导数中的极值点偏移问题-2025年高考数学一轮复习（新高考）

专题突破卷05导数中的极值点偏移问题

朦题生颈姒

极值点偏移解决零点问题

题型一极值点偏移解决零点问题

1.已知函数/(x)=lnx+l-ox有两个零点%,%，且再<无2，则下列命题正确的是()

A.a>1B.再+、2<一

a

1,

C.再“2<1D.x~x>--1

2xa

【答案】D

【分析】根据零点可将问题转化为。=电四，构造g(x)=@E1,求导即可根据函数的单

xx

调性得函数的大致图象，即可根据图象求解A,根据极值点偏移，构造函数

/2(x)=/f--xV/(x),结合函数的单调性即可求解B,根据再+Xz>2可得M卬2)>0,

\a)a

即可求解C,根据不等式的性质即可求解D.

【详解】由〃x)=0可得。=也土L令g(x)=里四，其中X>O,

xx

则直线》=。与函数g(x)的图象有两个交点，g\x)=~

由g'(x)>0可得0<x<l,即函数g(x)的单调递增区间为(0,1),

由g'(x)<o可得x>l,即函数g(x)的单调递减区间为(1,+8),

且当0<x<_!■时，g(x)=lnt+1<0,当时，g(x)=111X+1>0,g(l)=l,

exex

如下图所示：

由图可知，当0<”1时，直线y=a与函数g(x)的图象有两个交点，故A错误;

由图可知，-<x<l<x,

e11

因为/'(x)=L_a=^^,由/'(x)>0可得0<x<L,由/'(x)<0可得无>1，

xxaa

所以，函数“X)的增区间为/J,减区间为则必有0<X1<：<X2,

121

所以，0<芭<一,则—x>—,

aai

\wc+ax,其中0<x<L

令"x)=/

a

2a\x

0,则函数“X)在(0,上单调递减,

贝！Jh'(x)=--------F2Q=——

/x

X——x

a

所以，o,即/尸-占卜〃再)>0,即

aa

又/(X2)=/(xJ=0,可得/(xzjv/1：-%

因为函数〃X)的单调递减区间为g,+822

，贝!J%2〉--再，即X]+工2>—，故B错误；

aa

axx=1叫+1两式相加整理可得.+»叱*4'

由

ax2=lnx2+1

所以，1口(中2)〉0，可得再“2〉1，故C错误;

由图可知一<再<1<9，贝!J—再〉一1,又因为%>—，所以，x—x>—1,故D正确.

eaa21

故选：D.

2.已知函数/(x)=lnx+l-ax有两个零点X1、%2,且再<9，则下列命题正确的个数是

()

21

(T^)0<6Z<1;g)Xj+X<—;③)Xj,X〉1;M>----1；

,2a2a

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】由〃x)=0可得。=匕臣，设g(x)=@±U,其中x>0,则直线>与函数g(x)

XX

的图象有两个交点，利用导数分析函数g(x)的单调性与极值，数形结合可判断①；构造函

^h(x)=ft--x]-f(x),其中0<x<L分析函数/z(x)的单调性，可判断②③；分析出

)a

-<x<1<x0<X]<—<x,利用不等式的基本性质可判断④.

et2a2

【详解】由〃x)=0可得“=叱*，令g(x)=^±L其中x>0,

XX

则直线》=a与函数g(x)的图象有两个交点，g〈x)=-竽，

由g'(无)>0可得0<无<1,即函数g(x)的单调递增区间为(0,1),

由g'(x)<0可得》>1,即函数g(x)的单调递减区间为(1,+co),

且当。<x.时，g(x)=W±l<。,当X《时，g(上下>。,如下图所示:

尸

g(x)y=a

由图可知，当0<。<1时，直线与函数g(x)的图象有两个交点，①对；

对于②，由图可知，|<%,<1<x2,

因为/'(x)=L_q=a,由/'(x)>0可得0<》<4，由/'(“<0可得

xxaa

所以，函数的增区间为/J,减区间为&,+，],则必有0<%<：</,

121

所以，0<再<一,则—％]>一,

aaa

令=—x]—/(x)=ln『————+其中0<x<L

则/(x)=--—+2tz=

x--乙x

a

所以，/z(X])>/z]：]=O,即即,

又/52)=0,可得/(X2)</[-xJ,

因为函数〃x)的单调递减区间为[L+s],则工2>“再，即再+%>2,②错；

\a)aa

对于③，由两式相加整理可得+In,工)+2>2,

^ox2=lnx2+laa

所以，111(%1%2)>0,可得玉々>1,③对；

对于④，由图可知!<再<1<%，则-%>T,又因为X2>,，所以，x2-Xj>--1,④对.

eaa

故选；C.

3.已知函数/(x)=Ex-办有两个零点多，%2(^<x2),则下列说法：

①函数/(x)有极大值点%,且再+工2>2%；

2

②x{x2>e；

3

X]+2超>一；

a

④若对任意符合条件的实数。，曲线y=/(x)与曲线y=6-1最多只有一个公共点，则实数

b的最大值为ln2.其中正确说法的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】分类讨论〃X)的单调性，即可得a,为，X2的范围，根据/'(x)=0,得到X。和。

之间关系，构造g(x)=，xe]o,£j,可知g(x)单调递减,由此得到g(xj>0,

即可判断①；对/'(占)=/(无2)=。进行变形化简，即可判断②；根据①中。，占,%?的范

围，即可判断③；构造〃(x)=lnx-ax+L当时，可知〃(x)单调递减，则方程〃(x)=b

最多有一个根，当0<a<；时，〃'(%)=0有两根，由x->+8时，A(x)->-co,只需考虑〃(无)

极小值，根据〃(x)单调性求得极小值，进而求极小值的范围，即可求得b的范围，即可判

断④.

【详解】解：因为〃x)=lnx-ax(x>0),所以/(x)=：-a,

当a<0时，r(x)>0,/(x)在(0,+向上单调递增,

则/(x)最多有一个零点，故不符合题意，舍；

当〃>0时，令/''(X)」-a=0,解得x=L

xa

当时，r(x)>o,〃x)单调递增，

当xe化+81时，r(x)<0,/(X)单调递减,

所以当X=L,/(X)取得极大值点，即x0=L

aa

因为/(》)=11«-办有两个零点X1,12(再<%)，

所以0<X]<1<X2，且有=--a—>0,解得0<a<—,

a\a)aae

设g(x)=/1*|-x>/(x),xe]o,j

所以

由g(x)H卜⑺"一1_ci(—x]_(lux-ax)

=In|x|-Inx-2+2ax,

)

\T1022c

rg(%)一。1-2c,+2/7=-----------+2Q

所6以rJ2%ax—2xf1}1,

--Xa\x---

aVa)a

由g£)=。,当所以《"2一中,0〕,

、a)a\a)

人口」士"),所以/(

x)<0,故g(x)单调递减，

(a)a

所以在xe[o,J时，g(x)>g\j=

因为0<西<工，所以g(xi)=/12_x]—/(xJ>0,

a\a)

即/(占)=/(%)，

因为X2>-,/(x)在j±+oo]单调递减，

aaa\aJ

22

所以--X<x,即玉+%2>—=2工0，故①正确；

ax2a

2

由/(x)=lnx-QX有两个零点』,工2(花<m2)，且西+工2>—=2%,

a

所以1口不二啊,!!!々=。%2，故占=e*,%2=e%,

2

所以xm=e"f)>e'=e2,故②正确；

213

由①知玉+%>—=2%,x>—,所以再+2工2>—，故③正确;

a2aa

因为曲线y=/(x)与曲线夕=6-1最多只有一个公共点，

X

所以Inx-Qx+：=b在aw］。,：］时最多只有一根.

axx

令/z(x)=lnx-ax+L则_1一。--L=~'［~^,

xxxx

令A=1-4QW0,即时，/zr(x)<0,单调递减，

此时方程h(x)=b最多有一个根，

当0<a<；时，A>0,所以力'(％)=0有两根％3，%，

人e1-71-46/21+J1—4-2

令工3<%，贝I9=-----------------------=-----------/:，%=--------=----/，

2a1+Jl—4-2a1-Jl—4〃

由韦达定理，可知退+%=—>0户3，丫4=一>0,故鼻,》4>°，

aa

所以在(0,而)上力'(x)<0,〃(x)单调递减，

在(鼻64)上”(x)>0,单调递增,

在门4，+8)上，7'(X)<O,力(x)单调递减,

当Xf+8时，〃(尤)f_oo,所以只需考虑“X)极小值即可,

根据〃(无)单调性，可知X=尤3为，7(X)极小值点,

2

即〃(％)=0，BP-OX3+X3-1=0,即

X3

以〃(％3)=In/-(1X3H=Inx3H----1,

X3X3

22

由W=率E<2,^M(x)=lnx+--1,

17x—9

则/(x)=L-1=一，当x<2时，/(x)<0,“(X)单调递减，

XXX

所以〃(%3)=〃(%3)>〃(2)=1112,所以b«ln2,

即实数b的最大值为ln2,故④正确.

故选：D.

4.已知函数/(力=(，对于正实数°,若关于/的方程恰有三个不同的正实

数根，则。的取值范围是()

A.(1,8)B.(e2,8)C.(8,+℃)D.(e2,+<»)

【答案】D

【分析】研究/(x)=(的图像可知，若/⑺=/(力，令%=也=：则〃xJ=〃X2),

且不,%>1,可以推出，毛=%或西马=%通过对数不等式写出关于±X2的不等式，即可求

出。的范围

【详解】因为/(x)=¥，/(x)=L等，令/(无)=上詈>0得：0<x<e；令

/(司=匕詈>0得：x>e,所以〃x)在区间(O,e)单调递增，在(e,+⑹单调递减，且

X-8时，〃x)>0恒成立，“X)的图像如下:

令再=/,尤2=亍，则/(再)=、(无2)，且巧，了2>1

①当国=X2时，/=//=&,成立，所以血是方程的一个实数根

②当芯片超时，由/(再)=/(%)得：电土=蛆匕，令电工=电土_=优

\mx=lnxInx,-lnxInx,+lnx

则：},两式相减得：时十寸9,两式相加得：加二丁丁9

所以：」「；2=，由对数均值不等式得：<学

In再-Inx2In演+Inx2In西-lnx22

Xy+X.+Xocdr

所以：1-----r—<—L，且所以In%龙2>2,xtx2>e,即：t——=a>e~

In%1+Inx22t

所以a>e?

故选：D

5.关于函数/(x)=1+lnx,下列说法错误的是()

A.>2是的极小值点

B.函数y=/(x)-x有且只有i个零点

C.存在正实数后，使得/(左)>丘恒成立

D.对任意两个正实数X1,x2,且再>迎，若/(网)=/口2),则X]+X2>4

【答案】C

【分析】对于A,分析/(x)导函数可作判断；对于B,考查函数y=/(x)-尤的单调性可作

判断；对于C,分离参数，再分析函数△”最值情况而作出判断；对于D,构造函数

X

g(x)=/(x)-/(4-x)(0<X<2)讨论其单调性，确定g(x)>0即可判断作答.

【详解】对于A选项：〃x)定义域为(0,+8),/(无)=_=+士=

XXX

0<x<2时J'(x)<0,%>2时f\x)>0,

x=2是〃无)的极小值点，A正确；

r2-r+?

对于B选项：令h(x)=/(x)-x,/(x)=----------<0,

X

〃(x)在(0,+8)上递减，A(l)=l,/z(2)=ln2-l<0,

/z(x)有唯一零点，B正确；

—C3+HA/、f(无)2Inx,,、xlnx-x+4

对于C选项：令p(x)=----=—+——#(x)=-------§-----,

令F(x)=xlnx-x+4,Fr(x)=Ine(0,1)时,F\x)<0,xe(1,+oo)时,F\x)>0,

尸(x)在(0,1)上递减，在(1,+8)上递增,贝1!尸㈤11m=21)=3>0,

000<0,e(x)在(0,+8)上递减，9(x)图象恒在X轴上方,

与X轴无限接近，不存在正实数k使得/(可>近恒成立，C错误;

对于D选项：由A选项知，/(无)在(0,2)上递减，在(2,+co)上递增,

因正实数X1,%2,且再>马，/(再)=/(%2),贝(再，

0<x<2时，令g(x)=/(%)-7(4—%),

-8(x-2)2

X2(X-4)2

即g(x)在(0,2)上递减,

于是有g(x)>g(2)=0,从而有/(再)=/(%2)>/(4-%2)，

又4一无2>2,所以尤［>4一9，即匹+无2>4成立，D正确.

故选：C.

2

6.关于函数〃x)=—+lnx,下列说法正确的是()

x

A.x=2是/(x)的极大值点

B.函数7=/(x)-x有2个零点

C.存在正整数左，使得/(x)>去恒成立

D.对任意两个正实数X1,三,且无］2马，若/(再)=/(%2)，则无1+%2>4

【答案】D

【分析】对A,求导得到单调区间即可判断；

对B,对函数/(x)-x求导得出单调区间即可进一步得到结果；

对C,分离参数4</区，通过£㈤的单调性和函数变化趋势即可判断；

XX

对D,根据函数f(x)的单调性，将自变量比较大小转化为函数值比较大小，用极值点偏移的

方法得到结论.

【详解】对A,x>0,r(x)=-4+-=^,函数在J,2)单减,在(2,+8)单增，

x=2是“X)的极小值点，A错误;

+4，函数在(0,+»)单减，至多一

对B,-x?+x-2

%>0,/=-^+--1=:——-------^<0

2

XXX

个零点，B错误;

对C,f3>kx=k<叵,令g(x)="^,则g，(x)=-4+x「lnx,

XXX

设〃(x)=—4+x—xlnx,则l(x)=-lnx,函数在(0,1)单增，在。,+8)单减，

所以力⑴(人⑴=一3<0,.・.g'(x)v0,

则函数g(x)在(0,+8)单减,无最小值，且当％->+8时,g(x)f0,C错误;

对D,不妨设0<%2<玉，易知玉>2,。<工2<2,

玉+%>40西>4一々，且再>4一%>2,

因为函数“X)在(2,+8)单增,则〃XJ>〃4-X2)O/(X2)>/(4-X2),

即证：/(x)>/(4-x),xe(O,2),记Mx)=/(x)-〃4-x),xe(O,2),

所以〃(x)H；<0,所以"x)在(0,2)单减，所以%(x)>力(2)=0,

x(4-x)

BP/(x)>/(4-x),所以无］+%>4,D正确.

故选：D.

7.已知函数/(幻="-"有两个零点占，%2,则下列判断：①。<。；②玉+乙<2；③

国“2>1；④有极小值点不，且再+%2<2%.则正确判断的个数是()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】D

【解析】利用函数的导数，判断函数的单调性，对四个选项分别进行判断，即可得出结论.

【详解】对于①

fXx)=ev-67

当aV0时，/(x)=e*-。>0在xeH上恒成立，/(工)在R上单调递增，不符合.

当。〉0时，由/'(%)=ex-6?>0,ex-a>0解得x〉Ina,

/"(x)=ex-a<0,解得x<lna

f(x)在(-oo,Ina)单调递减,在(Inq,+oo)单调递增.f(x)在x=Ina有极小值，

「函数/(x)有两个零点项,％2，

/./(Intz)<0,a>e,

・••①不正确；

对于②

x

e'=ax,丫4丫9

因为彳=^>e12=Q玉%n/+%2=21nQ+ln(X[%2),Q>e

X2

[e=ax2

x{+x2=2\na+1口(再々)>2+ln(x1x2),

2

取〃=万，/(2)=/-2a=0,/.x2=2,/(O)=1>0,/.0<^<1,z.xr+x2>2

②不正确；

对于④

/(O)=1>O,/(l)=e-t7<0,;.0<x,<l<lnx0,x2>lnx0>1

函数的极小值点为%=Ina

要证X]+x?<2x0,只要证X]<2XQ—%</

因为函数/(x)在(-叫Ina)单调递减，故只需要证/(X2)=〃xj>〃2x°-X2)

xx,x

构造函数g(x)=f(x)-/(2x0—x)—e—e''~—lax+2ax0(x>x0)

求导得到g'(x)=e-"+e2x°~x-7.a>2后丁-2a=Q

所以函数g(x)单调递增，g(x°)=O,，g(x"O恒成立，

.-./(x)>/(2x0-x)即/仁)>/(2%-引,故得到/(引=/(再)>/(2%-%)

进而得证：xl<2x0-x2<x0,xl+x2<2x0.

故④正确.

对于③

eX{=ax,丫*丫

因为<ne司"2=〃X9]%=%+々=21nQ+111(/入2)

X2

\e=ax2

根据再+工2<2%=2\na,可得到<L

③不正确.

综上正确的只有一个，

故选：D.

8.已知函数〃x）=x3+2的图象与函数g（x）=履的图象有三个不同的交点（再,以）、区,%）、

（W，%），其中国<尤2〈无3.给出下列四个结论：①人>3；②不<-2;③无2+无3>2;

@X2X3>1.其中正确结论的个数有（）个

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由题意，函数〃x）=d+2的图象与函数g（x）=&的图象有三个不同的交点，转化

为方程左=二^有三个不同的实数解，进而函数〃（x）=厘±^与y=左的图象有三个不同的

交点，利用导数求解函数力（X）的单调性和极值，即可得到答案.

【详解】由题意，函数〃》）=/+2的图象与函数g（x）=&的图象有三个不同的交点，

即方程/+2=丘，有三个不同的实数解，显然0不是解，即左=匕±^有三个不同的实数解,

X

3

即函数人卜）=日Y+产2与歹=左的图象有三个不同的交点，

又由〃（x）="=S=2（l*+x+l）,

XXX2

当工£（-8,0）或X£（O,1）时，1（X）<O,函数〃（x）单调递减；

当X£（1,+OO）时，〃（X）〉O,函数〃（%）单调递增，

其图象如图所示，且当X=1时，"1）=亨=3,

要使得函数〃（x）=土詈与歹=上的图象有三个不同的交点，则上>3,所以①正确的；

3।7

当左=3时，即r上上=3,解得x=l或1二一2,所以当左>3时，贝IJ项<-2,所以②是正确的；

x

易知0<%2<1<工3，由工2+工3>2,%3>2-％2，贝

需证〃（%）>%（2-12），即证力（%2）〉力（2-工2）,A（x2）-/z（2-x2）>0,

令7/（%）=<x<l）,H'^x）=l（x）+/（2-x）,

、2（X3-1）2］（2一x）3一1］Pii11「

=-----------=----------------l=2（x-l）-+--------------------

㈠x2（2-x）21x/2-x（2一x7）［

=2(1)、1+L，

x2-x

由0vx<l,贝！Jx—1<0,1<一,1>------>—即-------->0,1H1-------->0,

x2-x2fx2-xx2-x

故"(x)<0,则"(x)在(0,1)单调递减，〃(x)>8⑴=0,故无2+%>2,所以③是正确的;

X3+2r3+2

又由二一=二一，整理得(X2-X3)[X2X3(X2+X3)-2]=0,

%退一一一

又因为工2-％3<0，所以％2%3(%2+%3)-2=0,即％2%3=l'

12一

2

结合③可知"2%3=^^<1，所以④是错误的，

9.已知/(x)=e，-ox有两个零点再<%,下列说法正确的是

A.«<eB.x；+x2>2

C.Xj-x2>1D.有极小值%且再+x?>2xo

【答案】B

【分析】使用排除法可得.利用导数研究单调性，利用导函数零点化简/(%)<0可排除A；

e2

构造函数以x)=/(x)-/(2x°-x),x>x。，利用单调性可排除D；,通过计算可排除

2

C.

【详解】•・,/'a)=eX-%.•.当时，函数/(X)为单调递增函数，至多一个零点，所以

a>0

令e*o=a，解不等式e*-a<0得x<lna=Xo,解不等式e*-a>0得x>Ina=x(),

则/(X)在(-双X。)上单调递减，在(%,+8)上单调递增，

所以看为〃尤)极小值点，且0<占</<X2,/(•%)<()=>e*。-ax。<0

a-a\na<0=>lna>\=>a>efA错误.

所以0<再<1<//

^h(x)=f(x)-f(2xQ-x),x>xQ,

x2x-x2x-x

则/z(x)=e-ax-[e°-a(2x0-x)]=e"-e°-2ax+2axQ,x>x0

因为h\x)=ex+e2x°-x-2a>2盛产7-2a=2e'。-2a=0

x

所以叔向)>力(%)=0=>f(2)>/(2%0-%2)=>/(^)>f(2x0-x2),西,2x0-x2e(O,xo)

=>再<2XQ-x2=>+x2<2XQ,不选D

令。=},，〃2)=0,〃；)<0,，再€(0,3),无2=2,玉工2<1，再・%<1,不选c.

故选：B.

10.己知函数/(x)=x2+兀cosx+a在(0,兀)上有两个不同的零点尤”了2(占<Z),给出下列结

论：①尸(网)<0；②/'(%)>0;③网+马〈兀.其中错误结论的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】由导数法判断/(x)单调区间，结合单调性与零点的关系，即可判断①②；

构造g(x)=/(x)-/(n-x),x10,3，由导数法判断g(x)单调递增，可建立不等式

/(x2)</(7i-x,),再结合〃x)单调性即可得赴〈兀-%，即可判断③.

【详解】

如图所示，结合图像易得，在画)上，，'(x)<0,则单调递减；在修无]上

r(x)>o,则〃x)单调递增，

又/(X)在(0,兀)上有两个不同的零点再/2(不<x?),则占e1o,3，X2eg,j,

，

.•./'(再)<0,/(x2)>0,故①②正确；

对于③，构造函数g(x)=〃x)-/(7i-x),xe/3，则g(x)=2?tx+27icosx-兀2,

gz(x)=2Ml-sinx)>0,

二8(可在(0口上单调递增，g(x)<g]|J=0,即/(%)</(兀-x),即

/(X2)=/(X|)</(7I-X1),

又在上单调递增，，二七〈兀一七，.•.国+马<兀，故③正确.

故选：A

11.已知。>b,c>d,——=-^—=1.01,(l-c)e°=(l-d)e"=0.99,则()

a+\6+1

A.a+b<QB.c+d>0C.a+d>QD.b+c>0

【答案】D

【分析】先构造函数/(x),通过函数的单调性确定6的大致范围，再构造

/z(x)=ln/(x)-ln/(-x),通过函数为(x)的单调性确定d与-c的大小关系，进而得到A选

项;先构造函数g(x),通过函数的单调性确定c"的大致范围,再构力(x)=lng(x)-Ing(-x),

通过函数4x)的单调性确定d与-c的大小关系，进而可知B选项错误；通过

，(x)=晨\，得到g(-a)>g(])，进而可得-。与”的大小关系，进而可知C选项错误;

D与C选项同样的方法即可判断.

abx

【详解】对于A,—=1,01>0,：.a>-l,b>-l,令=则

a+\6+1-1+x'7

所以在(TO)单调递减，在(0,+。)上单调递增，且〃0)=0,故。>0,-1<6<0.

令〃(x)=ln/(x)-lnf(-x)=2x-ln(x+l)+ln(-x+l),xG(-1,1)

1_1o

则〃，(x)=2--7+[^=2-E<0,所以“x)在(-M)上单调递减，且〃(0)=0,

■.-be(-1,0),:.In/(Z>)-In/(-Z?)>0,f(b)>f(-b),f(a)>f(-b)

a>-b即a+6〉0，故选项A错误；

对于B,.「(l-c)ec=(l-t/)eJ=0.99>0,

c<l,d<1令g(x)=(l-x)e"(x<1),

则g〈x)=re)所以g(x)在(-8,0)单调递增，在(0,1)上单调递减,

且g(O)=l,故0<c<l,』<0.

令加(%)=lng(x)-lng(-x)=2x-In(x+1)+In(-x+1)=G(-1,1)

所以加(x)在(Tl)上单调递减，且加(0)=0,

•・,ce(0,1),Ing(c)-Ing(-c)<0,g(c)<g(-c),

二.g(d)<g(—c)，，即c+d<0,故选项B错误；

对于C，“(“=小，••闻一。)=肃=咨>099，”(-1,0),

，g(-a)>g(d)，又；g(x)在(-叫0)单调递增，-a>d,:.a+d<0,故选项C错误；

对于D,由C可知,g(-6)>g(c),-6e(O,l),又「g(x)在(0,1)单调递减，

:.-b<c,故选项D正确.

故选：D.

12.已知。>1,X],x2,毛均为/的解，且占<%<%,则下列说法正确的是()

2

A.X,e(-2,-l)B.ae(l,eD

C.M+%<°D.%+工3<2e

【答案】B

【分析】A选项：根据“三个等价”，将方程根的问题转化成构造出的函数零点的问题，利用

零点存在性定理确定出多的取值情况；B,C,D选项：对方程变形，参变分离构造函数，

从函数的角度以及利用极值点偏移可以得出相应结论，详细过程见解析.

【详解】对于A,令/5)=优--,因为。>1,所以/(x)在(-«,0)上单调递增，与x轴有

唯一交点，

由零点存在性定理，得=/(0)=«°-0>0,则%€(-1,0),故A错误.

对于B,C,D,当x>0时，两边同时取对数，并分离参数得到”=皿，

2x

人/、Inx“、1-lnx

令g(x)=——，，g(x)=——，

XX

当xe(O,e)时，g,(x)>0,g(x)单调递增;

当xe(e,+oo)时,g,(x)<0,g(x)单调递减；

如图所示，

y，

一；------------------.■.当x>0时，y=字与g(x)=叱的图象有两个交

------夫---

(9/17^---------e'----------------►X2X

点，

In6f12

—e(0,~),解得ae(l,/)，故B正确；

x2e(l,e),由A选项知再€(-1,0),.,.玉+%>。，故C错误；

由极值点偏移知识，此时函数g(x)的极值点左移，则有丛〉e,故D错误.

故选：B.

题型二极值点偏移解决不等式问题

13.已知函数/(x)=e'-x,则下列说法正确的是()

A./(x)在R上是增函数

B.Vx>l,不等式/(加2)恒成立，则正实数。的最小值为：

C.若/(x)=l有两个零点玉,马，则玉+工2>0

D.若过点河(1,⑼恰有2条与曲线y=/(x)相切的直线，贝『1<加<e-l

【答案】BD

【分析】A选项，求导，解不等式，求出函数的单调性；B选项，x>l,所以">0,

lnx2>0,结合函数〃无）的单调性，得到办2班2口>1）,分离参数，得至此之任，构造

X

〃（x）=3U（x>l）,求导得到函数的单调性，得到Mx）皿x=〃（e）=2,从而求出。2工；c

xQe

选项，构造差函数g（尤）="X）-/（一力=e-「―2x,（尤>0）,求导得到g（X）在（0,+8）单调

递增，故〃为）=/6）>〃-%），根据〃尤）在（-双0）上单调递减，得到所以占+工2<0；D

选项，设切点为得到函数在x=x。处的切线方程，将点（1,加）代入，得到

x

m=e^2-x0）-l,设0（x）=e"-x）-l,求出研”的单调性，且0（l）=eT,结合函数特

殊值，求出加=e'"（2-Xo）-l有两解，贝

【详解】对于A：因为〃x）=e=x,所以/'（x）=e'-l,

令人x）>0,解得x>0,令人x）<0,解得x<0,

所以〃x）=e=x在（-双0）上单调递减，在（0,+8）上单调递增.故A错误:

对于B：因为。为正实数，x>l,所以ox>0,lux?〉。,

结合函数/'（x）的单调性，可知：f（ax）>f（\m2^ax>\nx2（x>l）.

所以此陋，

1m

设/；(工)=生土(％>1),则"(x)=2。2

XX

由//3=2（121rl^）>0可得:x<e.

所以〃（X）在（l，e）上单调递增,在（e,+8）上单调递减，所以〃（尤）皿=〃（e）=*.

e

22

故。之士,所以正实数〃的最小值为一，故B正确；

ee

对于C：如图：

因为/(x)=f有两个零点孙X],结合函数〃无)的单调性，

不妨设再<0，%2>°.贝I」一再>0.

设S(x)=/(%)-/(-工)=QX-x-e~x-x=ex-e~x-2x,(x>0),

那么g'(x)=e£-1+eT-1=e*+er-222^ex-e-x-2=0在(0,+功上恒成立，

当且仅当e"=er,即x=0时，等号成立，又xwO,

故g'(x)>0,

所以g(x)在(0,+8)单调递增，

所以>0在(0,+。)上恒成立，所以〃x)>/(-x)(x>0).

由/(再)=/(%)>/(-无2)，且“X)在(一8,0)上单调递减，

所以X]<-%nX]+z<0.故C错误；

对于D：=设切点为(与声。-X。)，切线斜率为e'。-1，

AA

所以函数在x=x()处的切线方程为：y-e°+x0=(e°-l)(x-x0),

Ax

因为切线过点(1,加)，所以加-e』+x0=(e°-l)(l-x0)^>w=e°(2-x0)-l,

设夕(x)=e*(2-x)-l,所以,由"(x)=e*(l—x)>0nx<1,

所以夕(X)在(-吗1)上递增，在(1,+8)上递减，

且夕(l)=e-l,当无<0时且xf-8时，夕(x)f-l.

因为他=e%(2-毛)-1有两解，则一故D正确.

故选：BD

14.关于函数/(x)=±+lnx,下列说法正确的是()

X

A.x=2是/(x)的极大值点

B.函数y=/(x)-x有且只有1个零点

C.存在正整数左，使得/(x)>壮恒成立

D.对任意两个正实数为,三，且X]HX2，若/(XJ=/(X2),则X]+X2>4

【答案】BD

【分析】分析，⑴导函数可作判断A；考查函数y=〃x)-x的单调性可作判断B；分离参

数，再分析函数4以最值情况而作出判断C；构造函数g(x)=/(x)-〃4-x)(0<x<2)讨论

X

其单调性，确定g(x)>0即可判断D.

【详解】对于A,7⑴定义域为(。,+8),/(x)=-4+1=±^，

XXX

0<x<2时J'(x)<0,x>2时八x)>0,x=2是"x)的极小值点,A错误;

X2—Y+2

对于B,令h(x)=/(x)-x,h\x)=---------<0，

x

〃(x)在(0,+8)上递减，〃⑴=l〉0,〃(2)=ln2-l<0,〃(x)有唯一零点，B正确；

-人/、/(%)2Inx，/、xlnx-x+4

对于C,令。(x)=4Z==+一,(p\x)=------------，

XXXX

令令%)=xlnx-x+4,F'(x)=Inx,xG(0,1)时,F\x)<0,xG(1,+oo)时,F(x)>0,

尸⑸在(0,1)上递减，在(I+8)上递增，则/(工篇=21)=3〉0,

0(x)<o,e(x)在(0,+co)上递减，9(x)图象恒在X