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文档简介
河南省许昌市2024年高三5月高考模拟考试(一)数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数为虚数单位),则z的虚部为()A.2 B. C.4 D.2.在棱长均相等的正三棱柱中,为的中点,在上,且,则下述结论:①;②;③平面平面:④异面直线与所成角为其中正确命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.43.我国宋代数学家秦九韶(1202-1261)在《数书九章》(1247)一书中提出“三斜求积术”,即:以少广求之,以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.其实质是根据三角形的三边长,,求三角形面积,即.若的面积,,,则等于()A. B. C.或 D.或4.已知等比数列的各项均为正数,设其前n项和,若(),则()A.30 B. C. D.625.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:,,,,则按照以上规律,若具有“穿墙术”,则()A.48 B.63 C.99 D.1206.已知是双曲线的两个焦点,过点且垂直于轴的直线与相交于两点,若,则的内切圆半径为()A. B. C. D.7.已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是(
)A. B. C. D.8.执行如图所示的程序框图,则输出的的值是()A.8 B.32 C.64 D.1289.已知集合,集合,那么等于()A. B. C. D.10.若复数,则()A. B. C. D.2011.《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤;斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现在有一根金箠,长五尺在粗的一端截下一尺,重斤;在细的一端截下一尺,重斤,问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设,假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列,则从粗端开始的第二尺的重量是()A.斤 B.斤 C.斤 D.斤12.已知函数,,的零点分别为,,,则()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知复数,其中为虚数单位,若复数为纯虚数,则实数的值是__.14.已知复数,其中为虚数单位,则的模为_______________.15.如图,在平面四边形ABCD中,|AC|=3,|BD|=4,则(AB16.已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为512,其展开式中第四项的系数__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图所示,直角梯形中,,,,四边形为矩形,.(1)求证:平面平面;(2)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出线段的长,若不存在,请说明理由.18.(12分)某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败.晋级成功晋级失败合计男16女50合计(1)求图中的值;(2)根据已知条件完成下面列联表,并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关?(3)将频率视为概率,从本次考试的所有人员中,随机抽取4人进行约谈,记这4人中晋级失败的人数为,求的分布列与数学期望.(参考公式:,其中)0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02419.(12分)如图,矩形和梯形所在的平面互相垂直,,,.(1)若为的中点,求证:平面;(2)若,求四棱锥的体积.20.(12分)已知函数,曲线在点处的切线方程为.(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)若,求证:对于任意,.21.(12分)改革开放年,我国经济取得飞速发展,城市汽车保有量在不断增加,人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识,某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各人,进行问卷测评,所得分数的频率分布直方图如图所示在分以上为交通安全意识强.求的值,并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率;已知交通安全意识强的样本中男女比例为,完成下列列联表,并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关;安全意识强安全意识不强合计男性女性合计用分层抽样的方式从得分在分以下的样本中抽取人,再从人中随机选取人对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查,求至少有人得分低于分的概率.附:其中22.(10分)已知四棱锥中,底面为等腰梯形,,,,丄底面.(1)证明:平面平面;(2)过的平面交于点,若平面把四棱锥分成体积相等的两部分,求二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
对复数进行乘法运算,并计算得到,从而得到虚部为2.【详解】因为,所以z的虚部为2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部的概念,计算过程要注意.2、B【解析】
设出棱长,通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行,推出①的正误;判断是的中点推出②正的误;利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误;建立空间直角坐标系求出异面直线与所成角判断④的正误.【详解】解:不妨设棱长为:2,对于①连结,则,即与不垂直,又,①不正确;对于②,连结,,在中,,而,是的中点,所以,②正确;对于③由②可知,在中,,连结,易知,而在中,,,即,又,面,平面平面,③正确;以为坐标原点,平面上过点垂直于的直线为轴,所在的直线为轴,所在的直线为轴,建立如图所示的直角坐标系;,,,,,;,;异面直线与所成角为,,故.④不正确.故选:.【点睛】本题考查命题的真假的判断,棱锥的结构特征,直线与平面垂直,直线与直线的位置关系的应用,考查空间想象能力以及逻辑推理能力.3、C【解析】
将,,,代入,解得,再分类讨论,利用余弦弦定理求,再用平方关系求解.【详解】已知,,,代入,得,即,解得,当时,由余弦弦定理得:,.当时,由余弦弦定理得:,.故选:C【点睛】本题主要考查余弦定理和平方关系,还考查了对数学史的理解能力,属于基础题.4、B【解析】
根据,分别令,结合等比数列的通项公式,得到关于首项和公比的方程组,解方程组求出首项和公式,最后利用等比数列前n项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为,由题意可知中:.由,分别令,可得、,由等比数列的通项公式可得:,因此.故选:B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用,考查了数学运算能力.5、C【解析】
观察规律得根号内分母为分子的平方减1,从而求出n.【详解】解:观察各式发现规律,根号内分母为分子的平方减1所以故选:C.【点睛】本题考查了归纳推理,发现总结各式规律是关键,属于基础题.6、B【解析】
首先由求得双曲线的方程,进而求得三角形的面积,再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解.【详解】由题意将代入双曲线的方程,得则,由,得的周长为,设的内切圆的半径为,则,故选:B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质,考查三角形的内心的概念,考查了转化的思想,属于中档题.7、A【解析】=,当时时,单调递减,时,单调递增,且当,当,
当时,恒成立,时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,,即.8、C【解析】
根据给定的程序框图,逐次计算,结合判断条件,即可求解.【详解】由题意,执行上述程序框图,可得第1次循环,满足判断条件,;第2次循环,满足判断条件,;第3次循环,满足判断条件,;第4次循环,满足判断条件,;不满足判断条件,输出.故选:C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出,其中解答中认真审题,逐次计算,结合判断条件求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.9、A【解析】
求出集合,然后进行并集的运算即可.【详解】∵,,∴.故选:A.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法,考查集合并集的概念和运算,属于基础题.10、B【解析】
化简得到,再计算模长得到答案.【详解】,故.故选:.【点睛】本题考查了复数的运算,复数的模,意在考查学生的计算能力.11、B【解析】
依题意,金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列,则,由此利用等差数列性质求出结果.【详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为,设首项,则,公差,.故选B【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.12、C【解析】
转化函数,,的零点为与,,的交点,数形结合,即得解.【详解】函数,,的零点,即为与,,的交点,作出与,,的图象,如图所示,可知故选:C【点睛】本题考查了数形结合法研究函数的零点,考查了学生转化划归,数形结合的能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、2【解析】
由题,得,然后根据纯虚数的定义,即可得到本题答案.【详解】由题,得,又复数为纯虚数,所以,解得.故答案为:2【点睛】本题主要考查纯虚数定义的应用,属基础题.14、【解析】
利用复数模的计算公式求解即可.【详解】解:由,得,所以.故答案为:.【点睛】本题考查复数模的求法,属于基础题.15、-7【解析】
由题意得AB+【详解】由题意得ABBC+∴AB+【点睛】突破本题的关键是抓住题中所给图形的特点,利用平面向量基本定理和向量的加减运算,将所给向量统一用AC,16、【解析】
先令可得其展开式各项系数的和,又由题意得,解得,进而可得其展开式的通项,即可得答案.【详解】令,则有,解得,则二项式的展开式的通项为,令,则其展开式中的第4项的系数为,故答案为:【点睛】此题考查二项式定理的应用,解题时需要区分展开式中各项系数的和与各二项式系数和,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)存在,长【解析】
(1)先证面,又因为面,所以平面平面.(2)根据题意建立空间直角坐标系.列出各点的坐标表示,设,则可得出向量,求出平面的法向量为,利用直线与平面所成角的正弦公式列方程求出或,从而求出线段的长.【详解】解:(1)证明:因为四边形为矩形,∴.∵∴∴∴面∴面又∵面∴平面平面(2)取为原点,所在直线为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系.如图所示:则,,,,,设,;∴,,设平面的法向量为,∴,不防设.∴,化简得,解得或;当时,,∴;当时,,∴;综上存在这样的点,线段的长.【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用,考查利用线面所成角求参数问题,是几何综合题,考查空间想象力以及计算能力.18、(1);(2)列联表见解析,有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关;(3)分布列见解析,=3【解析】
(1)由频率和为1,列出方程求的值;(2)由频率分布直方图求出晋级成功的频率,计算晋级成功的人数,填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论;(3)由频率分布直方图知晋级失败的频率,将频率视为概率,知随机变量服从二项分布,计算对应的概率值,写出分布列,计算数学期望.【详解】解:(1)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,可知,解得;(2)由频率分布直方图知,晋级成功的频率为,所以晋级成功的人数为(人),填表如下:晋级成功晋级失败合计男163450女94150合计2575100假设“晋级成功”与性别无关,根据上表数据代入公式可得,所以有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关;(3)由频率分布直方图知晋级失败的频率为,将频率视为概率,则从本次考试的所有人员中,随机抽取1人进行约谈,这人晋级失败的概率为0.75,所以可视为服从二项分布,即,,故,,,,.所以的分布列为:01234数学期望为.或().【点睛】本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题,属于中档题.若离散型随机变量,则.19、(1)见解析(2)【解析】
(1)设EC与DF交于点N,连结MN,由中位线定理可得MN∥AC,故AC∥平面MDF;(2)取CD中点为G,连结BG,EG,则可证四边形ABGD是矩形,由面面垂直的性质得出BG⊥平面CDEF,故BG⊥DF,又DF⊥BE得出DF⊥平面BEG,从而得出DF⊥EG,得出Rt△DEG~Rt△EFD,列出比例式求出DE,代入体积公式即可计算出体积.【详解】(1)证明:设与交于点,连接,在矩形中,点为中点,∵为的中点,∴,又∵平面,平面,∴平面.(2)取中点为,连接,,平面平面,平面平面,平面,,∴平面,同理平面,∴的长即为四棱锥的高,在梯形中,,∴四边形是平行四边形,,∴平面,又∵平面,∴,又,,∴平面,.注意到,∴,,∴.【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解,注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法:求一些不规则几何体的体积时,常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法:等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三棱锥的高时,这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计算得到高的数值.20、(Ⅰ),(Ⅱ)见解析【解析】
(1)根据导数的运算法则,求出函数的导数,利用切线方程求出切线的斜率及切点,利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上,列出方程组,求出,值;(2)首先将不等式转化为函数,即将不等式右边式子左移,得,构造函数并判断其符号,这里应注意的取值范围,从而证明不等式.【详解】解:(1)由于直线的斜率为,且过点,故即解得,.(2)由(1)知,所以.考虑函数,,则.而,故当时,,所以,即.【点睛】本题考查了利用导数求切线的斜率,利用函数的导数研究函数的单调性、和最值问题,以及不等式证明问题,考查了分析及解决问题的能力,其中,不等式问题中结合构造函数实现正确转换为最大值和最小值问题是关键.21、,概率为;列联表详见解析,有的把握认为交通安全意识与性别有关;.【解析】
根据频率和为列方程求得的值,计算得分在分以上的频率即可;根据题意填写列联表,计算的值,对照临界值得出结论;用分层抽样法求得抽取各分
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