导数的应用之函数的最值问题（5题型分类）-2025年高考数学一轮复习（原卷版+解析版）

专题14导数的应用■函数的最值问题5题型分类

彩题总

题型1：求函数的最值（不含参）

题型5：不等式恒成立与存在性问题

题型2：求函数的最值（含参）

专题14导数的应用一函数

的最值问题5题型分类

题型4：函数单调性、极值、最值得综合应用

V题型3：根据最值求参数

彩和源宏库

1.函数的最值

函数，=/（x）最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数“X）最小值为极小值与靠近极大值的

端点之间的最小者.

2

导函数为f(x)=ax+bx+c=a(x-x)(x-x^^m<x1<x2<n)

（1）当a>0时，最大值是/区）与/（”）中的最大者；最小值是/（Z）与/（”，）中的最小者.

（2）当a<0时，最大值是/（3）与/（⑼中的最大者；最小值是/（国）与，（■）中的最小者.

一般地，设了=/（x）是定义在［加，〃］上的函数，了=/（尤）在（"7,"）内有导数，求函数V=/（x）在［加，上的最

大值与最小值可分为两步进行：

（1）求V=/（X）在（"7，3内的极值（极大值或极小值）；

（2）将v=y（x）的各极值与/（⑼和/（”）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是

对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

2.不等式的恒成立与能成立问题

（1）若函数“X）在区间。上存在最小值〃x"n和最大值/（x）1mx,贝（I

不等式/(尤)>a在区间。上恒成立o/(X)疝n>a；

不等式/(x)2。在区间。上恒成立o1(力„1n>a；

不等式〃x)<b在区间。上恒成立o/(x).<b；

不等式/(x)46在区间。上恒成立o/(尤)1mxW6；

(2)若函数〃x)在区间。上不存在最大(小)值，且值域为(加，«),则

不等式/(x)>“或/'(x)2a)在区间。上恒成立o机Na.

不等式〃x)<”或/'(x)W6)在区间。上恒成立om&b.

(3)若函数〃x)在区间〃上存在最小值〃x)1nM和最大值〃x)111ax,即则对不等式有解问题

有以下结论：

不等式a</(x)在区间。上有解oa</(》\&；

不等式a4/(x)在区间。上有解oaW/aZ”；

不等式a>/(x)在区间。上有解oa>〃x)1111n；

不等式在区间D上有解oaN/(x；^；

(4)若函数/(x)在区间。上不存在最大(小)值，如值域为(加，”)，则对不等式有解问题有以下结论：

不等式a</(》)(或24/(X))在区间D上有解

不等式b>f(x)(或b>f(x))在区间D上有解ob>m

(5)对于任意的再目。,可，总存在zejm,n],使得/(xjWg(x2)O/(占)厘Wg(x2)1n；

(6)对于任意的王4出6],总存在％26血,〃],使得/(占)*(工2)0/(占)向112g仁解；

(7)若存在占4氏b\,对于任意的々e[m,n],使得〃西)四(々)0/(再)1ntoM8(的1nto；

(8)若存在玉e[a,目，对于任意的zdm,n\,使得/(xj2g^)=〃占)1mx28仁)鹏；

(9)对于任意的不目生b],x2e[m,可使得/(xj4g(%)=/(xj111ax4gG*；

(10)对于任意的再目见b],x2e[m,可使得「巨)*(％)=/(西僵Ng(%)1m*；

（11）若存在再e®6］*总存在zefm,n］,使得/（西）Vg（%2）o/（xJ1141Vg（%）厘

（12）若存在西武凡国，总存在”2«皿使得/（再）*（尤2）0/（%）1MsNg（xJ

1-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

\彩傩题秘籍i

I求函数的最值I

!1.求函数“X）在闭区间切上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值/（。），/⑻与/（X）!

i的各极值进行比较得到函数的最值.

i2.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注|

I意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处i

I理.

i---------------------------------------------------------------------------------------------------i

j题型1:求函数的最值（不含参）

!1-1.（2024•全国）函数/（x）=|2x-l|-21nx的最小值为.

1-2.（2024高三•全国•专题练习）已知函数f（x）=eXsinx-2x.

I⑴求曲线V=/（%）在点（0,7（0））处的切线方程；

（2）求/（x）在区间［-L1］上的最大值;

I1-3.（2024•江苏）若函数/卜）=2尤3-办2+“ae©在@+8）内有且只有一个零点，则在卜国上的最|

!大值与最小值的和为.

1-4.（2024•辽宁葫芦岛•二模）已知函数/'（x）=2sinx（l+cosx）,则/（x）的最大值是.

1-5.（2024•全国）函数/（x）=cosx+（x+l）sinx+l在区间［0,2兀］的最小值、最大值分别为（）

题型2：求函数的最值（含参）

2-1.（2024高三•全国•专题练习）已知函数/（x）=qlnx+；x-a,aeR.讨论函数/（x）的最值;

I2-2.(2024高三・全国・专题练习)已知函数/'3=111(1+苫)+办/.

(1)当。=-1时，讨论函数/(x)在(0,+e)上的单调性；

|⑵当时，求“X)在(T0］内的最大值；

11

12-3.(2024・四川成者B■模拟预测)已知函数/(X)=-］(6+a)x2+(8+6a)x-8aln尤-40,其中aeR.

:⑴若a=2,求/(x)的单调区间；

1<<2)

|(2)已知〃2)=〃4),求〃x)的最小值.(参考数据：3(3_4in2)

2-4.(2024•天津和平•三模)已知函数/'(x)=«-alnx,g(x)=(cosx-l)e',其中aeR.

I⑴若曲线y=/(x)在x=l处的切线4与曲线y=g(x)在x=］处的切线4平行，求。的值；

i⑵若xe(0,?i)时，求函数g(x)的最小值；

•3)若了⑺的最小值为〃⑷,证明：当ae(0,+8)时,A(a)<l.

j--------------------------------------------------------------------------------------------------

;彩傩题秘籍

(二)

5根据最值求参数

!已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函

i数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.

|题型3:根据最值求参数

I

13-1.(2024高三上•广西桂林•阶段练习)已知函数/'(x)=a石+lnx在x=l处取最大值，则实数。=()

A.-1B.1C.-2D.2

3-2.(2024高二下•四川绵阳•期中)已知函数/(x)=ax+lnx.

|(1)讨论函数〃x)的单调区间；

JT

(2)当〃=-1时，函数g(x)=/(x)+eXcosx-lnx-冽在［0,不|上的最大值为0,求实数加的值.

i3-3.(2024高三上•河南新乡•周测)若函数f(x)=/-3x在区间(a,6-/)上有最小值，则实数a的取

i值范围是

3-4.（2024高二・贵州贵阳•阶段练习）若函数/（无）=12x-x3在区间（加-5,2机+1）上有最小值，则实数加的取

值范围为.

3-5.（2024•山东•一模）若函数/（工）=；/+/一2在区间上存在最小值，则整数。的取值可以

是.

36（2024高三上,吉林长春,开学考试）函数7•。）=嘲+（0-1攵_3111彳在（1,2）内有最小值,则实数。的取值

范围为.

3-7.（2024・全国•模拟预测）已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上.若该球的体积为36万，则该四棱锥

体积的最大值是.

3-8.（2024高三下•云南昆明•阶段练习）已知函数/（尤）=lnx-F在区间［l,e］上最大值为最小值为加，

则的值是.

39（2024・贵州毕节•模拟预测）当a<0时，函数"％=x；，〈的最小值为1,贝•）

—e—4—x+2,x<ln（-a）

彩僻瓢祕籍（二）

函数单调性、极值、最值得综合应用

求函数“X）在区间［凡6］上的最值的方法：

（1）若函数/（尤）在区间上单调，则/（。）与/⑻一个为最大值，另一个为最小值；

（2）若函数在区间［a,可内有极值,则要求先求出函数“X）在区间［a,目上的极值，再与/⑷、f（b）

比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；

（3）若函数/（x）在区间［a,6］上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数

的实际应用中经常用到.

题型4:函数单调性、极值、最值得综合应用

4-1.（2024高三・全国•专题练习）设函数/（x）=ln（a-x）,已知x=0是函数y=的极值点.

⑴若函数g(x)=/(x)+mx2在内单调递减，求实数加的取值范围；

(2)讨论函数〃(k=”(可-/的零点个数；

⑶求在K内的最值.

xL/

4-2.(2024高三•全国•专题练习)已知/(x)=e"sinx.

⑴求函数4%)在［0,2K］内的极值点；

7T7T

(2)求函数g(%)=/(%)在-于万上的最值.

4-3.(2024高三•全国•专题练习)已知函数/(x)=2/一3(〃+1)t2+6办+1,其中acR.

⑴当〃=3时，求函数/(%)在(0,3)内的极值；

(2)若函数/(%)在［1,2］上的最小值为5,求实数。的取值范围.

4-4.(2024•天津河北•二模)已知〃>0,函数/(x)=xlna-qhix+(x-e)2,其中e是自然对数的底数.

(1)当0=1时，求曲线了=/(力在点(1,7(1))处的切线方程；

⑵当q=e时，求函数/(X)的单调区间；

⑶求证：函数/(x)存在极值点，并求极值点％的最小值.

4-5.(四川省宜宾市2023届高三三模数学(理科)试题)已知函数/(%)=加犹一“+x-lnx(冽ER).

⑴讨论函数/(%)的极值点个数；

(2)若加〉0,/(%)的最小值是1+ln加，求实数加的所有可能值.

彩傩题淞籍

(四)

不等式恒成立与存在性问题

1.求解不等式的恒成立问题，常用的方法有：(1)分离参数求最值；(2)直接求函数的最值；(3)端点优先

法.要根据已知条件灵活选择方法求解.

2.在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或

值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数.

1------

题型5:不等式恒成立与存在性问题

5-1.(2024高三•全国・专题练习)若存在,使得不等式2x-sinx之成立，则加的取值范围为—

5-2.(2024•浙江金华•模拟预测)对任意的x>l,不等式3-/+3/11^-亦320恒成立，则实数。的取值范

围为.

5-3.(2024高三上•内蒙古呼和浩特•开学考试)设函数〃x)=e「ax,fleR.

⑴当”=1时，求函数/(x)在x=l处的切线方程；

(2)讨论函数/(x)的单调性；

⑶若/(尤丝x在R上恒成立，求实数。的取值范围.

54(2024高三上•辽宁朝阳•阶段练习)已知函数/。)=加①一1),其中加©R.

X+1

⑴求函数〃无)的单调区间；

⑵若存在无e(l,+«0,使得不等式/(x)>lnx成立，求加的取值范围.

5-5.(2024高三上•福建莆田,开学考试)已知函数/'@)=/+办+2,aeR.

(1)若不等式<0的解集为[1,2],求不等式的解集；

⑵若对于任意的无目-U],不等式/(x)W2a(x-l)+4恒成立，求实数”的取值范围.

5-6.(2024高三•全国,专题练习)已知函数/⑴=？%2+x-Ar,g(x)=♦+谓+cx+d(aH0)是R上的奇函数，

当x=l时，g(X)取得极值-2.

(1)求函数g(x)的单调区间和极大值；

(2)若对任意xe[f3],都有/(x)Wg(x)成立，求实数后的取值范围；

⑶若对任意王e[T,3],X2G[-1,3],都有/(三)Vg(z)成立，求实数上的取值范围.

炼习与翌升

一、单选题

L(2024•全国)当x=l时，函数/(%)=alnx+2取得最大值_2,则八2)=()

x

1

A.—1B.—cD.1

2-i

2.（2024•全国）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36万，且34/43百,

则该正四棱锥体积的取值范围是（）

27812764

A.B.C.D.[18,27]

3.（2024高二下•全国•专题练习）如果圆柱的轴截面周长/为定值，那么圆柱的体积的最大值是（）

A.兀B.卢

c.炉D-泊一

22

4.（2024高三上・河南焦作•期中）在直角坐标系xOy中，一个长方形的四个顶点都在椭圆0：土+匕=1上,

43

将该长方形绕工轴旋转180。，得到一个圆柱体，则该圆柱体的体积最大时，其侧面积为（

10乃D16品C8A/6K401

A.——D.------------------D.——

333

24+人40有实数解，则实数。的取值范围为

5.（2024・陕西咸阳・模拟预测）已知不等式bu——

xx

)

A.f」1

B.(-8,0)C.----,+8D.[0,+a?)

l2e2e

6.（2024•四川成都・模拟预测）若关于X的不等式（e-D（ln〃+x"〃ex-1在、式0』内有解，则实数。的取值

范围是（）

121

A.B.-,eC.-,eD.2e，e

7.（2024高三•全国•对口高考）已知/（无）=f2+加x+1在区间上的最大值就是函数〃x）的极大值，

则"2的取值范围是（）

A.[2,+⑹B.[4,+8）C.[-4,-2]D.[2,4]

8.（2024高三上•重庆沙坪坝•阶段练习）已知a,6eR,关于x的不等式e*2办+6在R上恒成立，则曲的

最大值为（）

A.-B.-C.2D.e3

32e

9.（2024高三上•江苏镇江•开学考试）对于实数尤e（O,+s）,不等式e，-In（加x）+（l-机）x20恒成立，则实

数机的取值范围为（）

A.0<m<1B.m£1C.0<m<eD.m<e

二、填空题

10.（2024・全国•模拟预测）在直角坐标系xS中，矩形的四个顶点都在椭圆C：或+4=1上，将该矩形绕y

43

轴旋转一周，得到一个圆柱体，当该圆柱体的体积最大时，其侧面积为

11.（2024高三上•重庆•阶段练习）已知夕©（/,?1,则当tan2。Tan。取得最大值时，咽?=.

142Jtan8----------

12.（2024高三上•四川成都・开学考试）已知面积为拽的锐角段BC其内角4B,C所对边分别为a,b,

3

c,且2;+'14=2—,则边。的最小值为______.

tanAtanBsmA

13.（2024高三上•吉林长春•开学考试）函数/（刈=/+（"1）尤-31nx在（1,2）内有最小值，则实数。的取值

范围为.

14.（2024・湖北武汉三模）已知函数〃x）=c"sm",工电5],则函数〃x）的最小值为.

15.（2024•安徽安庆•二模）已知x〉0/〉0,且1口（9），=/,则/y—lnx-x的最小值为.

16.（2024•海南海口■模拟预测）已知正实数加，〃满足："ln〃=e"-"Inm,则一的最小值为.

m

17.（2024高三•福建泉州•阶段练习）已知函数/（x）=|x-l|-alnx的最小值为0,则。的取值范围

为.

18.（2024高三下•江苏南通•开学考试）若函数/5）=忙，+。|-尤的最小值为-1,则。=.

19.（2024高三•全国•专题练习）若函数〃x）=e，（*+2x+a）在区间（的+1）上存在最大值，则实数。的取

值范围为

20.（2024•山西运城•模拟预测）已知函数/（力=$3+；/-2式+1,若函数〃尤）在（2"2,20+3）上存在最

小值.则实数。的取值范围是.

2

21.（2024•贵州黔东南•模拟预测）若存在实数（0<6<2）,使得关于x的不等式打入6+方（2*+2对

xe（0,+<»）恒成立，则b的最大值是.

2

22.（2024高三下•陕西安康•阶段练习）若不等式二+21nq+x-2N0对Vxe（0,+⑹恒成立，则。的取值

exx

范围是.

三、解答题

23.（2024•北京）已知函数/（无）=R，.

(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1J。))处的切线方程；

(2)若“X)在尸一1处取得极值，求/(x)的单调区间，以及其最大值与最小值.

24.(2004・浙江)设曲线y=e-，(xN0)在点处的切线/与x轴y轴所围成的三角形面积为义。.

(1)求切线/的方程；

⑵求S⑴的最大值.

25.(2004・湖南)已知函数/(x)=/e",其中qVO,e为自然对数的底数.

(1)讨论函数Ax)的单调性；

⑵求函数/(X)在区间［0,1］上的最大值.

26.(2024高二下•黑龙江大庆•期中)已知函数/'(x)=lnr-ax,ae(O,l).

(1)若a=g时，求“X)的单调区间；

⑵求“X)在口，2］上的最小值.

27.(2024•江西)已知函数/(x)=(#+6x+c)e'在［0,1］上单调递减，且满足"0)=1,/(D=0.

(1)求。的取值范围；

(2)设g(x)=〃x)求在［0,1］上的最大值和最小值.

28.(2024高二下•山西朔州•阶段练习)设aGR,函数加尸6一?/.

(1)若x=2是函数y=/(x)的极值点，求a的值；

(2)若函数g(x)=/(x)+/'(x),x£［0,2］,在x=0处取得最大值，求。的取值范围

29.(2024高三上•重庆沙坪坝•开学考试)已知函数/(x)=xlnx-a尤3+2尤.

(1)设。=0,经过点(0,-1)作函数y=f(x)图像的切线，求切线的方程；

⑵若函数/(无)有极大值，无最大值，求实数。的取值范围.

30.(2024高三•广东中山•阶段练习)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽

之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

31.(2024高二下•广东汕头•期中)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：m),其中容器的

中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为等n?,且也2.，假设该容器的建

造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3万元，半球形部分每平方米的建造费

用为c(03)万元，该容器的总建造费用为了万元.

（1）写出y关于『的函数表达式，并求该函数的定义域；

（2）求该容器的总建造费用最少时的，•的值.

32.（2023•福建）在平面直角坐标系中，已知矩形/BCD的长为2,宽为1,48,/。边分别在无轴、了轴的

正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示）.将矩形折叠，使/点落在线段。C上.

⑴若折痕所在直线的斜率为左，试写出折痕所在直线的方程；

（2）求折痕的长的最大值.

33.（2024高二下•广东揭阳•期末）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴为"，短半轴为「，计划将此钢

板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记CO=2x,梯形面积为S.

（I）求面积S关于变量x的函数表达式，并写出定义域；

（11）求面积5的最大值.

34.（2024•广东广州•一模）人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事

务和做出决策，某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表.

月份X12345

销售量y（万件）4.95.86.88.310.2

该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于X的回归模型：y=ux2+v.

⑴根据所给数据与回归模型，求了关于x的回归方程（力的值精确到0.1）;

（2）已知该公司的月利润z（单位：万元）与x,y的关系为z=246--，厂，根据（1）的结果，问该公司

yjx

哪一个月的月利润预报值最大？

参考公式：对于一组数据（项,%）,（乙,%），•••，（乙,以），其回归直线？=米+&的斜率和截距的最小二乘估计公

式分别为石=上―-----------，a^y-bx.

S（x,-x）2

i=l

35.（2024高三•全国•专题练习）为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行

了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3,4,

5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根

据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3:0或3:1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比

赛中以3:2取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜

的概率均为P（O<P<1）.

（1）比赛结束后冠亚军（没有并列）恰好来自不同校区的概率是多少？

⑵第10轮比赛中，记张三3:1取胜的概率为求出/（M的最大值点Po.

36.（2024•河北•模拟预测）5G技术对社会和国家十分重要.从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽

机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命.某科技集团生产力,3两种5G通信基站核心部件，

下表统计了该科技集团近几年来在/部件上的研发投入x（亿元）与收益y（亿元）的数据，结果如下：

研发投入X（亿元）12345

收益y（亿元）3791011

（1）利用样本相关系数r说明是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系（当M40.75,1］时，可以认为两个

变量有很强的线性相关性）；

⑵求出了关于x的经验回归方程，并利用该方程回答下列问题：

①若要使生产/部件的收益不低于15亿元，估计至少需要投入多少研发资金？（精确到0Q01亿元）

②该科技集团计划用10亿元对/,8两种部件进行投资，对8部件投资无（IV尤V6）元所获得的收益夕近似

4

满足尸0.9x-二+3.7,则该科技集团针对45两种部件各应投入多少研发资金，能使所获得的总收益尸

x

最大.

2(七-%乂乂-司

附：样本相关系数尸=1〃闫I"，

£(苞-亍)(乂-灭)__

回归直线方程的斜率i=J-----------,截距2=工-应.

£(x,-月2

i=l

37.(2024高三・全国・专题练习)甲、乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁先赢满5局，谁便赢

得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为P(0<P<D，甲赢的概率为1-。，每局游戏相互独立，在乙赢

了3局甲赢了1局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专

家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲、乙按照游戏再继续进行

下去各自赢得全部奖金的概率之比舄：与分配奖金.记事件/为"游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求

当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率/(⑷，并判断当p2：时，事件N是否为小概率事件，并说

明理由.(注：若随机事件发生的概率小于0.05,则称随机事件为小概率事件)

38.(2024高三上•云南保山•阶段练习)已知函数/(x)=2/+3(1+加)/+6加尤(xeR).

⑴讨论函数/(无)的单调性；

(2)若/'(7)=1,函数g(x)=a(lnx+l)-号V0在(1,+⑹上恒成立，求整数。的最大值.

39.(2024•甘肃临夏•一模)已知函数/(x)=21nx+x2-Ax.

⑴讨论了(X)的单调性；

⑵若对于任意正实数X,不等式〃尤)W尤2(inx-l)恒成立，求实数后的取值范围.

40.(2024・河北唐山•模拟预测)已知函数/(x)=x3_2f,g(x)=32e1

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)若/'(，)=g(s),求"s的最小值.

41.(2024高三上•河南•阶段练习)设a>0且awl,函数=4、-2，,g(x)=,且g(x)为奇函数.

(1)求a；

⑵求/(x)+[g(x)]2的最小值.

42.(2024高三上•陕西汉中•阶段练习)已知函数/(x)=e*-l-asinx(aeR).

(1)若曲线了=〃x)在点(0,/(0))处的切线方程为〉=-X,求。的值；

⑵当。=2时，求/㈤在［0,兀］上的最大值.

43.(2024高三上•北京东城•开学考试)设函数/(x)=e'-“x

(1)当。=1时，求函数“X)在x=0处的切线方程；

(2)当。=2时，求证:/(x)>0

(3)当。>1时,求函数在［0」］上的最小值

44.(2024•北京)已知函数/(x)=12-

(I)求曲线7=“X)的斜率等于-2的切线方程；

(II)设曲线y=“X)在点亿/⑺)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为义。，求S⑺的最小值.

45.(2024高三上•广东惠州•阶段练习)已知函数〃x)=V-alnx-1.

⑴若/(x)的单调递增区间为［2,+s),求。的值.

(2)求/⑺在［1,+8)上的最小值.

46.(2024高三上・四川泸州•阶段练习)设函数/四=/-6-方，xeR,其中。，beR.

(1)求/(x)的单调区间；

(2)设。>0,函数gQ)=|/(x)|,求证：g(x)在区间［-1,1］上的最大值不小于!.

47.(2024高三•全国•课后作业)用铁皮做一个体积为686cm3的正三棱柱形有盖箱子，间底面边长为多少时,

用料最省？并求出这时所有铁皮的面积(焊缝、拼缝处所耗材料忽略不计).

48.(2024高三上•山东烟台・期末)某工厂拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的

上端为半球形，下部为圆柱形，该容器的体积为一立方米，且/26r.假设该容器的建造费用仅与其表面

积有关.已知圆柱形部分侧面的建造费用为每平方米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用

为小("7>2.25)千元.设该容器的建造费用为V千元.

(1)写出y关于『的函数表达式，并求该函数的定义域;

(2)求该容器的建造费用最小时的心

49.(2024高三上•全国•开学考试)已知函数/(x)=--mxlnx+1,加eR且加wO.

⑴当机=1时，求曲线V=/(x)在点(1J。))处的切线方程；

(2)若关于x的不等式/■(x)Z：x恒成立，其中e是自然对数的底数，求实数加的取值范围.

50.(2024•湖南长沙•模拟预测)已知函数〃x)=l+《lnx-巨黑卜*0).

⑴若/(x)存在最大值证明：M+k>l；

⑵在(1)的条件下，设函数g(x)=xe"丁.无，求g(x)的最小值(用含“，发的代数式表示).

专题14导数的应用■函数的最值问题5题型分类

彩题总

题型1：求函数的最值（不含参）

题型5：不等式恒成立与存在性问题

题型2：求函数的最值（含参）

专题14导数的应用一函数

的最值问题5题型分类

题型4：函数单调性、极值、最值得综合应用

V题型3：根据最值求参数

彩和源宏库

1.函数的最值

函数，=/（x）最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数“X）最小值为极小值与靠近极大值的

端点之间的最小者.

2

导函数为f(x)=ax+bx+c=a(x-x)(x-x^^m<x1<x2<n)

（1）当a>0时，最大值是/区）与/（”）中的最大者；最小值是/（Z）与/（”，）中的最小者.

（2）当a<0时，最大值是/（3）与/（⑼中的最大者；最小值是/（国）与，（■）中的最小者.

一般地，设了=/（x）是定义在［加，〃］上的函数，了=/（尤）在（"7,"）内有导数，求函数V=/（x）在［加，上的最

大值与最小值可分为两步进行：

（1）求V=/（X）在（"7，3内的极值（极大值或极小值）；

（2）将v=y（x）的各极值与/（⑼和/（”）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是

对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

2.不等式的恒成立与能成立问题

（1）若函数“X）在区间。上存在最小值〃x"n和最大值/（x）1mx,贝（I

不等式/(尤)>a在区间。上恒成立o/(X)疝n>a；

不等式/(x)2。在区间。上恒成立o1(力„1n>a；

不等式〃x)<b在区间。上恒成立o/(x).<b；

不等式/(x)46在区间。上恒成立o/(尤)1mxW6；

(2)若函数〃x)在区间。上不存在最大(小)值，且值域为(加，«),则

不等式/(x)>“或/'(x)2a)在区间。上恒成立o机Na.

不等式〃x)<”或/'(x)W6)在区间。上恒成立om&b.

(3)若函数〃x)在区间〃上存在最小值〃x)1nM和最大值〃x)111ax,即则对不等式有解问题

有以下结论：

不等式a</(x)在区间。上有解oa</(》\&；

不等式a4/(x)在区间。上有解oaW/aZ”；

不等式a>/(x)在区间。上有解oa>〃x)1111n；

不等式在区间D上有解oaN/(x；^；

(4)若函数/(x)在区间。上不存在最大(小)值，如值域为(加，”)，则对不等式有解问题有以下结论：

不等式a</(》)(或24/(X))在区间D上有解

不等式b>f(x)(或b>f(x))在区间D上有解ob>m

(5)对于任意的再目。,可，总存在zejm,n],使得/(xjWg(x2)O/(占)厘Wg(x2)1n；

(6)对于任意的王4出6],总存在％26血,〃],使得/(占)*(工2)0/(占)向112g仁解；

(7)若存在占4氏b\,对于任意的々e[m,n],使得〃西)四(々)0/(再)1ntoM8(的1nto；

(8)若存在玉e[a,目，对于任意的zdm,n\,使得/(xj2g^)=〃占)1mx28仁)鹏；

(9)对于任意的不目生b],x2e[m,可使得/(xj4g(%)=/(xj111ax4gG*；

(10)对于任意的再目见b],x2e[m,可使得「巨)*(％)=/(西僵Ng(%)1m*；

(11)若存在再e®句，总存在马«口n\,使得/(%)Vg(%2)o/(xJ1141Vg(%)厘

(12)若存在西武凡国，总存在”2«皿使得/(再)*(尤2)0/(%)1MsNg(xJn1ta

1-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

\彩傩题秘籍i

I求函数的最值I

!1.求函数“X)在闭区间切上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值/(。)，/⑻与/(X)!

i的各极值进行比较得到函数的最值.

i2.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注|

I意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处i

I理.

题型1：求函数的最值(不含参)

1-1.(2024•全国)函数/(%)=|2x-l|-21nx的最小值为.

【答案】1

【分析】由解析式知/(X)定义域为(0,+与，讨论0<xV！、!<x<l,x>l,并结合导数研究的单调性,

即可求了(X)最小值.

【详解】由题设知：/(》)=|2工-1|-2111》定义域为(0,+向，

・,・当时，f(x)=l-2x-21nx,此时/(%)单调递减；

17

当一时，f(x)=2x—1—2Inx,有/<x)=2—<0,此时/(%)单调递减；

2x

2

当x〉l时，/(x)=2x-l-21nx,有八%)=2——>0,此时/(%)单调递增；

x

又/(%)在各分段的界点处连续，

・••综上有：0<x4l时，/(%)单调递减，x〉l时，/(%)单调递增；

故答案为：1.

1-2.(2024高三・全国•专题练习)已知函数/(x)=e"sinx-2x.

1------

(1)求曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程；

(2)求在区间上的最大值；

【答案】(l)〉=-x；

⑵〃x)m「2一岁；

【分析】(1)首先求解切点和此点的导数，然后表示出切线方程.

(2)对函数求导/'(x)=e*(sinx+cosx)-2,然后通过再求导研究导数的单调性，从而分析出导数/'(x)在

［T1］与。的大小关系，从而求解出函数［(x)=eXsinx-2x在［-1,1］的单调性，最后比较/⑴,〃-1)的大

小，从而求解出函数的最大值；

【详解】(1)因为/'(x)=eXsin尤-2尤，

所以/'(x)=e"(sinx+cosx)—2,

则八0)=7,又/(。)=0,

所以曲线在点(0,/(0))处的切线方程为V=.

(2)令g(x)=/'(x)=eX(sinx+cosx)-2,

则g'(x)=2e“cosx,

当时，g,(x)>0,g(x)在上单调递增.

因为g(0)=-1<0,g(l)=e(sinl+cos1)-2>0,

所以我e(0,1),使得g(x°)=0.

所以当xe(T/)时，/'(无)<0,〃无)单调递减；

当xe(x0,l)时，/*)>0,单调递增，

所以函数可能在x=l或x=T处求得最大值，

X/(l)=esinl-2<e-2<l,/(-1)=2-->1,

所以/(力2=/(-1)=2-岁•

1------

1-3.(2024•江苏)若函数/(x)=2尤3-办2+i(ae用在仅,+⑹内有且只有一个零点，则/⑺在上的最

大值与最小值的和为.

【答案】-3

【分析】方法一：利用导数判断函数“X)在(0,+«0上的单调性,确定零点位置，求出参数再根据函数“X)

在［一口］上的单调性确定函数最值，即可解出.

【详解】［方法一］:【通性通法】单调性法

求导得f'(x)=6x2-2ax,

当a40时，函数/(x)在区间(0,+功内单调递增，且/(x)>,0)=1,所以函数"X)在(0,+s)内无零点；

当a>0时，函数/(x)在区间［o,］］内单调递减，在区间内单调递增.

当X=0时，f(0)—1；当％f+8时，/(X)—>+00.

要使函数/(X)在区间(0,+8)内有且仅有一个零点，只需/［三］=0,解