导数的应用之函数的单调性问题（5题型分类）-2025年高考数学一轮复习（原卷版+解析版）

专题12导数的应用-函数的单调性问题5题型分类

彩题如工总

题型5：含参数单调性讨论题型1：利用导函数与原函数的关系确定

原函数图象

题型4：不含参数单调性讨论

专题12导数的应用一函数的单调

性问题5题型分类

题型2：求单调区间

题型3：巳知含量参函数在区间上单调或不

单调或存在单调区间，求参数范围

彩先渡宝库

一、单调性基础知识

1、函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数〉=/（%）在某个区间内可导，如果/'（幻>0,则y=为增函数；如果

rW<0,则y=/（x）为减函数.

2、已知函数的单调性问题

①若Ax）在某个区间上单调递增,则在该区间上有了'（x）N0恒成立（但不恒等于0）；反之,要满足广（无）>0,

才能得出了⑺在某个区间上单调递增；

②若fM在某个区间上单调递减，则在该区间上有f'（x）<0恒成立（但不恒等于0）；反之,要满足f\x）<0,

才能得出Ax）在某个区间上单调递减.

二、讨论单调区间问题

类型一：不含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或恒负,

无需单独讨论的部分）；

（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正

负区间段已知，可直接得出结论）；

（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；

（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；

（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导.

（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；

类型二：含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续

的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或恒负，

无需单独讨论的部分）；

（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；

（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；

（5）导数图象定区间；

（一）

利用导函数与原函数的关系确定原函数图象

原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数〃元）单调递增o导函数7'（X）20（导函数等于0,

只在离散点成立，其余点满足r（无）＞0）;原函数单调递减o导函数/'（x）W0（导函数等于0,只在离散点

成立，其余点满足/（毛）＜0）.

题型1：利用导函数与原函数的关系确定原函数图象

1-1.（天津市西青区为明学校2023-2024学年高三上学期开学测数学试题）已知函数y=/（x）的图象是下列

四个图象之一，且其导函数y=r（x）的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（）

"或"连接，而应用"和"隔开.

2.导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；

（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类

讨论和数形结合思想的应用.

3.已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围

（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函

数的形式及图象特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线

最小值落在端点等.

（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围.

（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.

题型2:求单调区间

2-1.（2024高三下•江西鹰潭•阶段练习）函数y=土上+lnx的单调递增区间为（）

X

A.（0,2）B.（0,1）C.（2,+oo）D.（l,+oo）

2-2.（2024高二下糊北•期中）函数〃元）=ln（4尤2-1）的单调递增区间（）

2-3.（2024•上海静安•二模）函数y=xlnx（）

A.严格增函数

B.在上是严格增函数，在+上是严格减函数

C.严格减函数

D.在［。,口上是严格减函数，在+s）上是严格增函数

题型3：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围

3-1.（2024•陕西西安三模）若函数〃力=V一依+1nx在区间0,e）上单调递增，则。的取值范围是（）

A.[3,+co)B.(-8,3]C.[3,e2+l]

3-2.（2024•山东济宁•一模）若函数〃尤）=log“（依-尤3）（。>0且在区间（0,1）内单调递增，则。的取值

范围是（）

A.[3,+co)B.(1,3]

V-21

3-3.（2024•宁夏银川•三模）若函数/（x）=5-Inx在区间（〃?,〃，+§）上不单调，则实数机的取值范围为（）

A.0<m<——<m<l

33

21

C.—<m<I

3

3-4.（2024高三上・江苏苏州•期中）若函数/"）=12+办2_2在区间（3,2]内存在单调递增区间，则实数。

的取值范围是（）

A.[-2,+co）B.C.-2,-^D.（-2,+co）

9「1-

3-5.（2024高三上•山西朔州•期中）已知函数〃x）=ln尤+（工-6）一（6eR）在区间-,2上存在单调递增区

间，则实数6的取值范围是

-C0,2—00,—C.2,3)

4

3-6.（2024高二下•天津和平期中）已知函数/（x）=7加+3（m-l）x2-M?+l（m>0）的单调递减区间是（0,4）,

则加=（）

他甄秘籍

函数单调性的讨论

1.确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，

二是函数的单调区间不能用并集，要用"逗号"或"和"隔开.

2、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从

而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减.（注意定义域的间断情况）.

3、需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函

数值或零点可判断一阶导函数正负区间段.

4、利用草稿图象辅助说明.

题型4：不含参数单调性讨论

4-1.（2024高三•全国•专题练习）已知函数=虱上D（x>0）.试判断函数〃x）在（0,+8）上单调性并

X

证明你的结论；

42（2024高三・全国・专题练习）已知"x）=lnx+^若。=1,求的单调区间.

4-3.（2024•贵州•二模）已知函数/（x）=xlnx—e'+l.

（1）求曲线y=f（x）在点（L〃l））处的切线方程；

⑵讨论〃力在（0,+力上的单调性.

题型5:含参数单调性讨论

5-1.（2024高三•全国•专题练习）已知函数/（x）=（m+1）%-机Inx-根.讨论了（九）的单调性；

52（2024高三•全国•专题练习）已知函数/（x）=lnx-2/d+3依-1（心0）,讨论函数的单调性.

5-3.（2024高三•全国・专题练习）已知函数〃x）=lnx+（l—a）x+l（aeR）,讨论函数的单调性.

5-4.（2024高二下•全国•课后作业）已知函数〃x）=e=1.讨论函数“力的单调性.

5-5.（2024高三・全国・专题练习）已知函数/（x）=alnx+x2-（a+2）x（a>0）,讨论函数/（X）的单调性.

5-6.（2024高三,全国•专题练习）已知函数=1-—^^x—a^—\nx——+b,其中a,6eR,讨论函数

的单调性.

5-7.（2024高三•全国•专题练习）已知函数〃尤）=（/-3依+2/lnx,a^Q,讨论的单调区间.

5-8.（2024高三・全国・专题练习）已知函数〃x）=Alnx-g.判断函数的单调性.

X

法习与置升

一、单选题

1.（2024高三•全国•课后作业）函数〃引=依+工（八6为正数）的严格减区间是（）.

2.（2024高二上•浙江•开学考试）已知函数f（x）=sinx+“cosx在区间[苦）上是减函数，则实数。的取值范

围为（）

A.«>72-1B.a>\C.a>l-6D.a>-l

3.（2024高三•全国・专题练习）三次函数=在（_oo,+oo）上是减函数，则机的取值范围是（）

A.m<0B.m<\C.m<0D.m£1

4.（2024高三下•青海西宁•开学考试）已知函数了（同=9+111北若对任意4，X,G（O,2],且无产马，都有

"%）-/&）>一],则实数。的取值范围是（）

x2—xi

（271（27^

A.l-oo,—B.（-oo,2]C.I-oo,—ID.（-oo,8]

5.（2024高三•全国•专题练习）若函数/（x）=1+x-ln尤-2在其定义域的一个子区间（2左-1,2Z+1）内不是

单调函数，则实数上的取值范围是（）

6.（2024高三•全国,专题练习）已知函数〃尤）=；尤3+3尤2+x+i在（一双0）,（3,母）上单调递增，在（1,2）上

单调递减，则实数。的取值范围为（）

10_5

A.T，-2

3111

7.(2024•全国)已知。=一,b=cos—,c=4sin—,贝Ij()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

8.(2024•全国)设。=0.随叫6=",c=-ln0.9,贝U()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

9.(2024高三上•河南•阶段练习)下列函数中，既是偶函数又在(0,+8)上单调递增的函数是()

1vx

A./(x)=xlnxB./(x)=^—i--C./(x)=e+e'D./(x)=-^—1-

10.(2024高三上•河南•阶段练习)函数/(x)=xlnx+l的单调递减区间是()

A.JB.(0,e)C.D.(e,+oo)

IL(2024高二下•河南许昌•阶段练习)函数y=xcosx-sin尤在下面哪个区间内是增函数

A.)B.(71,2K)C.(―,—)D.(271,3K)

2222

12.(2024•全国)己知函数/'(x)=ae'-lnx在区间(1,2)上单调递增，则。的最小值为().

2-1-2

A.eB.eC.eD.e

13.(2024高二下•福建泉州•期末)已知函数y=/(x),y=g(x)的导函数的图像如下图，那么y=/(x),y=g(x)

14.(2024高二下•河北邯郸・期末)函数y=/(x)的导函数y=/'(x)的图象如图所示，则函数y=/(元)的图

象可能是（）

15.（2024,湖南）若函数y=/（元）的导函数在区间m,切上是增函数，则函数y=/（x）在区间句上的图象

可能是

16.（2024•全国）函数y=-£+*2+2的图像大致为

17.

18.（2024•全国）函数〃尤）=--：的图像大致为（

1

19.(2024高三上•重庆沙坪坝•开学考试)已知实数。，仇。满足：〃=31-32/=—1113,c=4-2石，则()

2

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b

20.(2024IWJ二下,山东荷泽・期末)已知〃=/，9c=l+ln--,则a,b,c的大小关系为()

1011

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

21.(2024高二上•湖南张家界•阶段练习)设/(%)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当xvO时,

「(%总(尤)+/(%必'(%)>0.且g(—3)=0,则不等式/(x)g(x)〈。的解集是()

A.(-3,0)53,+8)B.(-3,0)50,3)

C.(-00,-3)u(3,+oo)D.(-00,-3)u(0,3)

22.(2024高三•全国•专题练习)己知/(x)在R上是可导函数，〃尤)的图象如图所示，则不等式

(尤2—2%—3)-的解集为()

A.(-co,-2)U(l,+<»)B.(^30,-2)U(1,2)

C.(-co,-l)u(-l,0)u(2,+oo)D.(-co,-l)U(3,+oo)

23.(2024高三上•重庆沙坪坝•开学考试)若函数/(x)为定义在R上的偶函数，当时，f(x)>2x,

则不等式〃3x-1)-〃2)>(3龙-3)(3x+l)的解集为()

1(-00,-4卜(1,+8)

A.—oo,----B.

3

C.(1,+co)D.

24.(2024•全国•模拟预测)已知幕函数/(x)=x\xe(y,0)30，+8)，若〃月=/回，则下列说法正确

a+\

的是（）

A.函数/（x）为奇函数B.函数/（X）为偶函数

C.函数“X）在（0,+巧上单调递增D.函数在（0,+8）上单调递减

25.（2024•江西鹰潭•模拟预测）函数y=-/+lnx的单调递增区间为（）

A.fB.（0,e）C.D.0,与

26.（2024高二下•重庆・期中）若函数〃尤）=d_alnx-x-2023（aeR）在区间［1,+s）上单调递增，则。的取

值范围是（）

A.（-℃,1）B.（-co,l］C.［一00，i.D.

27.（2024•甘肃兰州•一模）已知"X）是偶函数，在（一8,0）上满足旷'（力＞0恒成立，则下列不等式成立的

是（）

A./（-3）＜/（4）＜/（-5）B./（4）＜/（-3）＞/（-5）

C./（-5）＜/（-3）＜/（4）D./（4）＜/（-5）＜/（-3）

M2

28.（2024•全国•模拟预测）已知。,女。41,心），＞a-lna-l=e,b-\nb-2=e,c-lnc-4=e^,其

中e是自然对数的底数，则（）

A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.b＜c＜aD.c＜b＜a

b3

29.（2024•江苏南京•模拟预测）已知实数，，〃满足ae"=e2,=上e，其中《是自然对数的底数，则必的

eb

值为（）

A.e2B.e3C.2e3D.e4

30.（2024高三・贵州贵阳•阶段练习）已知〃了）=竺1-彳，%G（O,-H»）,对且占＜%，恒

有工墟-/应＜0,则实数。的取值范围是（）

x2石

A.2,+81B.”,+8C.（-oo,e2'|D.|-oo,e2

31.（2024•四川南充・三模）已知函数/（x）=lnx,g（x）=e\*］,々41,2］使以（再）-8（々）|＞左|/（国）-/'（工2）|（k

为常数）成立，则常数上的取值范围为（）

A.（«,e）B.（-<»,e]C.（-oo,2e2）D.（-℃,2e2]

二、多选题

32.（2024高二上•山东济宁•期末）已知函数/（尤）的定义域为R且导函数为尸（x）,如图是函数>=步'（无）的

图像，则下列说法正确的是

A.函数/（%）的增区间是（-2,0）,（2,二）

B.函数/（X）的增区间是（-8,-2）,（2,+00）

C.x=-2是函数的极小值点

D.x=2是函数的极小值点

33.（2024•湖北武汉•二模）函数，=（辰2+1）/的图像可能是（）

34.（2024•山东潍坊•模拟预测）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）

A.y=x-sinxB.y=x^-1C.y=tanxD.y=ex-e-x

35.（2024高二下•广东潮州•开学考试）已知函数/（%）=%ln（l+x）,则（）

A.f（x）在（0,+oo）单调递增

B.7（九）有两个零点

C.曲线y=/（x）在点,处切线的斜率为—1—M2

D./（九）是奇函数

36.（2024•河北•模拟预测）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把"="作为等号使用，

后来英国数学家哈里奥特首次使用和，符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若1<a<6<e,

则（）

In（2InZ?,

A.——<—B.b<ba

aba

abab

C->艇D-

37.（2024,浙江金华,模拟预测）当x>l且y>l时，不等式£二>[2]恒成立，则自然数〃可能为（）

In>⑴

A.0B.2C.8D.12

三、填空题

2

38.（2024高二下•四川眉山•阶段练习）〃x）=x+—的单调递减区间是—.

x

39.（2024•内蒙古赤峰•模拟预测）已知函数〃x）=31nx-x+2,则的单调递减区间为.

40.（2024•四川雅安•模拟预测）给出两个条件：①a,6eR,f（a+b}=f（a）f（b}.②当xe（0,W）时，

r（x）<0（其中/（力为〃尤）的导函数）.请写出同时满足以上两个条件的一个函数.（写出一个满足

条件的函数即可）

41.（2024高三上•湖北黄冈•阶段练习）已知函数〃x）=e，-er-2x+l,则不等式〃2彳—3）+/（尤）>2的解

集为.

42.（2024•宁夏银川三模）若函数/（x）=1-Inx在区间上,机+£|上不单调，则实数m的取值范围为

四、解答题

43.（2024高三•全国・专题练习）已知函数/（x）=e*-6ix（aeR）,g（x）=e*+cos^|x.

⑴若"x）Z0,求a的取值范围；

（2）求函数g（x）在（0,+s）上的单调性.

44.（2024高三・全国•专题练习）已知函数/（x）=ln（eX—D—Inx,判断了（无）的单调性，并说明理由.

45.（2024高三•全国•专题练习）已知函数/■（尤）=（x-a）lnx,讨论尸（x）的单调性.

46.（2024高三・全国•专题练习）己知函数=讨论〃x）的单调性;

47.（2024高三・全国・专题练习）已知函数/。）=如'一：无2

（1）当左=1时，求曲线>=/（尤）在x=l处的切线方程;

⑵设g（x）=f'。）,讨论函数g（尤）的单调性.

48.（2024高三•北京海淀•专题练习）设函数-（4a+l）x+4a+3]e”.

⑴若曲线y=/（x）在点（L〃1））处的切线与x轴平行，求。;

（2）求外力的单调区间.

49.（2024高三•全国•专题练习）已知了（月=1"+日君-：-2（0/0）,讨论/'（x）的单调性.

50.（2024高三•全国・专题练习）己知函数〃尤）=ln（l+尤）-3侬2（。工0）,讨论“X）的单调性.

51.（2024高三•全国•专题练习）已知函数〃x）=lnx+士匚竺^（aeR）,讨论函数/⑺的单调性;

2x

52.（2024高三・全国・专题练习）己知函数外月=叶片，aeR,讨论的单调性.

e以

53.（2024高三•全国•专题练习）已知函数/。）=g/+3公+21nx（aeR）,讨论函数“力的单调性.

54.（2024高三•全国・专题练习）已知函数=+lnx+N,xe（0,+oo）,其中aeR,讨论函数/（x）的

x

单调性.

55.（2024|W]二■全国,专题练习）已知/'（x）=（x-a-l）e*-5办?+。-工-1.（aeR）,讨论/'（x）的单调性.

56.（2024高三•全国•专题练习）已知〃到=（1）2]-#+皿尤>0）（。€11）,讨论函数〃尤）的单调性.

57.（2024高三・全国・专题练习）已知函数〃元）=口1?尤_（4+l）lnx+l}x,aeR,讨论函数〃x）的单调性.

58.（2024高三•全国•专题练习）已知函数/（幼="田+炉—2x+l+（x-l）lm（a>0,且awl）求函数全（x）

的单调区间；

Y1

59.（2024高三•全国•专题练习）设函数〃耳=妥+办2,其中aeR,讨论〃尤）的单调性.

60.（2024高三・全国•专题练习）设勿>1,函数〃x）=e"-（2x+l）[x>-£],讨论在（-2,+，|的

单调性.

61.（2024•北京）已知函数/（x）=e，ln（l+x）.

（1）求曲线y=〃尤）在点（o,/（o））处的切线方程；

（2）设g（x）=r（x）,讨论函数g（无）在[0,+8）上的单调性；

（3）证明:对任意的s,fw（0,+<»）,</（s+f）>/（J）+/（0.

62.(陕西省咸阳市高新一中2023-2024学年高二上学期第二次质量检测文科数学试题)设函数

/(X)=x3-3办2+3区的图象与直线12x+y—l=0相切于点(1,—11).

⑴求。、6的值.

(2)讨论函数/(x)的单调性.

63.(2024・甘肃天水•一模)设函数=

⑴若函数Ax)在(0，£|上递增，在&，+勺上递减，求实数〃的值.

(2)讨论在(L+8)上的单调性.

64.(2024•全国)已知函数/5)=尤3-龙？+办+1.

(1)讨论〃x)的单调性；

(2)求曲线y=/⑺过坐标原点的切线与曲线y=/⑺的公共点的坐标.

65.(2024高三上•全国•阶段练习)已知函数/(x)=(尤-2)e'-£f+ax-1(aeR).

⑴若a=2,求曲线y=〃x)在点(0,〃0))处的切线方程;

(2)讨论的单调性.

66.(2024•全国)已知函数/(x)=2lnx+l.

(1)若/(x)<2x+c,求c的取值范围；

(2)设a>0时，讨论函数g(x)=二£⑷的单调性.

x-a

67.(2023•重庆)设函数/(尤)=尤3++-9尤-1(。<0).若曲线)；=/(%)的斜率最小的切线与直线12彳+'=6平

行，求：

(E)。的值;

(0)函数y=/(x)的单调区间.

68.(2024•北京)设函数/(无)=疵-+公,曲线y=在点(2"(2))处的切线方程为y=(e—l)x+4,

(1)求。，6的值；

(2)求Ax)的单调区间.

69.(2024•山东)设函数“x)=ar-(a+l)ln(x+l),其中a2-L,求f(尤)的单调区间.

70.（2024•陕西）设函数/力=「——，其中。为实数.

x~+ax+a

⑴若/（x）的定义域为R，求。的取值范围;

（2）当〃尤）的定义域为R时，求/'（司的单调减区间.

2x-b

71.(2008•北京)已知函数/(x)=，求导函数/'（X）,并确定“X）的单调区间.

d)2

72.(2024•全国)已知函数/(x)=1：+a)ln(l+x).

⑴当a=T时，求曲线y=/（x）在点处的切线方程.

⑵若函数〃x）在（0,+。）单调递增，求。的取值范围.

73.（2024高二下■四川绵阳■期中）已知函数〃以=；X3+：（°一1）/-依+1.

"2"

⑴若函数〃X）的单调递减区间为-§,1,求实数。的值；

（2）若函数/（x）在（2,3）单调递减，求实数a的取值范围.

74.（2024高三•全国•专题练习）已知函数/（无）=%lnx+±（%?R）.若函数＞=/（尤）为增函数，求左的取值范

e

围.

75.（2024高三•全国•专题练习）已知函数/（无）=e-g加-X,若单调递增，求。的值.

76.（2024•贵州贵阳•模拟预测）实数上＞0,/（x）=ln（x+l）,g（x）=-^-.

%।rC

⑴若/（xT）三辰T恒成立，求实数上的取值范围；

（2）讨论-g（x）的单调性并写出过程.

专题12导数的应用-函数的单调性问题5题型分类

彩题如工总

题型5：含参数单调性讨论题型1：利用导函数与原函数的关系确定

原函数图象

题型4：不含参数单调性讨论

专题12导数的应用一函数的单调

性问题5题型分类

题型2：求单调区间

题型3：巳知含量参函数在区间上单调或不

单调或存在单调区间，求参数范围

彩先渡宝库

一、单调性基础知识

1、函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数〉=/（%）在某个区间内可导，如果/'（幻>0,则y=为增函数；如果

rW<0,则y=/（x）为减函数.

2、已知函数的单调性问题

①若Ax）在某个区间上单调递增,则在该区间上有了'（x）N0恒成立（但不恒等于0）；反之,要满足广（无）>0,

才能得出了⑺在某个区间上单调递增；

②若fM在某个区间上单调递减，则在该区间上有f'（x）<0恒成立（但不恒等于0）；反之,要满足f\x）<0,

才能得出Ax）在某个区间上单调递减.

二、讨论单调区间问题

类型一：不含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或恒负,

无需单独讨论的部分）；

（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正

负区间段已知，可直接得出结论）；

（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；

（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；

（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导.

（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；

类型二：含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续

的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或恒负，

无需单独讨论的部分）；

（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；

（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；

（5）导数图象定区间；

（一）

利用导函数与原函数的关系确定原函数图象

原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数〃元）单调递增o导函数7'（X）20（导函数等于0,

只在离散点成立，其余点满足r（无）＞0）;原函数单调递减o导函数/'（x）W0（导函数等于0,只在离散点

成立，其余点满足/（毛）＜0）.

题型1：利用导函数与原函数的关系确定原函数图象

1-1.（天津市西青区为明学校2023-2024学年高三上学期开学测数学试题）已知函数y=/（x）的图象是下列

四个图象之一，且其导函数y=r（x）的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（）

切

【分析】利用导数与函数的单调性之间的关系及导数的几何意义即得.

【详解】因为y=r(x)的图像经过(—1,0)与(1,0)两点，即r(—i)=o,-(1)=0,

由导数的几何意义可知y=/(x)在x=-l与x=l处的切线的斜率为0,故AD错误;

由y=r(x)的图象知，/")>0在(-M)上恒成立，故〃力在上单调递增,

又r(x)在(-L0)上越来越大，在(0」)上越来越小，

所以/(元)在(-1,0)上增长速度越来越快，在(0,1)上增长速度越来越慢，故C错误，B正确.

故选：B.

1-2.(天津市瑞景中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题)设((力是函数〃尤)的导函数，y=f(x)

的图象如图所示，则>=/(力的图象最有可能的是()

求单调区间

1.求函数的单调区间的步骤如下：

（1）求一（X）的定义域

（2）求出/1（X）.

（3）令广（x）=0,求出其全部根，把全部的根在x轴上标出，穿针引线.

（4）在定义域内，令r（x）＞0,解出X的取值范围，得函数的单调递增区间；令/（x）＜0,解出X的取值

范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用"U"、

"或"连接，而应用"和"隔开.

2.导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；

（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类

讨论和数形结合思想的应用.

3.已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围

（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函

数的形式及图象特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线

最小值落在端点等.

（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围.

（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.

题型2:求单调区间

2

2-1.（2024高三下,江西鹰,潭,阶段练习）函数＞=±T+上7+lnx的单调递增区间为（）

X

A.(0,2)B.(0,1)C.(2,+oo)D.(l,+oo)

【答案】D

【分析】求导，求出不等式了＞。的解集即可.

【详解】函数的定义域为（。,+⑹.

X2+22,.21x2+x—2(x+2)(%—1)

y=------FInx=xH---i-lnx,则了=：

XX|一，一必一*♦

令A;y>o0,解得…+◎.

故选：D

22（2024高二下•湖北,期中）函数〃x）=ln（4元2一1）的单调递增区间（）

【答案】A

【分析】根据/彳吊>0,结合函数的定义域，即可得出单调递增区间.

【详解】由可得了<-：或

所以函数/（x）=In（4x2-1）的定义域为［---］u［g,+［.

Q1

求导可得尸（司=逮r］，当/"）>o时，x>0,由函数定义域可知，X>j,

所以函数〃x）=ln（4x2-1）的单调递增区间是［,+，］.

故选：A.

2-3.（2024・上海静安•二模）函数y=xlnx（）

A.严格增函数

B.在上是严格增函数，在+上是严格减函数

C.严格减函数

D.在，上是严格减函数，在+上是严格增函数

【答案】D

【分析】求导后利用导函数的正负判断函数的单调性，并根据严格增减函数的定义即可得到选项.

【详解】解：已知y=xlnx,x>0,则y'=lnx+x,，=lnx+l,

x

令y'=0,gplnx+l=0,解得冗=工，

e

当o<x<：时，y<o,所以在［o,；|上是严格减函数，

当时，y>o,所以在（：,+，）上是严格增函数，

故选：D.

【点睛】导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式；

(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类

讨论和数形结合思想的应用.

题型3:已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围

3-1.(2024•陕西西安•三模)若函数=f-依+lnx在区间(l,e)上单调递增，则。的取值范围是()

A.[3,+co)B.(—8,3]C.[3,e~+l]D.[3,e?—1]

【答案】B

【分析】由导数与函数的单调性的关系结合条件可得((x)上。在(l,e)上恒成立，由此可得在区间

X

(l,e)上恒成立，求函数8(%)=2犬+,。＜工＜6)的值域可得。的取值范围.

【详解】因为函数=依+lnx在区间(l,e)上单调递增，

所以/(无)=2尤在区间(l,e)上恒成立，

即aV2x+工在区间(1,e)上恒成立，

X

令g(x)=2x+—(l＜x＜e),

贝—与「巫"乂＞0，

XXX

所以g(x)在(l,e)上递增,又g⑴=3,

所以aK3.

所以。的取值范围是(-8,3].

故选：B

3-2.(2024・山东济宁•一模)若函数〃尤)=log〃(依-尤且在区间(0/)内单调递增，则。的取值

范围是()

A.[3,+co)B.(1,3]C.°4D.P1

【答案】A

【分析】令〃=屋力=砒-V利用导数求出函数g(x)的单调区间，再分和。<"1两种情况讨论，结

合复合函数的单调性即可得解.

【详解】令〃=8(%)=依-%3,贝I]g<x)=a-3x2,

当X>■或X<-三时,g'(%)<0，当-后时，g[x)>0.

、

小和aa

所以g(%)在g上递减，在卜上递增,

3

7

当。>1时，y=iog“〃为增函数，且函数“X)在区间(0,1)内单调递增,

〃>1

-40,解得/3,

所以

'1>1

此时g(x)在(0,1)上递增，则g(x)>g(o)=0恒成立,

当0<°<1时，y=log"〃为减函数，且函数〃可在区间(0,1)内单调递增,

/-<0

所以V3-,无解,

0<a<l

综上所述，。的取值范围是[3,+8).

故选：A.

r21

3-3.(2024•宁夏银川•三模)若函数/(%)=J-lnx在区间(〃?,〃，+§)上不单调，则实数，"的取值范围为()

2

2

A.0<m<—B.-<m<l

33

21

C.—<m<ID.m>l

3

【答案】B

【详解】首先求出/(x)的定义域和极值点，由题意得极值点在区间(北川+$内，且相>0,得出关于加的

不等式组，求解即可.

【分析】函数，(x)=]-lnx的定义域为(0,+⑹,

且/\x)=x--=土^=(X+DD,

XXX

令/'(©=0,得x=l,

因为fM在区间(m,m+；)上不单调，

m>0

2

所以《1I，解得：-<m<\

3

1m<l<m+—3

故选：B.

3-4.(2024高三上•江苏苏州•期中)若函数〃x)=lnx+ox2_2在区间内存在单调递增区间，则实数“

的取值范围是(

I

A.[-2,+oo)B.——,+ooD.(-2,+oo)

8

【答案】D

【分析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数g(无)=*的最值，即