中考数学重难点题型突破训练：整式运算及应用

1.2重难点题型突破训练：整式运算及应用

题型分类结构图（本专题共100题102页）

题型U数字规律探究

/

题型2：图形规律探究

题型3:图形周长探究问题

题型4:与整式有关的图形面积问题

整式运算及应用

题型5：未知项（符号）探究

题型6:整式运算的应用

题型7:因式分解的应用

题型1：数字规律探究

典例：（2022•河北石家庄•九年级期中）如图为2022年10月的日历表,在其中用一个方框圈出4个数（如

图中虚框所示），设这4个数从小到大依次为。，b,c,d.

|2022年\/|<|10月\/|>

日一二三四五六

1

国庆节

2345678

重阳节P----------,

910111211314;15

16171819;2021J22

23242526272829

3031

⑴若用含有。的式子分别表示出b,c,d,其结果应为：b=C=；d=

（2）按这种方法所圈出的四个数中，仍的最大值为

⑶嘉嘉说："按这种方法可以圈出四个数，使得6c的值为135."

淇淇说："按这种方法可以圈出四个数，使最小数。与最大数d的乘积温为84.”

请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确.

解：（1）同一行，左右相差1,同列，上下相差7,

••b—ci\9c=a+7，d=a+7+l=a+8,

是：〃+1,。+7,6Z+8.

（2）解:V«+8<31,

A«<23,

•・"=Q+1,

・•・/）＜24,

・・・"423x24=552,即打的最大值为552.

（3）解：由（1）可知6=〃+1,c=〃+7,d=a+8,

・••嘉嘉的说法是：庆=5+1）（a+7）,使得be的值为135,

工（〃+1）（〃+7）=/+8〃+7=135,解方程得，4=8,a2=-16（舍去）

89

则虚框圈出的四个数应为1?一19,它在日历表中不存在，所以嘉嘉的说法不正确;

淇淇的说法是：ad=+8）=84,即〃2+8〃-84=0,解方程得，%=6,a2=-14（舍去）,

67

则虚线圈出的四个数为勺，在日历表中存在，所以淇淇的说法正确.

巩固练习

1.（2022・西藏・中考真题）按一定规律排列的一组数据：；，-f三斗，-三，....则按此规律

252172637

排列的第10个数是（）

19211921

A.------B.C.------D.—

1011018282

【答案】A

【分析】把第3个数转化为：以，不难看出分子是从1开始的奇数，分母是川+1,且奇数项是正，偶数项

是负，据此即可求解.

【详解】原数据可转化为：13■5，千7七9*11，…，

1+12x1-1

•4=（T）X

12+1

3/\2+i2x2—1

一一二(T)x------

5')22+l

5/、3+i2x3—1

—=(一］)x—；---

10\)32+l

第0个数为：（-1广，笔，

及+1

•片女ac，人一小g、1/\lo+i2x10—119

•.第工。个数为：（-11）X-7=一而.

故选：A.

【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律.

2.（2021・广西百色・二模）将一组数收，2,后，2vLJ16,…，2厢,按下列方式进行排列:

亚,2,屈,2A/2，VH）;

25V14，4,372，2V5;

若2的位置记为（1,2）,2G的位置记为（2,1）,则回这个数的位置记为（）

A.（5,4）B.（4,4）C.（4,3）D.（3,5）

【答案】C

【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得圆的位置即可.

【详解】解：这组数据可表示为：V2,V4,V6,V8，Vnj,712,714,716,718,720...

：36+2=18,18+5=3…3

•••回为第4行，第3个数字.

故选：C.

【点睛】此题考查的是数字的变化规律以及二次根式的化简，找出其中的规律是解题的关键.

3.（2022•重庆市第一一。中学校模拟预测）有依次排列的3个整式：x,x+7,尤-2,对任意相邻的两个

整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：尤，7,

x+7,-9,%-2,则称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此类

推.通过实际操作，得出以下结论：

（D整式串2为：x,7—x,7,x,x+7,—X—16,—9,x+7,x~2；

②整式串3共17个整式；

③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；

④整式串2021的所有整式的和为3X-4037；

上述四个结论正确的有()个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据整式的加减运算法则和整式的乘法则进行计算，从而作出判断.

【详解】解：：第一次操作后的整式串为：x,7,x+7,-9,x-2,共5个整式，

第一次操作后的整式串的和为：x+7+x+7+(-9)+x-2=3x+3,

二第二次操作后的整式串为x,7-x,7,x,x+7,-16-x,-9,x+7,%-2,共9个整式，故①的

结论正确，符合题意；

第二次操作后所有整式的和为：

x+7—x+7+x+x+7+(-16—x)+(-9)+x+7+x-2=3x+1=3x+3-2=3x+3-2x1

第三次操作后整式串为无，7-2x,7-x,x,7,x-1,x,7,x+7,-23-2x,-16-x,7+x,-9,

x+16,x+7,-9,x-2,共17个整式，故②的结论正确，符合题意；

第三次操作后整式串的和为：

x+7-2尤+7-x+x+7+x—7+x+7+x+7+(-23-2x)

+(-16-x)+7+x+(-9)+x+16+x+7+(-9)+x-2=3x—1=3x+3-2-2

=3x+3-2x2：

故第三次操作后的整式串的和与第二次操作后的整式和的差为：3x-l-(3x+l)=-2,

即整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2,故③结论正确，符合题意；

第〃次操作后所有整式的积为3X+3-2(〃-1)=3X-2〃+5,

.•.第2021次操作后，所有的整式的和为3x-2x(2021—1)+5=3X—6055,

故④的说法不正确，不符合题意；

正确的说法有①②③，共3个.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了整式的加减，数字的规律，解题关键是从所给的式子分析出所存在的规律.

4.(2022•重庆南开中学九年级期中)有依次排列的两个整式。，b,第1次操作后得到整式串。，b,b-a-,

第2次操作后得到整式串a,b,b-a,-a；其操作规律为：每次操作增加的项为前两项的差（后一项-前

一项），下列说法：

①第4次操作后的整式串为。，b,b-a,a,-b-b,a-b；

②第2022次操作后的整式串各项之和为a+b；

③第36次操作增加的项与第63次操作增加的项一定互为相反数.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】其操作规律为：每次操作增加的项为前两项的差（后一项-前一项），列举中有限次的结果，并进

行对比，找到字母间的规律，即可求解.

【详解】解：由题意可得，第1次操作后得到整式串。，b,b-a；各项之和为2b；

第2次操作后得到整式串a,b,b-a,-a■各项之和为2b-a；

第3次操作后得到整式串a,b，b-a,-Q,-b；各项之和为b-a；

第4次操作后得到整式串b,b-a,-Q,-b,a-b；各项之和为0；故说法①错误;

第5次操作后得到整式串Q,b，b-a,-Q,-b,a-b,a；各项之和为

第6次操作后得到整式串b,b-a,一Q，-b,a-b,a,b；各项之和为〃+b；

第7次操作后得到整式串a,b,b-a,-Q,-b,a-b,a,b,b-a；各项之和为26；•

所以，各项之和以6次操作为一个周期依次循环.

2022+6=337,

...第2022次操作后的整式串各项之和与第6次操作后的整式串各项之和相同，为a+6,故说法②正确;

,?36+6=6,

.••第36次操作后的整式串各项之和为a+6,而第35次操作后的整式串各项之和为a,

.•.第36次操作增加的项为6.

；63+6=10…3,

...第63次操作后的整式串各项之和为6-a,而第62次操作后的整式串各项之和为2b-。，

.•.第36次操作增加的项为-6,

.•.第36次操作增加的项与第63次操作增加的项一定互为相反数，故说法③正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查数字（字母）规律问题，利用列举法把有限次的结果表示出来，找到字母见的规律,

是解题的关键.

5.（2022•黑龙江牡丹江•九年级期末）按顺序观察下列五个数1,5,7,17,31……,找出以上数据依次出现

的规律，则第〃个数是.

【答案】（-2）"+1

【分析】所给的数可转化为：1=12］，5=1+22,7=123,17=1+2。31=125,...据此即可得第n个数，从而可求

解.

【详解】解：：1=12］，5=1+22,7=123,”=1+24,31=125,…，

.••第奇数个数为：12n；

第偶数个数为：1+2"；

，第n个数为：（-2）"+1.

故答案为：（-2）"+1.

【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字分析出存在的规律.

6.（2022・全国•七年级专题练习）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2022是表中第一行第一列.

1

23

456

78910

1112131415

【答案】646

【分析】根据每一行最后一个数得到规律：第n行最后一个数是1+2+3+L+/"+1）,计算第63行最后

2

一个数，由此得到答案.

【详解】解：第一行最后一个数是1，

第二行最后一个数是3=1+2,

第三行最后一个数是6=1+2+3,

第四行最后一个数是10=1+2+3+4,

...第n行最后一个数是1+2+3+L+==皿』，

2

63、（63+1）=2。16<2。22<64、（64+1）=2。8。,

22

・••第63行最后一个数是2016,

.,.2022是第64行第6个数，

故答案为：64,6.

【点睛】此题考查了数字的排列规律，正确理解各行数字的排列规律并总结规律运用是解题的关键.

7.(2022•江苏•常州市北郊初级中学二模)如图，一个机器人最初面向北站立，按程序：每次移动都向前直

走5"，然后逆时针转动一个角度，每次转动的角度增加10。.第一次直走5加后转动10。，第二次直走5〃z后

转动20。，第三次直走5加后转动30。，如此下去.那么它在移动过程中第二次面向西方时一共走了米.

【分析】根据走路规律，求出走的次数即可解得.

【详解】解：设第n次转动面向西方，

第二次面向西方时一共转了360°+90°=450°,

10。20。30。-wftO=450

当〃=9时第二次面向西方，

一共走了9x5=45(米)；

故答案为：45.

【点睛】此题考查了行程规律问题，解题的关键时根据规律列式求出走的次数.

8.(2022•湖北恩施•九年级期中)我们知道，一元二次方程/=7没有实数根，即不存在一个实数的平方等

于L若我们规定一个新数，，使其满足『=-1(即方程尤2=_1有一个根为/),并且进一步规定：一切实数

可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有•，胪=T,=

『=(『)2=(_1)2=1,从而对任意正整数。，我们可以得到严+1=严.，=(*".”7,同理可得产+2=-1,

严+3=T•，严=1,那么z+z2+z3+z4+...+/2021+;2022的值为.

【答案】/-I

【分析】z'1=i>i1=—1,z3=z2-z=(-1)-z=—i>i4=(z">=(—I)?=1，z5=z4•Z'=/>z6=z5-z=—1)从而可

知4次一循环，一个循环内的和为0,据此计算即可.

【详解】解：由题意得，z1=i>i~——1>i3=z2,z=(-1),z=—i，z4—(z2)2—(—I)2=1>i5=z4-i—i<z6=is,z=-1,

故可发现4次一循环，一个循环内的和为0,

2022+4=505…2,产=产5。5+1=（/户_.=.；,2022=产。5+2=丫广,2=_1；

.­./+z2+/3+z4+...+;2021+z2022

=0x505+产2+产22

=i-l,

故答案为：i-1.

【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发

现规律，求出一个循环内的和再计算.

9.（2022・重庆・巴川初级中学校九年级期末）在求两位数的平方时，可以用"列竖式”的方法进行速算，求解

过程如图1所示.仿照图1,用"列竖式"的方法计算一个两位数的平方，过程部分如图2所示，则

a+b+c+d+e+f+g+h=.

【答案】23或32##32或23

【分析】观察图象可知，第一行从右向左分别为个位数和十位数字的平方，每个数的平方占两个空，平方

是一位数的前面的空用0填补，第二行从左边第2个空开始向右是这个两位数的两个数字的乘积的2倍，

然后相加即为这个两位数的平方，根据此规律求解即可

【详解】解：观察图象可知，第一行从右向左分别为个位数和十位数字的平方，每个数的平方占两个空，

平方是一位数的前面的空用0填补，第二行从左边第2个空开始向右是这个两位数的两个数字的乘积的2

倍，然后相加即为这个两位数的平方.

第2行数是40,所以原数的十位数字和个位数字的乘积是40+2=20,那么这两个数就应该是4和5,

所以这两位数是45或54,即452=2025或54?=2916，

所以a+b+c+d+e+/+g+/?=l+6+2+5+2+0+2+5=23；

或a+b+c+d+e+/+g+h=2+5+l+6+2+9+l+6=32；

故答案为：23或32.

【点睛】本题是对数字变化规律的考查，仔细观察图形，观察出前两行的数与两位数的十位和个位上的数

字的关系是解题的关键.

10.（2022・全国•九年级专题练习）当今大数据时代，"二维码”具有存储量大.保密性强、追踪性高等特点，

它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠"疫情防控期间，区区"二维码”已经展现出无穷威

力.看似“码码相同"，实则"码码不同通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中

小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码.根据相关数

学知识，这200个方格可以生成29个不同的数据二维码，现有四名网友对2项的理解如下：

WDS（永远的神）：2?°。就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；

（懂的都懂）：22。。等于20（）2；

JX/V。（觉醒年代）：2加。的个位数字是6；

QGW/（强国有我）：我知道吸°=1024,103=1000,所以我估计2?。。比IO,。大.

其中对万。。的理解错误的网友是（填写网名字母代号）.

【答案】DDDD

【分析】根据乘方的含义即可判断泮。5（永远的神）的理解是正确的;根据积的乘方的逆用，将2?。。化为（2i°°）2,

再与ZOO?比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断

啊（觉醒年代）的理解是正确的;根据积的乘方的逆用可得2"。=（21°）2。,106。=（10）。，即可判断QGYW

（强国有我）的理解是正确的.

【详解】2项是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；

2200=（2100）2^2002,DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；

•••21=2,22=4,23=8,24=16,25=32---,

2的乘方的个位数字4个一循环，

■,1200+4=50,

...2?。。的个位数字是6,JXND（觉醒年代）的理解是正确的；

V2200=（210）20,1060=（1O3）20,210=1024,103=1000,且

...22电＞1（）6。,故QGYW（强国有我）的理解是正确的；

故答案为：DDDD.

【点睛】本题考查了乘方的含义，幕的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的

关键.

11.（2022•全国•九年级专题练习）将从1开始的连续自然数按以下规律排列:

第1行

第2行234

第3行56789

第4行10111213141516

第5行171819202122232425

若有序数对(〃,加)表示第。行，从左到右第m个数，如(3,2)表示6,则表示99的有序数对是.

【答案】(10,18)

【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第"行的第一个数字为1+(〃-IP，从而求得最终的答案.

【详解】第1行的第一个数字：1=1+(1-1)2

第2行的第一个数字：2=1+(2-炉

第3行的第一个数字：5=1+(3-1)2

第4行的第一个数字：10=1+(4-炉

第5行的第一个数字：17=1+(5-1)2

..,

设第〃行的第一个数字为X,得X=l+(1)2

设第”+1行的第一个数字为Z,得Z=l+〃2

设第0行，从左到右第m个数为y

当>=99时

1+(«-1)2<99<1+«2

(»—I)2<98<«2

,/〃为整数

AH=10

**-x=l+(n-l)2=82

.■.OT=99-82+1=18

故答案为：。0,18).

【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质.

12.(2022•内蒙古鄂尔多斯•二模)如图，下列各正方形中的四个数之间具有相同的规律.根据此规律，则

第〃个图中的，=.

【答案】(-1)"・2"+4

【分析】通过观察图形可得出。b=2a,c=6+4,代入即可得到答案.

【详解】解：观察图形可知：

a=(-1)"・2"一，b=2a,c=b+4,

.,.Z)=2a=2x(-1)".2"-1=(-l)"-2",

.•.c=6+4=(-l)"・2"+4.

故答案为：(-l)"-2"+4.

【点睛】本题考查了数字变化规律型题.关键是由特殊到一般，找出数字算式运算规律.

13.(2022•台湾•模拟预测)健康生技公司培养绿藻以制作「绿藻粉」，再经过后续的加工步骤，制成绿藻相

关的保健食品.已知该公司制作每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞.

请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：

(1)假设在光照充沛的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，且分裂后的细胞亦可继续分

裂.今从1个绿藻细胞开始培养，若培养期间绿藻细胞皆未死亡且培养环境的光照充沛，经过15天后，共

分裂成4"个绿藻细胞，则上之值为何？

(2)承(1),已知60亿介于232与233之间，请判断下个绿藻细胞是否足够制作8公克的「绿藻粉」?

【答案］⑴18

⑵足够

【分析】(1)根据题意，分别写出从1个绿藻细胞开始培养，经过20小时分裂成4个绿藻细胞，经过40

小时分裂成42个绿藻细胞，••…即可得出答案;

（2）根据题意可得制作8公克的「绿藻粉」需要60x8亿个绿藻细胞，再估算出60x8亿的范围，并与小进

行比较，即可判断.

⑴

15天=15x24小时=360小时,

•••1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，

•••从1个绿藻细胞开始培养，经过20小时分裂成4个绿藻细胞，

经过20x2=40（小时），分裂成42个绿藻细胞，

经过20x3=60（小时），分裂成下个绿藻细胞，•・….

经过20x18=360（小时）,分裂成4”个绿藻细胞，

之值为18；

⑵

•••每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞，

，制作8公克的「绿藻粉」需要60x8亿个绿藻细胞，

60亿介于232与233之间，

232X8<60X8^<233X8，即23$<60x8亿<2，',

而4JQ2广=236,

60x8亿<4",

,4"个绿藻细胞足够制作8公克的「绿藻粉」.

【点睛】本题考查有理数的乘方，解题的关键是读懂题意，根据已知找到规律求出后的值.

14.（2022・重庆•三模）对任意一个四位正整数m,如果m的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m的

千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m为"筋斗数”.例如；m=532L满足1+2

=3,2x2+l=5,所以5321是“筋斗数”.例如：m=8523,满足2+3=5,但2、2+3=738,所以8523不

是"筋斗数”.

⑴判断9633和2642是不是"筋斗数"，并说明理由；

⑵若m是"筋斗数"，且m与13的和能被11整除，求满足条件的所有"筋斗数"m.

【答案】（1）9633是"筋斗数"；2642不是"筋斗数"；理由见解析

（2）m的值为9909或2110或6422

【分析】（1）根据"筋斗数"的定义即可判断；

（2）设m的个位数为。，十位数为b,根据加是"筋斗数"，则m的百位数为a+b,千位数为2b+a,再根据

加与13的和能被11整除，即可解答.

（1）

解：9633是"筋斗数"，2642不是"筋斗数"，理由如下：

；6=3+3,9=2x3+3,

A9633是"筋斗数"；

V6=4+2,278+2,

.••2642不是"筋斗数"；

⑵

设m的个位数为a,0<a<9,十位数为0<*9,且a、b为整数

:加是"筋斗数"，

•,'m的百位数为a+b,千位数为2b+a；

.*.m=1000（2b+a）+100（a+b）+10b+a=1100a+110b+20006+a

:加与13的和能被11整除，

A1100a+110b+2000b+a+13能被11整除，

•；26+。49且。、b为整数

：.b<4.5

V1100a+110b能被11整除,

.•.2000b+a+13能被11整除，

b=0,a=9或b=l,a=0或b=2,a=2或b=3,a=4,或b=4,a=6,

a+b=9,2b+a=9或a+b=L2b+a=2或a+b=4,2b+a=6或a+b=7,2b+a=10（舍去）或a+b=10,2b+a=14（舍

去）

m的值为9909或2110或6422

【点睛】本题是一道新定义题目，考查了有理数整除的相关性质，利用代数式的值进行相关分类讨论，得

出结果，解题的关键是能够理解定义.

15.（2022•全国•九年级专题练习）观察以下等式：

第1个等式:（2xl+l『=（2X2+1）2_（2X2『，

第2个等式：（2x2+1）?=（3X4+1『-（3x4>，

第3个等式：（2x3+17=（4x6+l『-（4x6）2,

第4个等式：（2X4+1）2=（5X8+1）2-（5X8）\

按照以上规律.解决下列问题：

⑴写出第5个等式：；

(2)写出你猜想的第n个等式(用含。的式子表示)，并证明.

【答案】(1)(2X5+1『=(6x10+1)2-(6x10)2

(2)(2«+1)2=[(H+1)-2H+1]2-[(/Z+1)-2H]2,证明见解析

【分析】(1)观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；

(2)观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为(2M+1)2=[(〃+1).2〃+1]2-[(«+1).2行，利用完全

平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明.

(1)

解:观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：(2X5+1)2=(6X10+1)2-(6X10)2,

故答案为：(2x5+1/=(6x10+1)2-(6xl07；

(2)

解：第n个等式为(2〃+=[(〃+1)•2〃+1]2-[(«+1).2n]2,

证明如下：

等式左边：(2〃+1)2=4〃2+4〃+1,

等式右边：[(«+1)-2〃+1]2-[(«+1)-2«]2

=[(〃+1)•2〃+1+(〃+1)•2〃]•[(〃+1)•2〃+1-(〃+1).2〃]

=[(«+l)-4n+l]xl

=4/+4〃+1,

故等式(2〃+1)2=[(〃+1)-2"+-[(〃+1).2〃『成立.

【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关

键.

16.(2022•浙江嘉兴•九年级专题练习)设石是一个两位数，其中。是十位上的数字(1"W9).例如，当a

=4时，后表示的两位数是45.

⑴尝试：

①当a=l时，152=225=1x2x100+25；

②当a=2时，252=625=2x3x100+25；

③当a=3时，352=1225=；

(2)归纳：益z与100a(a+l)+25有怎样的大小关系？试说明理由.

⑶运用：若菽与100a的差为252S,求a的值.

【答案】⑴③3仓珞100+25；

(2)相等，证明见解析；

⑶〃=5

【分析】(1)③仔细观察①②的提示，再用含有相同规律的代数式表示即可；

(2)由石2=(10a+5)2=100，+1004+25,再计算100。(。+1)+25,从而可得答案；

(3)由元2与100。的差为2525,列方程，整理可得/=25,再利用平方根的含义解方程即可.

(1)

解：①当a=l时，152=225=1X2X100+25；

②当a=2时，252=625=2x3x100+25；

③当a=3时，352=1225=3创I100+25：

(2)

解：相等，理由如下：

•••菽+5)2=100/+100。+25,

100a(a+l)+25=100a2+100a+25,

\a5~=100a+1)+25.

(3)渥与io。。的差为2525,

\100a2+100a+25-100a=2525,

整理得：100/=2500,即a2=25,

解得：«=i5,

l<a<9,

..ci—5.

【点睛】本题考查的是数字的规律探究，完全平方公式的应用，单项式乘以多项式，利用平方根的含义解

方程，理解题意，列出运算式或方程是解本题的关键.

题型2：图形规律探究

典例：（2022•湖北宜昌•九年级期末）（1）探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，

其中第一行有一个点，第二行有两个点…第n行有n个点…容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和.

①求三角形点阵中前10行的点数和；

②若三角形点阵中前。行的点数之和为300,求。的值；

③三角形点阵中前b行的点数之和是600吗？（填"能"或"不能"）

（2）拓展：若果把（1）的三角形点阵中各行的点数依次换为2,4,6,2n,...»

①求这个三角形点阵中前n行点数和（用含n的代数式表示）；

②这个三角形点阵中前n行点数和能是600吗？若能，求出"；若不能，请说明理由.

解：(1)①三角形点阵中前10行的点数和为:

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55；

②由题意可得：1+2+3+4+5+...+。=300,

即幽土D=300,

2

整理得a2+a-600=0,

(a+25)(a-24)=0,

ai=­25,。2=24,

・・・o为正整数，

/.a=24；

③由(1)得b(fa+1)=600x2,即一1200=0，

方程无整数解，

三角点阵中前b行的点数的和不能是600.

(2)①这个三角形点阵中前"行点数和为：

2+4+6+...+2〃=2(1+2+3+...+n)—n(n+1)；

②三角点阵中前〃行的点数的和能是600.理由如下：

依题意，得“(n+1)=600,

即n2+n—600=0,

△=49,开平方得出整数，

故三角点阵中前。行的点数的和能是600.n=24

巩固练习

1.(2022•重庆市第七中学校九年级期中)下列图形都是由同样大小的黑点按一定的规律组成，其中第①个

图形中一共有4个黑点，第②个图形中一共有9个黑点，第③个图形中一共有14个黑点，…，则第⑩个

图形中黑点的个数是()

・・・,,,

•

图①图②图③图④

A.44B.48C.49D.54

【答案】C

【分析】仔细观察图形的变化情况找到规律，利用规律解答即可.

【详解】解：观察图形发现：第①个图形有5xl-l=4个黑点；

第②个图形有5x2-1=9个黑点；

第③个图形有5x3-1=14个黑点；

第④个图形有5x4-1=19个黑点；...

第0个图形有(5"-1)个黑点；

当”=10时，有50-1=49个黑点，

故选：C.

【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形的变化规律，然后利用规律求解.

2.(2022・重庆市丰都县平都中学校九年级期中)观察下列图形规律，其中第1个图形由6个。组成，第2

个图由14个O组成，第3个图由24个O组成,,照此规律下去，则第6个图由。的个数一共是()

O

OOO

OOOOOO

OOOOOOOOOOO

OCOOOOOO

OOO

OOO

OOOOOOOO

图①

图②国③

A.64B.65C.66D.67

【答案】C

【分析】根据第1个图形由6个。组成，第2个图形由14个。组成，第3个图形由24个。组成，得出第〃

个图形。的个数是"("+5),进而得到第6个图形。的个数.

【详解】解：,•,第1个图形由6个。组成，6=1X(1+5),

第2个图形由14个O组成，14=2“(2+5),

第3个图形由24个O组成，24=3x(3+5),

，第〃个图形。的个数是〃("+5)="2+5",

...第6个图形。的个数6?+5*6=66.

故选：C.

【点睛】此题考查了图形类规则的探索，解题的关键是根据题意，找出图形的规律.

3.(2022•浙江•北大附属台州书生学校二模)如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单

位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳

动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…，依此规律跳动下去，点P

从。跳动6次到达耳的位置，点P从。跳动21次到达£的位置，…，点外£、4…匕在一条直线上，则点

P从0跳动()次可到达总的位置.

A.887B.903C.90D.1024

【答案】B

【分析】由题意得：从点P从。跳动l+2+3=6个单位长度，到达耳，跳动1+2+3+4+5+6=21个单位长

度，到达可以得出，跳动次数为从1开始连续正整数的和，且最后一个加数为〃x3,进而得到答案即

可；

【详解】解：由题意得：从点P从。跳动1+2+3=6个单位长度，到达月，跳动1+2+3+4+5+6=21个单

位长度，到达

由此可得：跳动次数为从1开始连续的正整数的和，最后一个加数为〃x3,

V14x3=42,

点尸从跳至I」＜4跳动了：1+2+3+4+…+42=903,

故选：B.

【点睛】本题考查图形中的规律探究.根据图形，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键.

4.（2022•重庆南开中学九年级期中）用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个五角星,

第②个图案中有7个五角星，第③个图案中有12个五角星，第④个图案中有18个五角星，按此规律排

列下去，则第⑧个图案中五角星的个数为（）

☆☆☆☆☆

☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆

☆天

☆

☆☆

①②③

A.42B.52C.56D.63

【答案】B

【分析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解即可.

【详解】解：第①个图案中有0+1+2=3个五角星，

第②个图案中有1+1+2+3=7个五角星，

第③个图案中有2+1+2+3+4=12个五角星，

第④个图案中有3+1+2+3+4+5=18个五角星，

L

・，•第n个图案中有匕射个五角星，

2

当〃=8时，82+5x8=52个五角星,

2

故选：B.

【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是找到图形的变化规律.

5.（2022•浙江宁波・九年级专题练习）图1是第七届国际数学教育大会QCME.7）的会徽，主体图案是由图

2的一连串直角三角形演化而成，其中04=44=44=•••=4-4=1，若的值是整数，且

1<«<50,则符合条件的"有（）

【答案】c

【分析】根据勾股定理计算出04,OA},OA4,OA5,0An,然后根据的值是整数，且1W/1V50,

写出符合条件n的值，即可得到答案.

【详解】依据题意可得：

/.=Jo4*/®=Vi2+i2=V2,

04=J042+442=7fV2/+l2=V3,

则OA4—y/4,

O4=y[5,

OAn=VM,

•••OA5•04的值是整数，且1V"V50,

V5xyfn=y15n,

，n=5或20或45,

符合条件的。有3个.

故选：C.

【点睛】此题考查了勾股定理，图形的变化规律，最简二次根式等相关内容，解题关键是发现数字的变化

特点，利用勾股定理的知识进行解答.

6.（2022•青海・中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第〃个图中共有木料

根.

第1个第2个第3个第4个

【答案】逝刻

2

【分析】第一个图形有1根木料，第二个图形有1+2=2X2+D根木料,第三个图形有］+2+3=3X（*）根

22

木料，第四个图形有1+2+3+4=答土»根木料，以此类推，得到第〃个图形有也尹根木料.

22

【详解】解：•••第一个图形有1=根木料,

第二个图形有1+2=2X（^+1）根木料,

第三个图形有l+2+3=3x（：+D根木料,

第四个图形有1+2+3+4=©（：+1）木料,

2

•••第〃个图形有1+2+3+L+-=^±11根木料，

2

故答案为：网驾.

2

【点睛】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察，分析，归纳并发现其中的规律是解本题的关键.

7.(2022•甘肃・平凉市第七中学二模)如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形边上，按照这样的规律

摆下去，则第〃个图形需要黑色棋子的个数是.

第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

【答案】n2+In

【分析】通过前面四个图形，总结出黑色棋子个数的规律，即可求解.

【详解】解：第1个图形，黑色棋子的个数为3=1X(1+2),

第2个图形，黑色棋子的个数为8=2X(2+2),

第3个图形，黑色棋子的个数为15=3X(3+2),

第4个图形，黑色棋子的个数为24=4x(4+2)

第〃个图形，黑色棋子的个数为"x(〃+2)=/+2〃

故答案为：+2〃

【点睛】此题考查了图形类规律的探索，解题的关键是根据所给图形，总结出规律，从而求解.

8.(2022•甘肃•嘉峪关市明珠学校一模)如图，平面直角坐标系X0内，动点P按图中箭头所示方向依次运

动，第1次从点(0，1)运动到点(1，0),第二次运动到点(2,-2),第3次运动到点(3,0),…按这样的运动规律,

动点P第2022次运动到的点的坐标是.

【答案】(2022)-2)

【分析】根据图形分析点P的运动规律：第0次运动到的点的横坐标为"，纵坐标每四次为一个循环，即可

得到答案.

【详解】解：••・第1次运动到点(1,0),第二次运动到点(2,-2),第3次运动到点(3,0),…，

・••第"次运动到的点的横坐标为"，纵坐标每四次一个循环，从第一次运动到的纵坐标开始，分别为0、-2、

0、1、

2022+4=505…2,

•••动点尸第2022次运动到的点的坐标是(2022,-2),

故答案为：(2022,-2).

【点睛】此题考查了图形坐标的规律，正确理解图形运动坐标变化规律，得到点P的坐标是解题的关键.

9.(2022•山东枣庄•九年级期中)如下图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒,

拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒…若按照这样的方法拼成的第〃个图形需要

2022根小木棒，则"的值为

图1图2图3

【答案】253

【分析】根据图形的变化及数值的变化找出变化规律，即可得出结论.

【详解】解：由题意知，第1个图形需要6根小木棒，

第2个图形需要6x2+2=14根小木棒，

第3个图形需要6x3+2x2=22根小木棒，

按此规律，第〃个图形需要6"+2(-1)=(8〃-2)根小木棒，

当8"-2=2022时，

解得n=253,

故答案为：253.

【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，解决该题型题目时，根据给定图形中的数据找出变化规律是

关键.

10.(2022•黑龙江牡丹江•九年级期中)如图是由同样大小的五角星按一定规律组成，其中第①个图形有2

个五角星，第②个图形有4个五角星，第③个图形有8个五角形，第④个图形有14个五角形，则第10

个图形有个五角星.

☆

☆☆

☆☆☆☆☆

☆☆

图①图②图③图④

【答案】92

【分析】根据题意，观察图中五角星个数，得到规律为2+”(〃-1),当〃=10时，求出五角形个数即可得到

答案.

【详解】解：根据题意，可知：

第①个图形有2个五角星，个数为2+1x0；

第②个图形有4个五角星，个数为2+2x1；

第③个图形有8个五角形，个数为2+3x2；

第④个图形有14个五角形，个数为2+4x3；

L

第〃个图形五角形个数为2+"x("-l)；

.,.当”=10时，五角形个数为2+10x(10-1)=92,

故答案为：92.

【点睛】本题考查图形与数字结合的规律问题，从个数中找到规律为2+"(〃-1)是解决问题的关键.

1L(2022•宁夏・银川外国语实验学校一模)如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的两边

在坐标轴上，以它的对角线为边做正方形0452c2,再以正方形0482c2的对角线为边做正方形

CB眸……以此类推，则正方形。与。2。与必C2必的边长是

【答案】21010

【分析】首先先求出04,0%,04，。凡的长度，找出正方形边长的变化规律，然后根据规律获得答案即可.

【详解】解：根据题意可知，

正方形04瓦G