶/离地面£米，树上另一点5离地面1米，某

22

3

人在离地面万米的c处看此树，则该人离此树（）米时，看/、B的视角最大.

C.6D.7

题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题

例40.(2023•重庆沙坪坝•高一重庆南开中学校考阶段练习)AABC内一点。，满足NCMC=NOA4=/OC2,

则点。称为三角形的布洛卡点.王聪同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确结论，比如

ZBOC=n-ZABC=ABAC+ZACB,请你和他一起解决如下问题：

(1)若a,b,c分别是/,B,C的对边，ZCAO=ZBAO=ZOBA=ZOCB,证明：a2=be;

(2)在(1)的条件下，若“3C的周长为4,试把关.能表示为。的函数/(。)，并求关：修的取值范围.

例41.(2023•浙江宁波・高一慈溪中学校联考期末)十七世纪法国数学家皮埃尔•德・费马提出的一个著名的几

何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三

角形的三个角均小于120。时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角

1200；当三角形有一内角大于或等于120。时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为

费马点，已知在中，已知C=§兀，/C=l,BC=2,且点M在N2线段上，且满足=若点

尸为AMWC的费马点，贝!I莎.同7+同7.定+方.定=()

432

A.-1B.——C.一一D.——

555

例42.(2023・全国•高三专题练习)点尸在“3C所在平面内一点，当尸/+P8+PC取到最小值时，则称该

点为的“费马点”.当“8C的三个内角均小于120。时，费马点满足如下特征：

/4P2=/BPC=NCP/=120。.如图，在中，AB=AC=5,BC=6则其费马点到4尻。三点

的距离之和为（）

B.2

D.2+73

变式43.（2023・湖南邵阳•统考三模）拿破仑•波拿巴最早提出了一个几何定理：“以任意三角形的三条边为

边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形

称为拿破仑三角形）的顶点”.在△NBC中，已知乙4cs=30。，且/C=6，BC=3,现以8C,AC,AB为

边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为4,B',C,贝卜4B'C'的边长为（）

A.3B.2C.V3D.V2

变式44.（2023・河南•高一校联考期末）几何定理：以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形,

则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（称为拿破仑三角形）的顶点.在“3C中，已知

C=9/C=g,外接圆的半径为百，现以其三边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为4,B',

6

C,则A/0c的面积为（）

A.3B.2C.V3D.V2

题型十五：托勒密定理及旋转相似

例43.（2023•江苏淮安•高一校联考期中）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是

由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积

与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.

从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基

本性质.已知四边形48。的四个顶点在同一个圆的圆周上，/C、3。是其两条对角线，BD=4^,且A/CD

为正三角形，则四边形/BCD的面积为（）

D

C.1273D.12

例44.（2023•全国•高三专题练习）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名

字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一

组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从

这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本

性质.已知四边形48CD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC.是其两条对角线，BD=4G,，且ANQ?

为正三角形，则四边形的面积为（）

A.8B.16C.8A/3D.1673

例45.（2023•全国•高三专题练习）克罗狄斯・托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著

的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或

等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论.如图，

四边形48CD内接于半径为2G的圆，44=120。，Z5=45°,AB=AD,则四边形/BCD的周长为（）

C.4百+4血D.4百+5行

变式45.（2023•江苏•高一专题练习）凸四边形就是没有角度数大于180。的四边形，把四边形任何一边向两

方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形/BCD中,

AB=\,BC=也,ACLCD,AD=2AC,当/48C变化时，对角线3。的最大值为（）

A.4B.V13C.3A/3D.,7+26

变式46.（2023・江苏无锡•高一江苏省江阴市第一中学校考阶段练习）在中，BC=叵，/C=l,以4B

为边作等腰直角三角形为直角顶点，C,。两点在直线48的两侧）.当角C变化时，线段CD长度的

最大值是（）

A.3B.4C.5D.9

变式47.（2023・全国•高一专题练习）在AABC中，BC=6,AC=\,以48为边作等腰直角三角形23。（5

为直角顶点，C、。两点在直线的两侧）.当/C变化时，线段CD长的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

变式48.（2023・全国•高三专题练习）如图所示，在平面四边形/8CO中，AB=\,BC=2,A/C。为正三角

形，则A8CD面积的最大值为（）

C.告+2

A.2百+2D.V3+1

题型十六：三角形中的平方问题

例46.（2023•全国•高三专题练习）已知△NBC的三边分别为a,b,c,若满足q2+〃+2c2=8,则△/5C面

积的最大值为（）

3M

A.—br•-----

5-¥5D-T

例47.（2023•全国•高三专题练习）在AA8C中，角/，瓦C所对的边分别为a,b,c,且满足5/+3/=3c?,

则sinN的取值范围是.

例48.（2023•湖南常德・常德市一中校考模拟预测）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》

中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幕并大斜幕减中斜幕，余半之，自乘于上以小斜幕乘大斜幕减

上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是

S=JI；,其中0,b,c是448C的内角/,B,C的对边，若sinC=2sin/cos8,且

"+，=4,则AABC面积S的最大值为（）

2人375

55

变式49.（2023•河南洛阳•高三校考阶段练习）^ABC的内角/,3,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2+c2=12,

A=~'则"3C面积的最大值为（）

A273„373

55

变式50.（2023•云南・统考一模）已知AABC的三个内角分别为A、B、C.若sir?C=2sin2^-3sin2B,则tan5

的最大值为（）

11V5D.手

20

变式51.（2023・四川遂宁•高一射洪中学校考阶段练习）设。3c的内角A,B,C所对的边〃，b,。满足

sinA+cosAtanC

b2=acJ则的取值范围（

sinB+cosBtanC

"V5-16+1、’3-垂＞3+忖

2'22，F-

乙）\7

'也-16+3、‘3-亚1+5

变式52.（2023・全国•高三专题练习）在锐角三角形4BC中,已知2sin?/+sin?2=2sir?C,则

，；+—1—+—的最小值为（）

tanAtanBtanC

A.2V13B.V13C.—D.姮

24

题型十七：等面积法、张角定理

例49.（2023・全国•高三专题练习）已知。的内角4民。对应的边分别是a/,c,内角A的角平分线交

边BC于。点，且AD=4.若（2b+c）cos/+acosC=0,则“3C面积的最小值是（）

A.16B.16A/3C.64D.64G

例50.（2023•湖北武汉•高一校联考期中）已知△ABC的面积为S,/A4C=2a,4D是的角