湖北省部分普通高中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 含解析

2024-2025学年度上学期湖北省部分普通高中高二期中考试数学试卷（时间：120分钟满分：150分考试时间：2024年11月22日）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】根据直线与平行，即可求解.【详解】，直线与平行，故倾斜角为，故选:A2.第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，金牌榜前10名的国家的金牌数依次为，则这10个数的分位数是（）A.14.5 B.15 C.16 D.17【答案】D【解析】【分析】将这10个数据从小到大排列，根据，结合百分位数的计算方法，即可求解.【详解】将这10个数据从小到大排列得：，因为，所以这10个数的分位数是.故选：D.3.如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求解即得.【详解】依题意，.故选：D4.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A.图（1）的平均数＝中位数＞众数 B.图（2）的众数＜中位数＜平均数C.图（2）的平均数＜众数＜中位数 D.图（3）的中位数＜平均数＜众数【答案】B【解析】【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.【详解】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A错误；图（2）频率直方图可得，单峰不对称且“右拖尾”，最高峰偏左，众数最小，平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边，平均数大于中位数，故B正确，C错误；同理图（3）“左拖尾”，众数最大，平均数小于中位数，故D错误.故选：B.5.如图，在长方体中，，，为中点，则到平面的距离为（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】以为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用距离公式即可得到答案.【详解】以为坐标原点，分别以为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令得：，所以，则点到平面的距离为，故选：C.6.已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则（）A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根据的坐标以及方向向量分别求解出的方程，由此可求结果.【详解】因为，即，所以，因为，即，所以，所以.故选：A.7.已知事件A，B满足，则（）A.若B⊆A，则 B.若A与B互斥，则C.若A与B相互独立，则 D.若，则C与B相互对立【答案】B【解析】【分析】选项A：利用事件的关系结合概率求解即可.选项B：利用概率的加法公式，求解即可，选项C：若A与B相互独立，则A与相互独立，利用独立事件的公式求解即可.选项D:利用对立事件求解即可.【详解】选项A：若B⊆A，则选项B：若A与B互斥，则.故选项B正确.选项C：若A与B相互独立，则A与相互独立,故选项C错误.选项D:若，则由于不确定C与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立,故D错误.故选：B.8.设定点，当到直线距离最大时，直线与轴的交点，则此时过点且与直线垂直的直线方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先分析所过的定点，然后根据时距离最大求出的方程，再结合直线位置关系，利用点斜式方程求解即可.【详解】因为，令，解得，所以过定点，当到的距离最大时，，理由如下：当时，此时到的距离为PQ，当不垂直于时，过点作，显然在中，，所以PQ即为到的最大距离，此时，所以，所以，即，令，则，所以，则过点且与直线垂直的直线方程为，即，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，事件“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是（）A.与互为对立事件 B.与为相互独立事件C.与相等 D.【答案】BD【解析】【分析】利用对立事件与相互独立事件的概念可判断A、B；求出概率可判断C、D.【详解】由对立事件是在一次试验中，故A错误；，为独立事件，B正确；事件不是在一次试验中，事件不会相等，由，可得C错误；D正确.故选：BD．10.已知直线，直线，则下列结论正确的是（）A.在轴上的截距为B.过点且可能垂直轴C.若，则或D.若，则【答案】AD【解析】【详解】对于A：根据直线方程求截距即可；对于B：根据直线方程分析斜率，即可得结果；对于C：举反例说明即可；对于D：根据直线垂直列式求参即可．【解答】直线，直线，对于选项A：因为直线，令，解得，所以在轴上的截距为,故A正确；对于选项B：因为直线的斜率，即斜率存在，直线不垂直，故B错误，对于选项C：若，则直线、均为，即两直线重合，不平行，故C错误；对于选项D：若，则，解得，故D正确．故选：AD．11.在空间直角坐标系中，已知向量，点，设点，下面结论正确的是（）A.若直线经过点，且以为方向向量，是直线上的任意一点，则B.若点，都不在直线上，直线的方向向量是，若直线与异面且垂直，则C.若平面经过点，且为平面的法向量，则平面外存在一点使得成立D.若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则【答案】ACD【解析】【分析】根据向量共线即可求解A，根据垂直即可求解BCD.【详解】对于A，由于为的方向向量，，故存在实数使得，即可，因此，故A正确，对于B,与垂直,则，即，故B错误，对于C,由于为平面的法向量，过作，即可得到，故C正确，对于D，由于为平面的法向量，，故，即，则，故D正确，故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.一组数据的平均数等于21，方差，则这组数据中______．【答案】【解析】【分析】根据方差的计算公式分析出结果.【详解】因为，所以，由平方运算的特点可知，所以.故答案为：.13.在正方体中，，，分别是，，各棱的中点．则与平面所成角的余弦值________．【答案】【解析】【分析】分别取为各边中点，连接，，且交于O，连接，首先证面面，转化为求与平面所成角余弦值，再利用线面、面面垂直的判定证面面，由线面角的定义有与平面所成角为或其补角，最后应用余弦定理求其余弦值.【详解】如下图，分别取为各边中点，连接，，且交于O，连接，由题设，易知，由面，面，则面，同理可证面，由，面，则面面，所以与平面所成角，即为与平面所成角，由，且等边中，，面，所以面，面，则面面，面面，故在面的投影在直线上，则与平面所成角为，若正方体的棱长为1，则中，，所以，故与平面所成角，即与平面所成角的余弦值为.故答案为：.14.在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，线段的垂直平分线分别交直线和直线于，两点．若，则点的横坐标为________．【答案】【解析】【分析】根据题意作出图示，分别求解出点的长度，由此可求，根据(为的倾斜角)求得结果.【详解】因为，所以，又，所以，又因为垂直平分，所以，设的倾斜角为，所以，由可得，所以，所以，所以，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.袋中有形状、大小都相同的编号为的只小球，从中随机摸出只小球，设事件：摸出或号小球，：摸出或号小球，：摸出或号小球．（1）求事件发生的概率．（2）求值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式直接求得结果；（2）先分析事件包含的事件，然后可求其概率值，再根据的值求得结果.【小问1详解】样本空间为，，所以【小问2详解】因为，所以，所以，又因为，所以，所以.16.如图，在棱长为1的正方体中，、分别是棱，上的中点．（1）求直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面夹角的正切值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得两条直线的方向向量，根据向量的夹角公式即可求解异面直线的夹角，（2）求两个平面的法向量，然后利用法向量即可求得面面角的余弦值．【小问1详解】以为原点，以的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则所以．故设直线与所成角为，则【小问2详解】因为，所以．设平面的法向量为，则，令，得．取平面的一个法向量．设平面与平面的夹角为，则，故，即平面与平面夹角的正切值为．17.江夏区金口“草把龙”是武汉市级非物质文化遗产．“草把龙”是利用金灿灿的稻草包裹而成，制作“草把龙”的稻草要长，颜色要鲜，成色要新．为了提高收割机脱粒和稻草的质量，某企业对现有的一条水稻收割机产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的产品中随机抽取了1000台，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）质量指标值产品6010016030020010080（1）估计产品的某项质量指标值的70百分位数．（2）经计算这组样本的质量指标值的平均数和方差分别是61和241．设表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，精确到个位，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值至少有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若至少有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功，请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据：）【答案】（1）69（2）可以判断技术改造后的产品质量初稳定，但不能判定生产线技术改造成功．【解析】【分析】（1）利用百分位数定义、计算公式直接求解．（2）根据定义先求出，，，，再利用频率分布表能求出结果．【小问1详解】设产品的某项质量指标值的70百分位数为，则，解得．【小问2详解】由，知，则，，该抽样数据落在内的频率约为，，，该抽样数据落在内的频率约为，可以判断技术改造后的产品质量初稳定，但不能判定生产线技术改造成功．18.已知直线过定点，直线的方程是．（1）若直线的横截距为纵截距2倍，求直线的方程．（2）若直线与，轴正半轴分别交于，两点，过，分别作直线垂线，垂足分别是，．求四边形面积的最小值．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）分类讨论直线是否经过原点，代入M1,1求出参数，由此可求结果；（2）设出的方程，分别表示出的面积，结合基本不等式求解出四边形面积的最小值.【小问1详解】当经过时，设，代入M1,1，所以，即，当不经过时，设，代入M1,1，解得，即，所以直线的方程为或.【小问2详解】由题意设，令，则，所以，令，则，所以，所以，，因为的倾斜角为，所以，所以均为等腰直角三角形，所以，所以，因为，所以，当且仅当，即(舍)时取等号，由二次函数性质可知，，当且仅当时取等号，所以四边形面积的最小值为.19.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．（1）求的长（用表示）；（2）为何值时，的长最小？（3）当平面与平面夹角时．求的长．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】．（1）以为坐标原点，分别