沪科版八年级数学下学期全册教学案

第1课时二次根式的概念

1.了解二次根式的概念；（重点）

2.理解二次根式有意义的条件；（重点）

3.理解如320）是一个非负数，并会应用g（a2O）的非负性解决实际问题.（难点）

一、情境导入

1.小明准备了一张正方形的纸剪窗花，他算了一下，这张纸的面积是8平方厘米，那

么它的边长是多少？

2.已知圆的面积是6口，你能求出该圆的半径吗？

大家在七年级已经学习过数的开方，现在让我们一起来解决这些问题吧！

二、合作探究

探究点一：二次根式的概念

［类型一］二次根式的识别

画U（2015•要顺期未）下列各式：①②/；©^x2+y2-,@^5；⑤赤，其中

二次根式的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

解析：根据二次根式的概念可直接判断，只有①③满足题意.故选B.

方法总结：判断一个式子是否为二次根式，要看式子是否同时具备两个特征：①含有二

次根号②被开方数为非负数.两者缺一不可.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

［类型二］二次根式有意义的条件

丽代数式宅4r意义，则x的取值范围是（）

A.*》一1且xWlB.尤#1

C.且xW—1D.X2一1

解析：根据题意可知x+l20且x-lWO,解得x2一l且xWL故选A.

方法总结：（1）要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数，而不是所含字母为非

负数；（2）若式子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数；（3）

若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

探究点二：利用二次根式的非负性求值

［类型—］利用被开方数的非负性求字母的值

砸1（1）已知〃，力满足72〃+8+>—1|=0,求2Q—b的值；

（2）已知实数〃，b满足4=1。—2+12-。+3,求a,b的值.

解析：根据二次根式的被开方数是非负数及绝对值的意义求值即可.

一12。+8=0,

解：（1）由题意知J得2〃=—8,b=1,则2〃一b=-9；

［Z?—1=0,

［b—220,

（2）由题意知彳解得6=2.所以〃=0+0+3=3.

三0,

方法总结：①当几个非负数的和为。时，这几个非负数均为0;②当题目中，同时出现

、「和正工时（即二次根式下的被开方数互为相反数），则可得4=0.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

［类型二］与二次根式有关的最值问题

1例El当％=时，A/3X+2+3的值最小,最小值为.

解析：由二次根式的非负性知y3x+220,「・当#3%+2=0即x=—，时，*xj3x+2+3的

2

值最小，此时最小值为3.故答案为一1,3.

方法总结：对于二次根式320（。20）,可知其有最小值0.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题

三、板书设计

本节课的内容是在我们已学过的平

方根、算术平方根知识的基础上，进一步引入二次根式的概念.教学过程中，应鼓励学生积

极参与，并让学生探究和总结二次根式在实数范围内有意义的条件

第2课时二次根式的性质

1.理解和掌握（3）2=〃（〃20）和，？.=同；（重点）

2.能正确运用二次根式的性质1和性质2进行化简和计算,（难点）

一、情境导入

如果正方形的面积是3,那么它的边长是多少？若边长是小，则面积是多少？

如果正方形的面积是如那么它的边长是多少？若边长是小，则面积是多少？你会计算

吗？

二、合作探究

探究点一：利用二次根式的性质进行计算

［类型—］利用(、仿)2=。(。20)计算

画U计算：

⑴(匹)2；(2)(一行)2;

(3)(2S)2；(4)(2底5)2.

解析：⑴可直接运用(g)2=a(a20)计算，(2)(3)(4)在二次根号前有一个因数，先利用

(ab)2=c^b2-,再利用(6)2=a(a20)进行计算.

解：⑴(折)2=0.3；

222

(2)(-V13)=(-l)X(V13)=13;

(3)(2小>=22X(小>=12；

(4)(2出一寸=22X(y/x—yf=4(x—y)=4x—4y.

方法总结：形如("4企)2(m20)的二次根式的化简，可先利用(ab)2=/反，化为

IV•(、佃)2(机20)后再化简.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

［类型二］利用、匠=1。1计算

m计算：

(lh/25；(2~(-1)2；(3)7(一口)2.

解析：利用^^二间进行计算.

解：(1人年=2；

(2)［(V)2=|—||=|；

(3)—M(―n)2=一|-JI|=-n.

方法总结：而=间的实质是求，的算术平方根，其结果一定是非负数.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题

［类型三］利用二次根式的性质化简求值

例❸先化简，再求值：a+qi+2a+42,其中。=—2或3.

解析：先把二次根式化简，再代入求值，即可解答.

解：a+.l+2a+q2=a+『(a+1)2=a+|a+l|,当a=—2时，原式=—2+|—2+1|

=—2+1=—1；当a=3时，原式=3+|3+1|=3+4=7.

方法总结：本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是先化简，再求值.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题

探究点二：利用二次根式的性质进行化简

［类型—］与数轴的综合__________________

(例E1如图所示为a,人在数轴上的位置，化简J(a—b)?+#(a+6)/

g,、b、.

-ioi

解析：由°,b在数轴上的位置确定a<0,a-b<Q,a+6Vo.再根据41=|a|进行化简.

解：由数轴可知一2<a<—1,0<Z?<1,则a—b<0,。+6<0.原式=2|a|—|a—b\-\-\a

+b\=-2a+a—b—（a+b）=­2a—2b.

方法总结：利用而=|a|化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包

括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉

绝对值符号.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题

［类型二］与三角形三边关系的综合________________________

画时已知a、b、c是△ABC的三边长，化简（a+b+c）上—J（b+c—a）?十

N（c—b—a）2.

解析：根据三角形的三边关系得出b+c>。，b-\-a>c,根据二次根式的性质得出含有

绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可.

解：'：a、b、c是△ABC的三边长，.'.b-\-c>a,b-\-a>c,原式=|a+6+c|—\b~\~c—

。|+|。一b-a\—a-\~b~\-c—（b+c—。）+（。+。一c）=a+6+c—c+a+b+a—c—3aJrb-c.

方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系（三角形中任意两边之和大于第三

边），得出不等关系，再结合二次根式的性质进行化简.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题

三、板书设计

二次根式的性质是建立在二次根式概念的基础上，同时又为学习二次根式的运算打下基

础.本节教学始终以问题的形式展开，使学生在教师设问和自己释问的过程中萌生自主学习

的动机和欲望，逐渐养成思考问题的习惯.性质1和性质2容易混淆，教师在教学中应注意

引导学生辨析它们的区别，以便更好地灵活运用

第1课时二次根式的乘法

卷同圜嬴

1.掌握二次根式的乘法运算法则；（重点）

2.会进行二次根式的乘法运算.（重点、难点）

一、情境导入

小颖家有一块长方形菜地，长加m,宽小m,那么这个长方形菜地的面积是多少？

二、合作探究

探究点一：二次根式的乘法法则成立的条件

例U式子寸尤+1,yj2—x--\］(x+1)~(2—x)成立的条件是()

A.尤W2B.尤2一1

C.一1WXW2D.-l<x<2

x+l>0,

解析：根据题意得解得一l《xW2.故选C.

［2-x^O.

方法总结：运用二次根式的乘法法则：，•或=丽(°20,ANO),必须注意被开方数

是非负数这一条件.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

探究点二：二次根式的乘法

［类型一］二次根式的乘法运算

M计算：

(4)2ay/Sab,(—6crby~^3a{a0,b20).

解析：第(1)小题直接按二次根式的乘法法则进行计算，第(2),(3),(4)小题把二次根式

前的系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘.

解：(1)原式=\/§x市=,；

方法总结：二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相

乘，被开方数与被开方数相乘.最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

［类型二］逆用性质3(即、应三也_•也，心0,、N0)进行化简

M化简：

(1)^/196X0.25；(2)

（3^225a6b\a^0,620）.

解析：利用积的算术平方根的性质，把它们化为几个二次根式的积，（2）小题中先确定

k-k口

付万.

解：（1）^/196X0.25=7196X^025=14X0.5=7；

⑵q（―1）x（一招）

（3A/225O6Z?2=V225•迎,布=l5a3b.

方法总结：利用积的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完

全平方数或偶次方进行开平方计算，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符

号进行转化，如（2）小题.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

［类型三］二次根式的乘法的应用

1例E!小明的爸爸做了一个长为了588mcm,宽为、48mcm的矩形木板，还想做一个与

它面积相等的圆形木板，请你帮他计算一下这个圆的半径（结果保留根号）.

解析：根据''矩形的面积=长义宽”“圆的面积=nX半径的平方”进行计算.

解：设圆的半径为rem.

因为矩形木板的面积为7588n><d丽彳=168兀（cm）2,

所以“产=168口，「=2皿^（厂=一2皿^舍去）.

答：这个圆的半径为2A瓦cm.

方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题

三、板书设计

本节课学习了二次根式的乘法和积的算术平方根的性质，两者是可逆的，它们成立的条件都

是被开方数为非负数.在教学中通过情境引入激发学生的学习兴趣，让学生自主探究二次根

式的乘法法则，鼓励学生运用法则进行二次根式的乘法运算

第2课时二次根式的除法

1.会利用商的算术平方根的性质化简二次根式；（重点，难点）

2.掌握二次根式的除法法则，并会运用法则进行计算；（重点、难点）

3.掌握最简二次根式的概念，并会熟练运用.（重点）

一、情境导入

计算下列各题，观察有什么规律?

探究点一：二次根式的除法

画U计算：

嗜⑵器⑶耨;

I___2___

（4小a3b53（一w分行乂々＞0,。＞0）.

解析：（1）直接把被开方数相除；（2）把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；（3）

被开方数相除时，注意约分；（4）系数相除时，把除法转化为乘法，被开方数相除时，写成

商的算术平方根的形式，再化简.

⑵器=淄=苏=认

⑶黑=保=避=2

（4）右/容。5（—即02b6）

=2X~4\[b=~4b^-

方法总结：①二次根式的除法运算，可以类比单项式的除法运算，当被除式或除式中有

负号时，要先确定商的符号；②二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，

转化为一个二次根式；③二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来，灵

活选取合适的方法；④最后结果要化为最简二次根式.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

探究点二：最简二次根式

下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.yfSaB.yfia

D..〃2+Q2b

解析：A选项病中含能开得尽方的因数4,不是最简二次根式；B选项是最简二次根

式；C选项非中含有分母，不是最简二次根式；D选项后即石中被开方数用提公因式法

因式分解后得a2+a2b=a2（]+6）含能开得尽方的因数层，不是最简二次根式.故选B.

方法总结：最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的

因数或因式；②被开方数不含分母.判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同

时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

探究点三：商的算术平方根的性质

［类型—］利用商的算术平方根的性质确定字母的取值

MB若'。三=-^=，则a的取值范围是()

VzayJ2-a

A.a<2B.

C.0W〃V2D.g0

pz2O,

解析：根据题意得解得0W〃V2.故选C.

［2—〃>0,

方法总结：运用商的算术平方根的性质：化=曲>0,620)，必须注意被开方数是

非负数且分母不等于零这一条件.

［类型二］利用商的算术平方根的性质化简二次根式

M化简：

(1)

(2)yJ^^(a>0,b>Q,c>0).

解析：按商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根.

方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数

不含分母，从而化为最简二次根式.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题

探究点四：二次根式除法的应用

〔例❺已知某长方体的体积为3(N15cm3,长为陋5cm,宽为［T^cm,求长方体的高.

解析：因为“长方体的体积=长乂宽X高”，所以“高=长方体的体积乂长X宽)、代

入计算即可.

解：长方体的高为

3(h/104-(^20x715)=3(hJ段石=3叭倡=55(cm).

方法总结：本题也可以设高为x,根据长方体体积公式建立方程求解.

三、板书设计

二次根式的除法是建立在二次根式乘法的基础上，所以在学习中应侧重于引导学生利用与学

习二次根式乘法相类似的方法学习，从而进一步降低学习难度，提高学习效率

第1课时二次根式的加减

1.经历探索二次根式的加减运算法则的过程，让学生理解二次根式的加减法则;

2.掌握二次根式的加减运算.(重点、难点)

一、情境导入

计算：

(l)2x~5x；(2)3/l/+2〃2.

上述运算实际上就是合并同类项，如果把题中的X换成小，层换成小，这时上述两小

题就成为如下题目：

计算：

⑴2V5小；⑵3小一小+2巾.

这时怎样计算呢？

二、合作探究

探究点一：同类二次根式

画@下列二次根式中与也是同类二次根式的是()

A.V12B.^|

解析：选项A中，恒=2小与正被开方数不同，故与也不是同类二次根式；选项B

中，\?=坐与也被开方数不同，故与也不是同类二次根式；选项c中，与也被

开方数不同，故与也不是同类二次根式；选项D中，行=3也与也被开方数相同，故与表

是同类二次根式.故选D.

方法总结：要判断两个二次根式是否是同类二次根式，根据二次根式的性质，把每个二

次根式化为最简二次根式，如果被开方数相同，这样的二次根式就是同类二次根式.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题

探究点二：二次根式的加减

［类型一］二次根式的加法或减法

(1)78+^32;(2)2\/|+3\|;

(3)4^48-3^75;(4)18^|-|V96.

解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并.

解：⑴原式=2啦+4也=(2+4地=6也；

(2)原式=1\何+|\用=(/+/版=坐

(3)原式=16$—15小=(16—15)小=小；

(4)原式=3加一6#=(3—6)祸=—3^/6.

方法总结：二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，合并同类二次根式可以类比合

并同类项进行，不是同类二次根式的不能合并.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

［类型二］二次根式的加减混合运算

M计算：

Q而*雪;

⑵|V「嬉+

(3)3^/1|-^45+2^20-1760；

(4师-241一(帽一/).

解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并.

解：(1)原式=2，§—小一小=0；

(2)原式=3y/x~^x+3y［x=5y/x；

(3)原式=而一3小+4小一仃=小；

(4)原式=乎一|\份一半+54=坐+竽小.

方法总结：二次根式的加减混合运算步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②运

用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一起；③把同类二次根式的系数相加减，被开方

数不变.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

［类型三］二次根式加减法的应用

〔例11一个三角形的周长是(24+3也)cm,其中两边长分别是(小+也)cm,(34一

2限)cm,求第三边长.

解析：第三边长等于(2小+3地)一(小+也)一(34一2V5),再去括号，合并同类二次

根式.

解：第三边长是(2小+3也)一(小+陋)一(34—2表)=2小+3也一小一也—36+

2吸=4陋—2小(cm).

方法总结：由三角形周长的意义可知，三角形的周长减去已知两边的长，可得第三边的

长.解决问题的关键在于把实际问题转化为二次根式的加减混合运算.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题

三、板书设计

通过合并同类项引入二次根式的加减法，让学生类比学习.引导学生归纳总结出二次根式加

减运算的两个关键步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②合并同类二次根式.并让

学生按步骤解题，养成规范解题的良好习惯.教学过程中，注重数学思想方法的渗透（类比），

培养学生良好的思维品质

第2课时二次根式的混合运算

卷同圜嬴

1.了解二次根式的混合运算顺序；

2.会进行二次根式的混合运算.（重点、难点）

一、情境导入

如果梯形的上、下底边长分别为2吸cm,4小cm,高为加cm,那么它的面积是多少？

毛毛是这样算的：

梯形的面积:;（2陋+46）义#=（陋+2小）X#=^X加+2仍义优=爽蒜+2标

=2小+6&（cn?）.

他的做法正确的吗？

二、合作探究

探究点一：二次根式的混合运算

［类型一］二次根式的混合运算

（例n计算：

⑴通他一途义皿+@；

解析：（1）先算乘除，再算加减；（2）先计算第一部分，把除法转化为乘法，再化简.

解：⑴原式一加+455=4—加+2加=4+,；

（2）原式=X—5啦=X一5镜=乎X=坐一5巾=—名

也

方法总结：二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算

加减，如果有括号就先算括号里面的.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题

［类型二］运用乘法公式进行二次根式的混合运算

M计算：

⑴（小+$）*-$）；_

（2）（3$——（3W+2小产

解析：（1）用平方差公式计算；（2）逆用平方差公式计算.

解：⑴（小+小）（小一小）=（小>―（$）2=5—3=2；

（2）（3啦—2小）2-（30+2小）2=（31—2小+3知+25）（3回—25—31一2小尸一

24^6.

方法总结：多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，计算时应先观察式子

的特点，能用乘法公式的用乘法公式计算.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题

［类型三］二次根式的化简求值

先化简，再求值：中乒荐者（x>0,y>0）,其中尤=小+1,产小T.

y/xy-ryx-y］xy

解析：首先根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，然后再代值计算.

物百十F（市+⑴）：6（也一十）#」“尤+y

牛.，、工y［y（5+毋）yjx（5一丁）y/yy［xyfxy'

"."x=\［3+l,尸小-1,.,.x+y=2-\/3,xy=3—l=2,.,.原式加.

方法总结：在解答此类代值计算题时，通常要先化简再代值，如果不化简，直接代入,

虽然能求出结果，但往往导致烦琐的运算.化简求值时注意整体思想的运用.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

［类型四］二次根式混合运算的应用

画H一个三角形的底为6小+2啦，这条边上的高为3小一小,求这个三角形的面积.

解析：根据三角形的面积公式进行计算.

解：这个三角形的面积为京64+2陋）（3小一陋）=3*2义（3S+陋）（3小一也）=

（3小/一（也产=27—2=25.

方法总结：根据题意列出关系式，计算时注意观察式子的特点，选取合适的方法求解,

能应用公式的尽量用公式计算.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题

探究点二：二次根式的分母有理化

［类型一］分母有理化

M计算：

2VT5+V12

；

\/3-^2^3+-\/2

-A/3+A/2y/3~y/2'

解析：（1）把分子、分母同乘以出，再约分计算；（2）把E+M的分子、分母同乘以作一

/，把*士巧的分子、分母同乘以小+陋，再运用公式计算.

2VT5+V12（2行+店）X小2小5+2-r-r-

解：⑴^2-也X也=2=啊+亚；

小也小+姬（小—地）2（V§+也）25-2#

小+也小—也（小+也）（事—也）（小一也）（4+也）3-2

=5-2^6+5+2^6=10.

方法总结：把分母中的根号化去就是分母有理化，分母有理化时，分子、分母应同乘以

一个适当的式子，如果分母只有一个二次根式，则乘以这个二次根式，使得分母能写成WS

的形式；如果分母有两项，分子、分母乘以一个二项式，使得能运用平方差公式计算.如分

母是W+或，则分子、分母同乘以也一福.

［类型二］分母有理化的逆用

画画比较正一4痴与皿一4名的大小

解析：把M石一遮的分母看作“1”，分子、分母同乘以仃+加；把Mm一的分母

看作“1”，分子、分母同乘以｛痴+仃，再根据“分子相同的两个正分数比较大小，分母大

的反而小”，得到它们的大小关系.

V14-V13=

解：…考+"=帚忖

即嗡+鹿+行）=四；行...仃+标＞标十代＞0,

•••局k局行即行一5一仃•

方法总结：把分母为“1”的式子化为分子为“1”的式子，根据分母大的反而小可以比较两

个数的大小.

三、板书设计

二次根式的混合运算可类比整式的

运算进行，注意运算顺序，最后的结果应化简.引导学生勇于尝试，加强训练，从解题过程

中发现问题，解决问题.本节课的易错点是运算错误，要求学生认真细心，养成良好的习惯。

17.1一元二次方程

1.了解一元二次方程及相关概念；（重点）

2.能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型.（难点）

一、情境导入

一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m,苗圃的长和宽各是多少？

设苗圃的宽为xm,则长为（x+2）m.

根据题意，得尤（尤+2尸120.

所列方程是否为一元一次方程？

（这个方程便是即将学习的一元二次方程.）

二、合作探究

探究点一：一元二次方程的概念

［类型—］一元二次方程的识别

硒1下列方程中，是一元二次方程的是（填入序号即可）.

®^一y=0；②2X2—L3=0；@^2=3；

④r=2+3彳；@x3—x+4=0；⑥P=2；

@x1+3x---0；@ylx2—x—2.

解析：由一元二次方程的定义知③⑤⑦⑧不是.答案为①②④⑥.

方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再对它

进行整理，若能整理为加+Zzr+c=0（a,b,c为常数,a=0）的形式，则这个方程就是一元

二次方程.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题

［类型二］根据一元二次方程的概念求字母的值

而a为何值时，下列方程为一元二次方程？

（l）czx2-x=2x2—ox-3；

（2）（a-l）x同+1+2元-7=0.

解析：（1）将方程转化为一般形式，得（。-2）/+（〃-1）元+3=0,当a—2W0,即

时，原方程是一■元二次方程；（2）由⑷+1=2,且a—1W0知，当。=—1时，原方程是一■元

二次方程.

解：（1）将方程整理得（a—2）炉+（“-l）x+3=0,'."a—2H0,.当aW2时，原方程

为一元二次方程；

(2)：|a|+l=2,.,.a=±l.当°=1时，“一1=0,不合题意，舍去....当a=-1时，原

方程为一元二次方程.

方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2,

列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

［类型三］一元二次方程的一般形式

m把下列方程转化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和

常数项.

(l)xQ—2)=4/—3x；

(3)关于尤的方程mj^-nx+mx+w^—q—p^n+n^O).

解析：首先对上述三个方程进行整理，通过“去分母”“去括号”“移项”“合并同类

项”等步骤将它们化为一般形式，再分别指出二次项系数、一次项系数和常数项.

解：(1)去括号，得2x=4%2—3尤.移项、合并同类项，得3/—x=0.二次项系数为3,

一次项系数为一1,常数项为0；

(2)去分母，得2f—35+1)=3(—x—1).去括号、移项、合并同类项，得2f=0.二次

项系数为2,一次项系数为0,常数项为0；

(3)移项、合并同类项，得(“z+zON+Sz—a)x+p—q=0.二次项系数为m+n,一次项系

数为m-n,常数项为p-q.

方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，

如果在一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘一1,使二次项系数变为

正数；

(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；

(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项以，则b=0；若没有出现常数

项c,则c=0.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题

探究点二：根据实际问题建立一元二次方程模型

画H如图，现有一张长为19cm,宽为15cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边

长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方

程.

解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用

长方形面积公式可列出方程.

解：设需要剪去的小正方形边长为xcm,则纸盒底面的长方形的长为(19—2x)cm,宽为

(15—2r)cm.

根据题意，得(19—2x)(15—2x)=81.整理得V—17尤+51=0(0<%<竽).

方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找

出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程.在列出方程后，还应根据实际需求,

注明自变量的取值范围.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题

探究点三：一元二次方程的根

己知关于x的一元二次方程r+zrax+BuO的一个解是x=l,求相的值.

解析：将方程的解代入原方程，可使方程的左右两边相等.本题将x=l代入原方程，

可得关于m的一元一次方程，解得m的值即可.

解：根据方程的解的定义，将x=l代入原方程，得F+znX1+3=0,解得MI=-4,

即m的值为-4.

方法总结：方程的根(解)一定满足原方程，将根(解)的值代入原方程，即可得到关于未

知系数的方程，通过解方程可以求出未知系数的值，这种方法叫做根的定义法.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题

三、板书设计

本节课通过实例让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程

的模型思想.学生对一元二次方程的一般形式比较容易理解，但是很容易忽视a

=0的时候该方程不是一元二次方程，需要在教学过程中加以强调。

1.配方法

卷同圜嬴

1.学会用直接开平方法解形如(x+〃)2="(W20)的一元二次方程；(重点)

2.理解配方法的思路，能熟练运用配方法解一元二次方程.(难点)

一、情境导入

一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度/i(m)和下落时间尤(s)大致有如下关

系：h=5好,问石头经过多长时间落到地面？

二、合作探究

探究点一：用直接开平方法解一元二次方程

画II用直接开平方法解下列方程：

(1)/-16=0;(2)3%2-27=0；

(3)(x—2)2=9;(4)(2y—3)2=16.

解析：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边

是非负数的形式，再根据平方根的定义求解.注意开方后，等式的右边取“正、负”两种情

况.

解：(1)移项，得炉=16.根据平方根的定义，得尤=±4,即的=4,%2=-4；

⑵移项，得3f=27.两边同时除以3,得/=9.根据平方根的定义，得彳=±3,即/=3,

X2=-3；

(3)根据平方根的定义，得x-2=±3,即尤-2=3或x—2=—3,即为=5,X2——l;

71

(4)根据平方根的定义，得2y—3=±4,即2y—3=4或2y—3=—4,即凶=］,>2=-1

方法总结：直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，它的理论依据是平方根的

定义，它的可解类型有如下几种：①小二优。》。)；②(尤+a)2=b(620)；③(ar+b)2=c(c»0)；

④(办+6)2=(cx+疗(|。|WId).

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题

探究点二：用配方法解一元二次方程

［类型—］用配方法解一元二次方程

画国用配方法解下列方程：

(I)%2—2%—35=0；

(2)3/+8*-3=0.

解析：当二次项系数是1时，先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系

数一■半的平方，把左边配方成完全平方式，即为(犬+7")2=〃(〃20)的形式，再用直接开平方

法求解；当二次项系数不是1时，先将二次项系数化为1,再用配方法解方程.

解:(1)移项，得一一2尤=35.配方,得%2—2%+俨=35+12,即1/=36.直接开平方，

得x—1=±6.所以原方程的根是处=7,尬=—5；

(2)方程两边同时除以3,得/+至一1=0.移项，得f+|r=l•配方，得9+至+舄)2=1

445451

+卬2,即(X+Q)2=(1)2.直接开平方，得x+g=±W.所以原方程的根是Xl=§,X2=-3.

方法总结：运用配方法解一元二次方程的关键是先把一元二次方程转化为二次项系数为

1的一元二次方程，然后在方程两边同时添加常数项，使其等于一次项系数一半的平方.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题

［类型二］利用配方法求代数式的值

1例❸已知〃2—34+。2—5+布=0,求4—4班的值.

解析：观察方程可以知道，原方程可以用配方法转化为两个数的平方和等于。的形式，

得到这两个数都为0,从而可求出“，匕的值，再代入代数式计算即可.

解：原等式可以写成：(〃一力32+3—312=0.

3131

.,.(2—2=0,解得〃=］，b=］.

3ni

；・a—4巾=豆-4X、4=一］.

方法总结：这类题目主要是配方法和平方的非负性的综合应用，通过配方把等式转化为

两个数的平方和等于0的形式是解题的关键.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第11题

［类型三］利用配方法求代数式的最值或判定代数式的取值范围

画II请用配方法说明：不论x取何值，代数式X2—5尤+7的值恒为正.

解析：本题是要运用配方法将代数式化为一个平方式加上一个常数的形式.

M：Vx2—5x+7=x2—5x+(1)2+7—(^)2=(x—1)2+^,而(x-分二。,

533

•,•仕一/+彳》不

...代数式X2—5元+7的值恒为正.

方法总结：对于代数式是一个关于x的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采

用配方法，将原代数式变形为一个完全平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方是一个

非负数，就可以求出原代数式的最值.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题

三、板书设计

本节课通过观察、思考、对比使学生掌握一元二次方程的解法：直接开平方法和配方法，领

会降次一转化的数学思想.经历从简单到复杂的过程，从而培养学生从不同的角度进行探究

的习惯和能力

2.公式法

卷同圜嬴

1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；(难点)

2.会用公式法解一元二次方程；(重点)

一、情境导入

如果一元二次方程是一般形式加+"+。=0(〃#0),你能否用配方法求出它们的两根,

请同学独立完成下面这个问题.

问题：已知加+H+^=。5/。)且Z?2—4〃c20,试推导它的两个根xi=

2a

Xi—

2a

二、合作探究

探究点一：一元二次方程的求根公式

［例U方程3f—8=7尤化为一般形式是,其中a=,b—,

c=,方程的根为.

解析：将方程移项化为3f—7犬-8=0.其中。=3,b=—7,。=一8.因为〃-4改=49一

7±7145

4X3X(-8)=145>0,代入求根公式可得尤=-I-.故答案为3/一7k一8=0,3,一7,

_Q7±V145

o,x-$-

方法总结：一元二次方程办2+bx+c=0(aW0)的根是由方程的系数a,b,。确定的，只

要确定了系数”，6,c的值，代入公式就可求得方程的根.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

探究点二：用公式法解一元二次方程

画国用公式法解下列方程：

(l)-3x2-5x+2=0；

(2)2f+3x+3=0；

(3)3/—1"+3=0.

解：⑴将一31一5x+2=0两边同乘以一1得3x2+5x-2=0.；a=3,b=5,c=~2,：.

—5±\/49—5+71

&2-4ac=52—4X3X(—2)=49>0,.,.尤=一-=-7-,.,.无1=耳，％2=-2；

ZXjOJ

(2)：a=2,b=3,c=3,AZ?2-4ac=32-4X2X3=9-24=-15<0,原方程没有实

数根；

,,12±V108

.,.尤=-；

(3)"."a—3,b——12,c—3,...Zr—4ac=(-12)--4X3X3=108,Z^7X7j-=

.".xi—2-\-yj3,无2=2一小.

方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中

a,b,c的值，再求出及一船。的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其

没有实数根).

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题

三、板书设计

用公式法解一

元二次方程

经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索

求根公式，通过对公式的推导，认识一元二次方程的求根公式适用于所有的一元

二次方程.体会数式通性，感受数学的严谨性和数学结论的确定性.提高学生的

解方程的能力。

3.因式分解法

暮冒圜源

i.理解并掌握用因式分解法解方程的依据；(难点)

2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.(重点)

一、情境导入

我们知道"=0,那么。=0或6=0,类似的解方程(x+l)(x-l)=o时，可转化为两个

一元一次方程x+1=0或尤-1=0来解，你能求(x+3)(x—5)=0的解吗？

二、合作探究

探究点：用因式分解法解一元二次方程

［类型—］利用提公因式法分解因式解一元二次方程

画U用因式分解法解下列方程：

(iM+SxuO；

(2)(%—5)。-6)=x—5.

解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的多项式，可用因式分解法.

解：(1)原方程转化为x(x+5)=0,

所以尤=0或x+5=0,

所以原方程的解为阳=0，&=-5；

(2)原方程转化为(x—5)(x—6)—(无一5)=0,

所以。-5)［。-6)—1］=0,

所以。一5)(尤一7)=0,

所以x—5=0或x—7=0,

所以原方程的解为xi=5,&=7.

方法总结：利用提公因式法时先将方程右边化为0,观察是否有公因式，若有公因式,

就能快速分解因式求解.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

［类型二］利用公式法分解因式解一元二次方程

画国用公式法分解因式解下列方程:

(l)f—6x=-9；

(2)4(X-3)2-25(X—2)2=0.

解：(1)原方程可变形为x2—6x+9=0,

则(尤一3)2=0,

Ax—3=0,

原方程的解为/=尬=3；

(2)[2。-3)?一[5(尤一2)『=0,

[2(尤-3)+5(x—2)][2(%—3)—5(x—2)]=0,

(7尤一16)(—3彳+4)=0,

，7x—16=0或一3尤+4=0,

...原方程的解为尤1=号16，X2==4

方法总结：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0;②将

方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方

程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题(3)(4)小题

三、板书设计

本节课通过学生自学探讨一元二次方程的解法，使他们知道分解因式是一元二次方程中应用

较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度.牢牢把握用因式

分解法解一元二次方程的一般步骤，通过练习加深学生用因式分解法解一元二次方程的方法

17.3一元二次方程根的判别式

善用)圜源

i.理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一

元二次方程根的情况；(重点、难点)

2.通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数

学思想，提高观察、分析、归纳的能力.

教

一、情境导入

1.你能说出我们共学过哪几种解一元二次方程的方法吗?

2.能力展示：分组比赛解方程.

(1)X2+4—4X；

(2)x2+2x—3；

(3)/—x+2=0.

3.发现问题

观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？