7 4平行线的性质 练习题 北师大版八年级数学上册（含答案）

《7.4平行线的性质》一．打卡练习11．如图，将含30°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，已知∠A＝30°，∠1＝40°，则∠2的度数为．2．如图，如图，已知直线a∥b，∠1＝22°，∠2＝66°．则∠3等于．3．如图，直线a∥b，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若∠1＝24°，则∠2等于度．4．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）AD与EC平行吗？请说明理由．（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝76°，求∠FAB的度数．5．已知：直线a∥b，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC交于点E．（1）在如图1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数（提示：可过点E作EG∥AB）；（2）在如图2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF交于点F，当∠ABC＝64°，∠ADC＝72°时，求∠BFD的度数．（3）如图3，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于点F，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，用含有α，β的代数式表示∠BFD的补角．（直接写出结果即可）二．打卡练习26．如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，点P在AB与CD之间，∠EPF＝100°，则∠PEB﹣∠PFC＝°．7．如图所示，把一个长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点D′，C′位置，D'恰好在BC上，若∠EFB＝65°，则∠ED′F等于°．8．如图，直线l1∥l2，∠CAB＝124°，∠ABD＝86°，则∠1+∠2＝．9．已知如图，DE⊥AC，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．10．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数．（3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．三．打卡练习311．如图，ABCD为一长方形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A'，D'对应，若∠2＝2∠1，则∠BEF＝°．12．如图，已知AB∥CD，BC∥EF，若∠1＝60°，则∠2＝°．13．将一块含30°角的直角三角板如图放置，若a∥b，∠2＝30°，则∠1＝°．14．如图，直线AB与CD，AE与FD均被直线BC所截，已知∠1＝∠2．（1）求证：AE∥DF；（2）若∠A＝∠D，∠B＝30°，求∠C的度数．15．已知：点E在直线AB上，点F在直线CD上，AB∥CD．（1）如图1，连EF，EP平分∠AEF，FP平分∠CFE，求∠P的度数．（2）如图2，若∠EGF＝160°，射线EH，FH分别在∠AEG，∠CFG的内部，且∠EHF＝40°，当∠AEG＝4∠AEH时，求的值．（3）如图3，在（1）的条件下，在直线CD上有一动点M（点M不与点F重合），EN平分∠MEF，若∠PEN＝α（0°＜α＜90°），请直接写出∠EMF＝（结果用含α的式子表示）．四．打卡练习416．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝50°，∠2＝．17．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝135°，∠CDE＝70°，则∠BCD＝．18．某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，已知第一次转过的角度，第三次转过的角度，则第二次拐弯角（∠1）的度数是．19．如图，点E，F分别在直线AB，CD上，连接AD，CE，BF，AD分别与CE，BF相交于点G，H，∠1＝∠2，∠AEC＝∠BFD．（1）求证：BF∥CE；（2）求证：∠BAD＝∠ADC．20．已知，直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P是直线AB与CD外一点，连接PE、PF．（1）如图1，若∠AEP＝45°，∠DFP＝105°，求∠EPF的度数；（2）如图2，过点E作∠AEP的角平分线EM交FP的延长线于点M，∠DFP的角平分线FN交EM的反向延长线交于点N，若∠M与3∠N互补，试探索直线EP与直线FN的位置关系，并说明理由；（3）若点P在直线AB的上方且不在直线EF上，作∠DFP的角平分线FN交∠AEP的角平分线EM所在直线于点N，请直接写出∠EPF与∠ENF的数量关系．

参考答案一．打卡练习11．解：如图，∵EF∥MN，∠1＝40°，∴∠1＝∠3＝40°，∵∠A＝30°，∴∠2＝∠A+∠3＝70°，故答案为：70°．2．解：如图所示，过点C作CD∥a，∵a∥b，∴CD∥a∥b，∴∠ACD＝∠1＝22°，∠BCD＝∠2＝66°，∴∠3＝∠ACD+∠BCD＝88°．故答案为：88°．3．解：∵a∥b，∴∠BAC＝∠2，∵∠BAC＝∠1+∠DAC＝24°+90°＝114°，∴∠2＝114°．故答案为：114．4．（1）AD与EC平行，证明：∵∠1＝∠BDC，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠ADC（两直线平行，内错角相等），∵∠2+∠3＝180°，∴∠ADC+∠3＝180°（等量代换），∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）；（2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝76°，∴∠BDC＝76°，∵DA平分∠BDC，∴∠ADC＝∠BDC＝38°（角平分线定义），∴∠2＝∠ADC＝38°（已证），又∵DA⊥FA，AD∥CE，∴CE⊥AE，∴∠AEC＝90°（垂直定义），∵AD∥CE（已证），∴∠FAD＝∠AEC＝90°（两直线平行，同位角相等），∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣38°＝52°．5．解：（1）过点E作EG∥AB，∵a∥b，∴EG∥CD，∴∠ABE＝∠BEG，∠CDE＝∠DEG，∴∠ABE+∠CDE＝∠BEG+∠DEG＝∠BED，∵AD⊥BC，∴∠ABE+∠CDE＝∠BED＝90°；（2）如图，过点F作FH∥AB，∵a∥b，∴FH∥CD，∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝∠BFH+∠DFH，∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝64°，∠ADC＝72°，∴∠ABF＝ABC＝32°，∠CDF＝ADC＝36°，∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝68°；（3）如图，过点F作FH∥AB，∵a∥b，∴FQ∥CD，∴∠ABF+∠BFQ＝180°，∠CDF＝∠DFQ，∴∠BFD＝∠BFQ+∠DFQ＝180°﹣∠ABF+∠CDF∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠ABF＝ABC＝，∠CDF＝ADC＝，∴∠BFD＝180°﹣∠ABF+∠CDF＝180°﹣+，∴∠BFD的补角＝﹣．二．打卡练习26．解：如图，过点P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PM∥CD，∴∠PEB+∠EPM＝180°，∠PFC＝∠FPM，∴∠EPM＝180°﹣∠PEB，∵∠EPF＝∠EPM+∠FPM＝100°，∴180°﹣∠PEB+∠PFC＝100°，∴∠PEB﹣∠PFC＝80°，故答案为：80．7．解：如图，由折叠得∠DEF＝∠D'EF，∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠EFB＝∠DEF，∠AED'＝∠ED'F，∵∠EFB＝65°，∴∠DEF＝∠D'EF＝65°，∴∠AED'＝180°﹣∠DEF﹣∠D'EF＝50°，∴∠ED′F＝50°．故答案为：50．8．解：如图∵∠1+∠3＝124°，∠2+∠4＝86°，∴∠1+∠3+∠2+∠4＝210°，∵l1∥l2，∴∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠2＝210°﹣180°＝30°．故答案为：30°．9．解：BF与AC的位置关系是：BF⊥AC．理由：∵∠AGF＝∠ABC，∴BC∥GF，∴∠1＝∠3；又∵∠1+∠2＝180°，∴∠2+∠3＝180°，∴BF∥DE；∵DE⊥AC，∴BF⊥AC．10．（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F，∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°，∴∠ACB＝∠CED，∴AC∥DF，∴∠A＝∠DFB，∵∠A＝∠D，∴∠DFB＝∠D，∴AB∥CD；（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥HN∥CD，∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE，∵BG平分∠ABE，∴∠ABG＝ABE，∵AB∥HN，∴∠2＝∠ABG，∵CF∥HN，∴∠2+∠β＝∠3，∴ABE+∠β＝∠3，∵DH平分∠EDF，∴∠3＝EDF，∴ABE+∠β＝EDF，∴∠β＝（∠EDF﹣∠ABE），∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β，设∠DEB＝∠α，∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β，∵∠DEB比∠DHB大60°，∴∠α﹣60°＝∠β，∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°）解得∠α＝100°∴∠DEB的度数为100°；（3）∠PBM的度数不变，理由如下：如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，∴∠EBM＝∠MBK＝EBK，∠CDN＝∠EDN＝CDE，∵ES∥CD，AB∥CD，∴ES∥AB∥CD，∴∠DES＝∠CDE，∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK，∠G＝∠PBK，由（2）可知：∠DEB＝100°，∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°，∴∠EBK﹣∠CDE＝80°，∵BP∥DN，∴∠CDN＝∠G，∴∠PBK＝∠G＝∠CDN＝CDE，∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK＝∠EBK﹣CDE＝（∠EBK﹣∠CDE）＝80°＝40°．三．打卡练习311．解：∵AB∥CD，∴∠2＝∠AEF，又∵∠AEF＝∠FEA′，∠2＝2∠1，∴∠AEF＝∠FEA′＝2∠1又∵∠AEF+∠FEA′+∠1＝180°，∴2∠1+2∠1+∠1＝180°，∴∠1＝36°，∴∠BEF＝∠FEA′+∠1＝2∠1+∠1＝3∠1＝108°．故答案为：108．12．解：∵AB∥CD，∠1＝60°，∴∠1＝∠BCD＝60°，∵BC∥EF，∴∠EHD＝∠BCD＝60°，∴∠2＝180°﹣∠BCD＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120．13．解：∵∠A＝30°，∠H＝90°，∴∠ACH＝90°﹣30°＝60°，如图，过C作CM∥a，而a∥b，∴CM∥a∥b，∴∠HCM＝∠2＝30°，∠CKQ+∠ACM＝180°，∴∠ACM＝60°﹣30°＝30°，∠CKQ＝180°﹣30°＝150°，∴∠1＝∠CKQ＝150°，故答案为：150．14．（1）证明：∵∠1＝∠CNF（对顶角相等），∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠CNF，∴AE∥DF；（2）解：∵AE∥DF，∴∠D＝∠AEC，又∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠AEC，∴AB∥CD，∴∠B＝∠C，又∵∠B＝30°，∴∠C＝30°．15．解：（1）如图1，过点P作GH∥AB，∴∠EPH＝∠AEP．∵AB∥CD，∴GH∥CD．∴∠FPH＝∠CFP．∴∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP．即：∠EPF＝∠AEP+∠CFP，∵EP、FP分别平分∠AEF和∠CEF，∴∠AEF＝2∠AEG，∠CEF＝2∠CFG，∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∴2∠AEG+2∠CFG＝180°，∴∠AEG+∠CFG＝90°，∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP＝90°；（2）如图2，过点G，H作GK∥AB，HL∥AB，∵AB∥CD，∴GK∥CD，HL∥CD，∴∠AEH＝∠EHL，∠CFH＝∠LHF，∠AEG＝∠EGK，∠CFG＝∠FGK，∵∠EGF＝∠EGK+∠FGK＝160°，∠EHF＝∠EHL+∠LHF＝40°，∴∠EGF＝4（∠EHL+∠LHF），∴∠EGK+∠FGK＝∠AEG+∠CFG＝4（∠AEH+∠HFC），∵∠AEG＝4∠AEH，∴∠CFG＝4∠HFC，∴＝；（3）如图3，由题意可知：EN平分∠MEF，FP平分∠CFE，∴∠MEN＝∠FEN，∠EFP＝∠CFP，∵∠EPF＝∠FEP+∠EFP＝90°，∠PEN＝α∴∠PEN+∠FEN+∠EFP＝α+∠FEN+∠EFP＝α+∠MEN+∠CFP＝90°，∵∠ENM＝∠FEN+∠EFN＝∠FEN+∠EFP+∠CFP，在△EMN中，∠EMN+∠ENM+∠MEN＝180°，∴∠EMN+∠FEN+∠EFP+∠CFP+∠MEN＝180°，∴∠EMN＝180°﹣（∠MEN+∠CFP）﹣（∠FEN+∠EFP），∴∠EMF＝∠EMN＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α．当M在F点右侧时，∠EMF＝180﹣2α．故答案为：2α或180﹣2α．四．打卡练习416．解：如图，延长AB交直线l2于点C，∵∠α＝∠β，∴AB∥DE，∴∠ACD+∠2＝180°，∵l1∥l2，∠1＝50°，∴∠ACD＝∠1＝50°，∴∠2＝180°﹣∠ACD＝130°．故答案为：130°．17．解：如图，延长CB交ED的延长线于G，∵AB∥DF，∴∠1＝∠ABC＝135°，∵∠CDE＝70°，∴∠CDG＝180°﹣∠CDE＝110°，∵∠1＝∠CDG+∠C，∴∠C＝∠1﹣∠CDG＝135°﹣110°＝25°，即∠BCD＝25°．故答案为：25°．18．解：如图，延长ED交BF于C，∵BA∥DE，∠B＝120°，∴∠BCD＝∠B＝120°，∴∠FCD＝180°﹣120°＝60°，又∵∠FDE是△CDF的外角，∴∠1＝∠FDE﹣∠FCD＝150°﹣60°＝90°，故答案为：90°．19．证明：（1）∵∠1＝∠2，∠2＝∠AHB，∴∠1＝∠AHB，∴BF∥CE（同位角相等，两直线平行），（2）由（1）可得出∠AEC＝∠B，∵∠AEC＝∠BFD，∴∠B＝∠BFD，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），∴∠BAD＝∠ADC．20．解：（1）如图，过P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴