天津南开中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试卷

高三数学学科第二次月考考试时间：考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．第I卷1至3页，第II卷3至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和填涂卡号填写或涂写在答题纸上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效．考试结束后，将答题纸交回．祝各位考生考试顺利！第I卷(共45分)一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合，集合，则（

）．A． B．C． D．（2）已知，“”是“”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件（3）函数的图象大致为（

）．A． B．C． D．（4）对变量记录观测数据，并绘制散点图如图1所示；对变量记录观测数据，并绘制散点图如图2所示．用分别表示变量之间与变量之间的样本相关系数，则下列说法正确的是（

）．变量与呈现正相关，且 B．变量与呈现负相关，且C．变量与呈现正相关，且 D．变量与呈现负相关，且（5）已知，，则（

）．A． B． C． D．（6）已知，，，则的大小关系是（

）．A．B． C． D．（7）已知数列是公差不为0的等差数列，且为等比数列的连续三项，则的值为（）．A． B．4 C．2 D．（8）定义在上的函数满足，对任意的，，恒有，则关于的不等式的解集为（

）．A． B． C． D．（9）已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是（

）．A. B． C． D．第II卷（共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题５分，共30分．（10）是虚数单位，复数满足，则_________．（11）在的展开式中，常数项为．（12）口袋里有标号为1，2，3的三个小球，从中任取一球，记下它的号码后放回袋中，这样连续操作三次．若每次取到各个小球的可能性相等，记事件“三次抽到的号码不全相同”，则；记事件“三次抽到的号码之和为7”，则．（用数字作答）（13）如图，已知的面积为，，若，点分别为边中点，则的最大值为．（14）已知数列满足，且，，，则；记的前项和为，则．已知，，若函数有两个零点分别为，且，则的取值范围是．三、解答题：本大题共５小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）（本小题满分14分）在中，角的所对的边分别为，已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积为，且.（i）求的值；（ii）求的值．（17）（本小题满分15分）如图，在直三棱柱中，，，，点分别在棱和棱上，且，．（Ⅰ）设点为棱中点，求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求平面与平面夹角的余弦值．（18）（本小题满分15分）已知椭圆过点，其长轴长为，下顶点为，若作与轴不重合且不平行的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当点横坐标的乘积为时，试探究直线是否过定点？若过定点，请求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．（19）（本小题满分15分）已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，，，.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）对任意的正整数，设记数列的前项和为，求.（Ⅲ）设，若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围．（20）（本小题满分16分）已知函数（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在区间内无零点，求的最小值；（Ⅲ）若对任意给定的在上总存在两个不同的,使得成立，求的取值范围．高三数学学科第二次月考答案：ABDCCAABD10.;11.12.;13.14.15.16.(I)，得，即，故.(II)因为的面积，所以，解得，所以由余弦定理得，即，所以，由正弦定理得所以，(ii),,.17.（1）取的中点为，连接，因为为中点，所以，而，，则，，故，所以，则四边形为平行四边形，故，而平面，平面，故平面；（2）在直三棱柱中，，故两两垂直，以所在直线为轴建立空间直坐标系，，则，设平面的法向量为n=x,y令，则，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.(3)设平面的法向量为,则，令，则，,所以平面与平面夹角的余弦值为.18.(1)由题意，，所以所以椭圆的方程为.（2）由题意直线的斜率存在，设直线，，，由得：，则，即，，；由（1）知：，直线方程为：，令，解得：，即；同理可得：，，即，解得：，此时，即或，满足题意；，恒过定点.19.（1）由得方程组，解得（2）,设，（3）设20解：（Ⅰ）当 所以，所以切线方程为.（Ⅱ）∵函数上无零点，∴对任意的恒成立，或者恒成立，因为上恒成立不可能，所以恒成立.令则