2023年上海中考数学一轮复习：圆（原卷版+解析）

专题17圆

圆的有关基础概念及位置关系是选填题的热门，大题出现的几率依然很大，特别是压轴题；圆周角

定理、切线长的性质等已经不在教材范围之内，而是增加两个特色性质：相交圆连心线的性质；相切圆的

连心线的性质。

在知识导图

圆有关的性质垂径定理及推论

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

基本性质

圆周角定理

圆内接四边形

相切

相交

一点和圆的位置关系相离

三点定圆方法

反证法

判定

直线和圆的位置关系一相切

随

相交弦定理及推论

外离

切割线定理及推论

外切

相交

内切

转、边心距、中心角计算

正多边形计算边长、面积的计算内含

圆周长，弧长，组合图形的周长

正多边形和圆圆面积，扇形，组合图形的面积

定义

-圆锥弧长及面积公式

侧面积、全面积的计算

一、圆的有关概念垂径定理

一、与圆有关的概念

圆的概念：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆.这

个固定的端点0叫做圆心，线段0A叫做半径.以0点为圆心的圆记作。。，读作圆。.

特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形.

确定圆的条件：

⑴圆心；

⑵半径，

⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小.

补充知识：

1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；

2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；

3）半径相等的圆叫做等圆.

弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦.

弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以、为端点的弧记作读作弧/氏在同圆

或等圆中，能够重合的弧叫做等弧.

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，

小于半圆的弧叫做劣弧.

弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距.

圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角.

圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

三角形的外接圆

经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三

角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.

点与圆的位置有三种：

位置关系图形定义性质及判定

点在圆外点在圆的外部>。点在。的外部.

==点在O的圆周

点在圆上点在圆周上

上.

点在圆内点在圆的内部<0点在O的内部.

三点定圆的方法：

1）经过点A的圆：以点A以外的任意一点0为圆心，以0A的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆

有无数个.

2）经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点0作为圆心，以0A的长为半径，即可作出过点A、B

的圆，这样的圆也有无数个.

3）经过三点时：

情况一：过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；

情况二：若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点0是唯一存在的，

这样的圆有唯一一个.

定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.

二、垂径定理

对称性

1.圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线

2.圆是中心对称图形。

垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

常见辅助线做法（考点）：

1）过圆心，作垂线，连半径，造△,用勾股，求长度；

半径2=弦心距2+《弦长）2

2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分.

翼例引微

一、单选题

1.下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最

长的弦.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.已知。4=4,以。为圆心，厂为半径作。0.若使点A在。。内，则厂的值可以是（）

A.2B.3C.4D.5

3.过。。内一点M的最长弦为10cm,最短弦长为8cm,则的长为（）

A.9cmB.6cmC.3cmD.“3cm

4.下列说法正确的是（）

A.等弧所对的圆周角相等B.平分弦的直径垂直于弦

C.相等的圆心角所对的弧相等D.过弦的中点的直线必过圆心

5.如图，在QO中，于点。,的长为3cm,则弦AB的长为（）

B.6cmC.8cmD.10cm

6.已知。O的直径A2=10,弦CO_LAB于点若OM：0A=3：5,则弦AC的长度（).

A.275B.475C.3D.2石或46

7.如图，已知RtZkABC中，ZC=90°,ZA=30°,AC=6,以点3为圆心，3为半径作。8,则点C与。8

的位置关系是（）

A.点C在。8内B.点C在。B上C.点C在。8外D.无法确定

8.如图，为。。的弦，点C在42上，AC=4,BC=2,CDLOC交。。于点。，则CD的长为（）

c.2V2D.3亚

二、填空题

9.平面直角坐标系内的三个点A(1,—3)、B(0,—3)、C(2,—3),—确定一个圆.(填“能”或“不

能”)

10.下列说法正确的是(填序号).

①半径不等的圆叫做同心圆；②优弧一定大于劣弧；

③不同的圆中不可能有相等的弦；④直径是同一个圆中最长的弦.

11.A,8是半径为3的。。上两个不同的点，则弦AB的取值范围是.

12.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A,B,C,其中B点坐标为(4,4),则该圆弧所在圆的圆心

坐标为.

13.如图，ZPAC=30°,在射线AC上顺次截取AD=3。九，DB=10cm,以D3为直径作。。交射线AP于E、

厂两点，则线段E尸的长是cm.

14.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,以顶点。为圆心作半径为「的圆.若要求另外三个顶点A3,C

中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，贝1］厂的取值范围是.

15.如图，半圆O的半径为2,E是半圆上的一点，将E点对折到直径AB上(EE，J_AB),当被折的圆弧与

直径AB至少有一个交点时，则折痕CD的长度取值范围是一

三、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们

所对应的其余各组量分别相等

:O

舞例引微

J__________a___________________IL-

、单选题

1.下列说法中，正确的是（）

A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等

C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等

2.如图，在一个圆内有48、CD、EF,若AB+CD=EF，则AB+C。与跖的大小关系是（

A.AB+CD=EFB.AB+CD<EFC.AB+CD<EFD.AB+CD>EF

3.在。。中，AB,CD为两条弦，下列说法：①若AB=CD,则A3=C£>;②若AB=CD，贝UAB=2CD；

③若AB=2CD,则弧AB=2弧CD；④若ZAOB=2NCOD,则AB=2CD淇中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.如图，扇形OAB的圆心角为90。，点C、D是AB的三等分点，半径OC、OD分别与弦AB交于点E、

F,下列说法错误的是（）

A.AE=EF=FBB.AC=CD=DB

C.EC=FDD.ZDFB=75°

5.如图，C、D为半圆上三等分点，则下列说法：®AD=CD=BC^②NAOD=/DOC=NBOC；③AD

=CD=OC；④AAOD沿OD翻折与ACOD重合.正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

6.如图，是。。的直径，C、。是上的两点，且点C为弧的中点，连接C。、CB、OD,CO与

A8交于点足若/4。。=100。，则/ABC的度数为（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

二、填空题

7.120。的圆心角是360。的分之一，它所对的弧是相应圆周长的分之一.

8.如图，已知点C是。。的直径AB上的一点，过点C作弦。E,CD=CO.若AZ）的度数为35。，贝UBE

的度数是.

9.已知,如图以AB为直径的0O,BC_LAB,AC交。。于点D,点E在。O上，若NDEB=25。,则/C=.

10.如图，在平行四边形A2C0中，ZC=60°,点A,B在。。上，点。在优弧ADB上，DA=DB,则NAO。

的度数为______.

三、解答题

11.已知：如图，在。。中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D,AC=BD,求证:

(1)OC=OD：

(2)AE=BF-

12.如图，MB,是。。的两条弦，点A,C分别在弧KB,弧A®上，且A8=C£),点M是弧AC的中

点.

(1)求证：MB=MD-,

(2)过。作0E_LA/8于E,OE=1,。。的半径是2,求Aff)的长.

13.如图，过。。的直径AB上两点分别作弦CD,所，CD//EF,AC=BF.

求证：(1)fiC=AF;

(2)AM=BN.

14.已知43是。。的直径，点C在。。上，。为弧BC的中点.

(1)如图①，连接AC,AD,OD,求证：OZ)〃AC；

(2)如图②，过点。作DEJ_AB交。。于点E,直径交AC于点G,若G为AC的中点，。。的半径为

2,求AC的长.

15.已知。O的直径AB=4,弦AC与弦3D交于点E.且ODJ_AC,垂足为点尸.

DD

图2

(1)如图1,如果AC=3D,求弦AC的长;

(2)如图2,如果E为弦8。的中点，求EF:DF

心重点考向

四、直线与圆、圆与圆的位置关系

1、直线和圆的位置关系

位置关系：设。的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表:

位置

图形定义性质及判定

关系

>。直线与。

相离直线与圆没有公共点

©相离

直线与圆有唯一公共点，直线叫==直线与G)

相切

做圆的切线，公共点叫做切点相切

直线与圆有两个公共点,直线叫<=直线与o

相交

做圆的割线相交

切线的性质及判定

切线的性质：

定理：圆的切线垂直于过切点的半径.

切线的判定

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

2、圆和圆的位置关系

圆和圆的位置关系的定义、性质及判定：设。八O2的半径分别为、(其中>,两圆圆心

距为，则两圆位置关系如下表：

位置关系图形定义性质及判定

两个圆没有公共点，并且每个

>+Q两圆

外离圆上的点都在另一个圆的外

外离

部.

两个圆有唯一公共点，并且除

=+=两圆

外切了这个公共点之外，每个圆上

外切

的点都在另一个圆的外部.

—<<+

相交两个圆有两个公共点.

=两圆相交

两个圆有唯一公共点，并且除

=—Q两圆

内切了这个公共点之外，一个圆上

内切

的点都在另一个圆的内部.

两个圆没有公共点，并且一个

圆上的点都在另一个圆的内V-0

内含

)部，两圆同心是两圆内含的一两圆内含

种特例.

【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外

离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况.

定理1:相交圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

定理2：相切圆的连心线经过切点。

典例引微

J__________a___________________I

一、单选题

1.（2023春・上海•九年级专题练习）已知圆。口圆Q的半径不相等，圆Q的半径长为5,若圆上的点A

满足A。=5,则圆a与圆O?的位置关系是（）

A.相交或相切B.相切或相离C.相交或内含D.相切或内含

2.（2022春.上海青浦•九年级校考期中）如果两圆的半径长分别为6与2,圆心距为4,那么这两个圆的位

置关系是（）

A.内含B.内切C.外切D.相交

3.（2023春・上海•九年级专题练习）已知同一平面内有。。和点A与点8,如果。。的半径为6cm,线段

GW=10cm,线段O8=6cm,那么直线AB与。O的位置关系为（）

A.相离B.相交C.相切D.相交或相切

4.（2023春・上海•九年级专题练习）在直角坐标系中，点P的坐标是（2,73），圆尸的半径为2,下列说法

正确的是（）

A.圆尸与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点

B.圆尸与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点

C.圆P与x轴、y轴都有两个公共点

D.圆P与x轴、y轴都没有公共点

5.（2022春•上海闵行•九年级校考期中）如图，在Rt^ABC中，NC=90。，AC=4,BC=7,点。在边

BC上,CD=3,0A的半径长为3,与0A相交，且点8在。。外，那么。。的半径长厂的取值范围是

A.1<r<4B.2<r<4C.1<r<8D.2<r<8

6.（2022・上海•九年级专题练习）在四边形ABC。中，AD//BC,=90°,AB=4,5C=4,AD=1

（如图）.点。是边8上一点，如果以。为圆心，0。为半径的圆与边有交点，那么0。的取值范围是

（）

二、填空题

7.（2023秋・上海・九年级校考期末）已知。。|与O。z两圆外切，。。2=5,。。1的半径为3,那么。。?的半

径r为.

8.（2023春・上海•九年级专题练习）在RtAA5c中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,分别以点A、C为圆心

画圆，如果点8在0A上，0c与相交，且点A在。C外，那么G）C的半径长厂的取值范围是.

9.（2023春・上海•九年级专题练习）已知乙〃/2,乙、乙之间的距离是5cm,圆心。到直线乙的距离是2cm,

如果圆O与直线乙、6有三个公共点，那么圆。的半径为cm.

10.（2022春・上海・九年级校考阶段练习）如图，在Rt^ABC中，NC=90。，BC=9,AC=12,点。在边

AB上，且BO=2OA,以点。为圆心，，为半径作圆，如果。。与Rt^ABC的边共有4个公共点，那么半

径厂取值范围是.

CA

11.（2023春・上海・九年级专题练习）如图，直线ASCO相交于点。，ZAOC=30°,圆尸的半径为1cm,

动点尸在直线A8上从点。左侧且距离。点6c优处，以lcm/s的速度向右运动，当圆尸与直线CD相切时,

圆心P的运动时间为s.

12.（2021•上海闵行•九年级期末）如图，在Rt~4BC中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,点P在边AC上,

。尸的半径为1,如果。尸与边BC和边AB都没有公共点，那么线段PC长的取值范围是.

13.（2022・上海•九年级专题练习）如图，在直角梯形ABC。中，AD//BC,ZA=90°,E是AD上一定点，

AB=3,BC=6,A£>=8,AE=2.点尸是8c上一个动点，以尸为圆心，PC为半径作。P.若。尸与以E为圆

心，1为半径的OE有公共点，且。尸与线段只有一个交点，则PC长度的取值范围是

三、解答题

14.（2023春・上海・九年级专题练习）已知：如图，与。。2外切于点T,经过点T的直线与。。八002

分别相交于点A和点8.

（1）求证：O1A//O2B；

（2）若QA=2,028=3,AB=1,求AT的长.

15.（2022春・上海•九年级校考期中）已知：如图，。。/与。。2相交于点A和点8,AC^OIO2,交。。/于

点C,。。/的半径为5,。。2的半径为AB=6.

(1)弦AC的长度；

⑵四边形ACO/O2的面积.

16.(2022春•九年级单元测试)如图，半径为1的。。与过点。的。P相交，点A是。。与。尸的一个公共

点，点B是直线A尸与。。的不同于点A的另一交点，联结OA,OB,OP.

⑴当点8在线段AP上时，

①求证：ZAOB=ZAPO；

②如果点8是线段AP的中点，求AA。尸的面积；

(2)设点C是。P与。。的不同于点A的另一公共点，联结尸C,BC.如果/PCB=a,ZAPO=p,请用含a

的代数式表示区

在重点考向

五、正多边形和圆

正多边形和圆

正多边形

正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形.

正多边形的相关概念：

>正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.

>正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.

>正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

>正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

半径、边心距，边长之间的关系：

半径2=边心距2+4边长)2

画圆内接正多边形方法:

1）量角器

（作法操作复杂，但作图较准确）

2）量角器+圆规

（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）

3）圆规+直尺

（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..）

真例引撷

_____I__________J____________________IL

一、填空题

1.（2023春・上海・九年级专题练习）半径为3的圆的内接正六边形的面积为.

2.（2023春・上海•九年级专题练习）如图，如果A3、AC分别是圆。的内接正三角形和内接正方形的一条边,

8C一定是圆。的内接正〃边形的一条边，那么〃=.

3.（2021・上海・统考二模）如图，。。的半径为6,如果弦AB是。。内接正方形的一边，弦AC是。。内接

正十二边形的一边，那么弦的长为.

4.（2021.上海.九年级专题练习）如图，正六边形A3CDEF的顶点8,C分别在正方形AMNP的边AM,MN

上.若AB=4,则CN=.

5.（2022・上海闵行•统考二模）如图，已知点G是正六边形对角线FB上的一点，满足3G=3FG,

联结FC,如果AENG的面积为1,那么△尸3C的面积等于.

6.（2021.上海.九年级专题练习）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这

个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积,如图，OO

是正十二边形的外接圆,设正十二边形的半径OA的长为1,如果用它的面积来近似估计的面积，那么

的面积约是—.

7.（2023春・上海•九年级专题练习）如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的

“联络四边形”，己知圆的半径长为5,这个圆的一个联络四边形是边长为2石的菱形，那么这个菱形不在圆

上的顶点与圆心的距离是.

8.（2021・上海•九年级专题练习）如图，下列正多边形都满足尸CB/,在正三角形中，我们可推得：

ZAOBi=60°；在正方形中，可推得：ZAOBi=90°；在正五边形中，可推得：ZAOB/=108°,依此类推在正

八边形中，AOBi=°,在正〃（色3）边形中，ZAOBi^°.

二、解答题（圆内接四边形练）

9.（2022秋•江苏苏州•九年级校考期中）如图，AABC与。。交于。,E两点，A3是直径且长为12,OD//BC.

⑵若AD=4,求CE的长度.

10.（2022秋・浙江杭州•九年级校考期中）已知，如图，是。。的直径，弦8，钻于点区G是4c上

一点，AG与DC的延长线交于点R设半径为R.

（1）若CD=8,BE=2,求：

①OE=（用R的代数式表示）；

②。O的半径长.

（2）求证：NFGC=ZAGD.

在模型检测

一、解答题

1.（2021•上海杨浦・统考二模）已知：如图，A8是半圆。的直径，C是半圆上一点（不与点A、8重合）,

过点A作ALM/OC交半圆于点。，E是直径AB上一点，且AE=AD,联结CE、CD.

（1）求证：CE=CD；

（2）如果AO=3CZ），延长EC与弦的延长线交于点F联结OD，求证：四边形OC尸。是菱形.

2.（2020・上海松江・统考二模）如图，已知AB、AC是。O的两条弦，且AO平分NBAC.点M、N分别在

弦AB、AC上，满足AM=CN.

（1）求证：AB=AC；

MN_OM

（2）联结OM、ON、MN,求证:

ABOA

3.（2023春・上海・九年级专题练习）已知：如图，。。与。2相切于点A,如果过点A的直线BC交。。于

点、B,交。尸点C,OZ)_LAB于点O,PE_LAC于点E.

AD

（2）如果。。和。P的半径比为3:5,求矍的值.

AC

4.(2023秋・上海•九年级校考期末)已知：如图，A3是。。的直径，C是。。上一点，CDLAB,垂足为

点。，F是AC的中点，OF与AC相交于点E,AC=12,EF=3.

(1)求A0的长；

(2)求cosC的值.

5.(2023春・上海•九年级专题练习)已知。为。。的直径，A、8为0。上两点，点C为劣弧中点，连

接ZM、54、AC,且N3=30。.

(1)求证：ZD=30°；

(2*、G分别为线段CD、AC上两点，满足止=AG,连接AT、OG,取。G中点连接CH,请猜测AF

与CH之间的数量关系，并证明.

6.(2021・上海・统考中考真题)已知：在圆。内，弦与弦3c交于点G,AD=CB,MN分别是CB和AZ)的

中点，联结MMOG.

(1)求证：0GlMN；

(2)联结AC,AM,CN,当CV//OG时，求证：四边形AOVM为矩形.

7.(2022・上海嘉定•统考二模)在半圆。中，为直径，AC,为两条弦，且/CAO+NZMB=90。.

图3

(1)如图1,求证：等于CO;

（2）如图2,点尸在直径A8上，。尸交AC于点E,若AE=DE,求证：AC=2DF；

（3）如图3,在（2）的条件下，连接8C,若AF=2,BC=6,求弦的长.

8.（2020•上海普陀・统考二模）如图，已知在四边形48CD中，AO〃BC,ZABC=90°,以AB为直径的。。

（2）过点。作OHLER垂足为点“，设OH=y,试用厂的代数式表示y；

（3）设点G为。C的中点，联结OG、OD,△OOG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出厂的值；如不

能，试说明理由.

9.（2022春.上海金山.九年级校考阶段练习）如图，为半圆。的直径，AB=8,过3作AB的垂线BQ,

点C为直线BQ上一点，连接AC交半圆。于点E,以8为圆心，BC为半径作圆弧交AE于点。（。不与A

（图1）（图2）（备用图）

（1）如图2,连接OE、交于点G,若G为重心时，求cos/£®4的值；

（2）如图2,设tan44B=x,竺可，求》关于尤的函数关系式，并写出定义域；

GE

（3）延长BD交注石于点尸，延长尸。交射线CB于点P,

①设。B与线段A3交于点连接DH,NAD9的度数是否发生变化，若不变，请求出度数；若变化，请

至少给出两种不同情况下所对应的度数；

②若△尸03与AABC相似，求AC的长.

专题17圆

圆的有关基础概念及位置关系是选填题的热门，大题出现的几率依然很大，特别是压

轴题；圆周角定理、切线长的性质等已经不在教材范围之内，而是增加两个特色性质：相

交圆连心线的性质；相切圆的连心线的性质。

在知里导图

定义

圆有关的性质垂径定理及推论

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

基本性质

圆周角定理

圆内接四边形

相切

相交

点和圆的位置关系相离

三点定圆方法

反证法

相离

相切〈判定

直线和圆的位置关系随

相交弦定理及推论

外离

切割线定理及推论

外切

相交

概念

内切

斗但半径、边心距、中心角计算

内含

一正多边形1边长、面积的计算

二画法应用圆周长’弧长’组合图形的周长

正多边形和圆圆面积，扇形，组合图形的面积

定义

-圆锥弧长及面积公式

侧面积、全面积的计算

在重点考向

------q

一、圆的有关概念垂径定理

一、与圆有关的概念

圆的概念：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成

的图形叫圆.这个固定的端点。叫做圆心，线段0A叫做半径.以0点为圆心的圆记作。

读作圆0.

特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形.

确定圆的条件：

（4）圆心；

⑸半径，

（6）其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小.

补充知识：

1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；

2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；

3）半径相等的圆叫做等圆.

弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中

最长的弦.

弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以、为端点的弧记作一^,读作

弧48在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧.

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，

小于半圆的弧叫做劣弧.

弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距.

圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角.

圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

三角形的外接圆

经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的

交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.

点与圆的位置有三种：

位置关系图形定义性质及判定

点在圆外点在圆的外部>=点在。的外部.

==点在。的圆周

点在圆上点在圆周上

上.

点在圆内点在圆的内部<=点在。的内部.

三点定圆的方法：

1）经过点A的圆：以点A以外的任意一点0为圆心，以0A的长为半径，即可作出过点A

的圆，这样的圆有无数个.

2）经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点0作为圆心，以0A的长为半径，即

可作出过点A、B的圆，这样的圆也有无数个.

3）经过三点时：

情况一：过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；

情况二：若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点0

是唯一存在的，这样的圆有唯一一个.

定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.

二、垂径定理

对称性

3.圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线

4.圆是中心对称图形。

垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

常见辅助线做法（考点）：

2）过圆心，作垂线，连半径，造△,用勾股，求长度；

半径2=弦心距2+《弦长）2

2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分.

翼例引顺

一、单言题一

1.下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）

直径是圆中最长的弦.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】根据等弧的定义、弦的定义、弧的定义、分别判断后即可确定正确的选项.

【解析】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；

（2）直径是圆中最长的弦，故（2）错误，（4）正确；

（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；

正确的只有一个，

故选：A.

【点睛】本题考查了圆的有关定义，能够了解圆的有关知识是解答本题的关键，难度不大.

2.已知OA=4,以。为圆心，r为半径作。。若使点A在。。内，则r的值可以是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】根据点A与。。的位置关系确定点到圆心的距离与圆的半径大小即可.

【解析】：已知。4=4,以。为圆心，r为半径作。。若使点A在。。内，

/.点A到圆心的距离应该小于圆的半径，

圆的半径应该大于4.

故选：D.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是了解圆的位置关系与点与圆心的距离

及半径的大小关系，难度不大.

3.过。O内一点M的最长弦为10cm,最短弦长为8cm,则的长为（）

A.9cmB.6cmC.3cmD.“Jem

【答案】C

【分析】先根据垂径定理求出OA、AM的长，再利用勾股定理求OM.

【解析】解：由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，

如图所示.直径于点

则ED=10cm,AB=8cm,

E

由垂径定理知：点M为AB中点，

.'.AM=4cm,

:半径OA=5cm,

OM2=OA2-AM2=25-16=9,

OM=3cm.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了垂径定理，连接半径是解答此题的关键.

4.下列说法正确的是（）

A.等弧所对的圆周角相等B.平分弦的直径垂直于弦

C.相等的圆心角所对的弧相等D.过弦的中点的直线必过圆心

【答案】A

【分析】根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排

查即可.

【解析】解：A同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；

R平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；

C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误；

。.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以。选项错误.

故选A.

【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知

识点.灵活运用相关知识成为解答本题的关键.

5.如图，在。。中，于点。，的长为3cm,则弦A8的长为（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm

【答案】B

【分析】根据垂径定理求出AD=BD=3cm即可.

【解析】解：TAB为非直径的弦，ODLAB,

*.AD=BD=3cm9

AB=AD-^-BD=6cm.

故选B.

【点睛】本题考查垂径定理，掌握垂径定理是解题关键.

6.已知。。的直径AB=10,弦CO_LA8于点若OM：0A=3：5,则弦AC的长度（）.

A.2y/5B.4A/5C.3D.2旧或4旧

【答案】D

【分析】分两种情形：当点M在线段上或点M在线段A。的延长线上时，分别求解即

可.

【解析】解：如图1,•.,A8=10,弦CD_LAB于点林若OW：。4=3：5,

•'-AC=4CM-+AM2=4A/5；

如图2,VAB=lOcm,弦CZ)_LA8于点M.若。M：OA=3：5,

CM=^OC2-OM2=4，

•'-AC=yjcM2+AM2=25/5,

综上所述：弦AC的长为4君或2爪.

故选：D.

【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理.解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问

题再进行计算.

7.如图，已知R3ABC中，/C=90。，NA=30。，AC=6,以点8为圆心，3为半径作。3,

则点C与。2的位置关系是（）

A.点C在。B内B.点C在。B上C.点C在。2外D.无法确定

【答案】C

【分析】欲求点C与。B的位置关系，关键是求出BC,再与半径3进行比较.若d<r,则

点在圆内；若"=厂，则点在圆上；若d>r,则点在圆外.

【解析】解：：在R3A2C中，NC=90。，ZA=30°,

AAB^IBC,

有勾股定理得：

AB2-BC2=AC2,即（2宛『-BC2=62,

解得：BC=2y/3,

:以点2为圆心，3为半径作。2,

r<d,

...点C在。B外.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，含30°角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握

直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，点与圆的位置关系的判定是解题的关

键.

8.如图，AB为。。的弦，点C在48上，AC=4,BC=2,C£）_LOC交。。于点。，贝UCD

的长为（）

A.y/2C.2A/2D.3yli

【答案】C

【分析】过点。作。ELAB于点E,连接。A,O。，根据垂径定理可得AE=BE=3,从而得

到CE=1,然后设OE=x,根据勾股定理可得

OC2=OE2+CE2=X2+1,OB2=OA2=OE2+AE2=x2+9,从而得至CD2=OB2-OC2=8,

即可求解.

【解析】解：如图，过点。作于点E,连接。4,0D,

：.AE=BE=-AB,

2

VAC=4,BC=2,

：.BA=6,

：.AE=BE=3,

：.CE=lf

设OE=x,

：.OC2=OE2+CE2=X2+1,OD2=Ofic=OE2+AE2=x2+9,

'：CD±OC,

：.CD2=OD2-OC2+9-(x2+i)=S,

:.CD=2及或-20(舍去).

故选：C

【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键.

二、填空题

9.平面直角坐标系内的三个点A(1,—3)、8(0,—3)、C(2,-3),—确定一个圆.(填

“能”或“不能”)

【答案】不能

【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定

一个圆.

【解析】解：•：B(0,-3)、C(2,-3),

轴，

而点A(1,-3)与C、8共线，

.,.点A、B、C共线，

三个点A(1,-3)、B(0,-3)、C(2,-3)不能确定一个圆.

故答案为：不能.

【点睛】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆.

10.下列说法正确的是（填序号）.

①半径不等的圆叫做同心圆；②优弧一定大