2023年上海中考数学一轮复习：二次函数（原卷版+解析）

专题09二次函数

二次函数是初中数学的重要内容之一，也是历年中考的重点。这部分知识命题形式比较灵活，既有

填空题、选择题，又有解答题，而且常与方程、几何、锐角的三角比在一起，显现在解答题中。因此，熟

练把握二次函数的相关知识，会灵活运用一般式、顶点式、交点式求二次函数的解析式是解决综合应用题

的基础和关键。

在知怨导图

二次函数二次函数的

的定义图像及性质

二次函数

二次函数解

析式的求法

重点考向

—

一、二次函数的概念

概念：一般地，形如y=a/+b%+c(a,b,c是常数，a力0)的函数，叫做二次函数。

注意：二次项系数a70,而b,c可以为零.

二次函数y=ax2+bx+c的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量X的二次式，X的最高次数是2.

⑵a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.

用待定系数法求二次函数的解析式：

(1)一般式：y=⑪2+Ax+c.已知图像上三点或三对％、y的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：y=a(x-*)2+左.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

交点式：已知图像与％轴的交点坐标％、通常选用交点式：y=a(x-

(3)x2,x；)(x-x2).

翼例引微

^4__J____j_________I_____L*

一、单选题

1.下列函数中，是二次函数的是（）

2

A.y=x+2B.y=）

x

C.y=（2x—Ip—4?D.y=2-3x2

2.下列各点中，在二次函数y=8%-9图象上的点是（）

A.（-1,-16）B.（1,-16）C.（—3,—8）D.（3,24）

3.若函数＞=（根-3），中+5是关于%的二次函数，则加二（）

A.-3B.3C.3或一3D.2

4.已知抛物线,=--+-+4经过（-2,T）和（4,〃）两点，则"的值为（）

A.-2B.-4C.2D.4

5.已知二次函数的图象经过（T。），（2,0）,（0,2）三点，则该函数的解析式为（）

A.y——/+%+2B.y=炉+x—2C.y-%?+3x+2D.y———%+2

6.将抛物线》=(%-1丫+2沿y轴折叠后得到的新抛物线的解析式为()

A.y=(x+1)2—2B.y=(x-1)2-2C.y=—(x—l)2—2D.=(x+1)2+2

7.小宇利用描点法画二次函数丁=仆2+区+°（〃。0）的图象时，先取自变量工的一些值，计算出相应的函数

值y,如下表所示：

X01234

y40-103

接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（）A.%=4,y=3

B.x=3,y=0C.x=2,y=-lD.x=0,y=4

8.二次函数》=奴2+陵+。（〃，b,c为常数，且QW。）中的x与y的部分对应值如表，下列选项正确的是

()

X......-20134......

y......6-4-6-4m......

A.m=6B.这个函数的图像与x轴无交点

C.二次函数;y=ax2+bx+c有最小值-6D.当x＜l,y的值随x值得增大而减小

二、填空题

9.已知关于X的二次函数＞=(〃―1的图象经过原点，则〃2的值为.

10.写出一个开口向上，且与y轴的负半轴相交的抛物线的解析式：.

11.函数y=依+1)的图象是抛物线，则左的值是.

12.已知函数y=(A-l)/M+2x-l为二次函数，则上的值为.

13.已知抛物线〉=9+如+”的图象经过(-3,0),(1,0),则此抛物线的顶点坐标是

在重点考向

二、二次函数的图像与性质

1.二次函数的图象：二次函数^=。/+桁+。的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线

抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a决定抛物线的开口方向：

当。＞0时，开口向上；当。＜0时，开口向下；时相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴(或重合)的直线记作x=丸.特别地，y轴记作直线尤=0.

③顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、

开口大小完全相同，只是顶点的位置不同

求抛物线的顶点、对称轴：

y=ax2+bx+c=Jx+-^-\.'.顶点坐标(--匕"，')对称轴是直线1=一2~

2a)4〃la4a2a

2.二次函数的性质

二次函数y=ax2+bx+c的性质对应在它的图象上，有如下性质:

二次函数的图象及性质

2

y=a^y=ax2y=a(x+m)y=a[x+c)2y=ax2_C2b、

y—xH-----

,I

抛物线+c+ca)

4ac-b2

+-----------

4a

开口方向当。＞0时开口向上，并向上无限延伸；

当〃V0时开口向下，并无限向下延伸。

顶点坐标(0,0)(0,c)(-m,0)(-m,k)

b4ac-b2

(-,)

2a4a

b

对称轴y轴y轴直线x=-m直线x=-m直线x=-2

2a

X=0时x=o时X=-m时X=-m时

X=-；^-时，^min=^aC~~T~

a>0

A"。^nin=CL=0^nin=C2a4a

最

值x=o时X=0时X=-m时X=-m时

a<0X=---时，2出=4cic----

Ain二。20Ain二。2a4a

在对称轴左侧，y随X的增大而减小

a>0

增在对称轴右侧，y随x的增大而增大支x

减在对称轴左侧，y随尤的增大而增大

性

a<0在对称轴右侧，y随x的增大而增大

4.二次函数产。*2+加+。(。用)的系数a,b,c,△与抛物线的关系

a。决定开口方向：当a>0时开口向上，a<0时开口向下。

a、。同时决定对称轴位置：a、6同号时对称轴在y轴左侧

a,ba、。异号时对称轴在y轴右侧

6=0时对称轴是y轴

c决定抛物线与y轴的交点：c>0时抛物线交y轴的正半轴

cc=0时抛物线过原点

c<Q时抛物线交y轴的负半轴

△决定抛物线与x轴的交点：△>0时抛物线与无轴有两个交点

△△=0时抛物线与x轴有一个交点

△<0时抛物线与x轴没有交点

0

典例引微

1________._______________।L-

一、单选题

1.将抛物线y=4-(尤+1)2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线必定经过点()

A.(-2,2)B.(-1,1)C.(0,6)D.(1,-3)

2.抛物线y=/+x+2,点(2,a),(-1,b),(3,c),则a、b、c的大小关系是()

A.c>a>bB.b>a>c

C.a>b>cD.无法比较大小

3.若二次函数y=-V+2&+3的图象与无轴交点个数为（）

A.0B.1C.2D.以上都不对

4.下列关于二次函数y=4（x-3）2-5的说法，正确的是（）

A.对称轴是直线x=-3B.当x=3时有最小值-5

C.顶点坐标是（3,5）D.当x＞3时，y随x的增大而减少

5.一次函数y=or+b与二次函数y=a无2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（）

6.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数＞=依2+法+。的图象过点（1,0）……求

证这个二次函数的图象关于直线x=2对称，根据现有信息，题中的二次函数一定不具有的性质是（）

A.过点（3,0）B.顶点是G2,2）

C.在X轴上截得的线段的长是2D.与y轴的交点是（0,3）

7.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，

足球距离地面的高度耳（单位：加）与足球被踢出后经过的时间f（单位：s）之间的关系如表：

t01234567

h08141820201814

Q

下列结论：①足球距离地面的最大高度超过20m；②足球飞行路线的对称轴是直线f=］；③点（9,0）在

该抛物线上；④足球被踢出5s〜7s时，距离地面的高度逐渐下降.其中正确的结论是（）A.②③

B.①②③C.①②③④D.②③④

8.小明在研究抛物线y=-（x-/z）2-/7+l（/z为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（）

A.无论尤取何实数，y的值都小于0

B.该抛物线的顶点始终在直线y=上

C.当-1＜无＜2时，y随尤的增大而增大，则

D.该抛物线上有两点4（百,%），B（X2,J2）,若%＜%,尤i+尤2＜2〃，则为

9.如图，抛物线y=（x-a）2+//（。＞0）与y轴交于点直线y=；尤经过抛物线顶点过点2作8A〃尤

轴，与抛物线交于点C,与直线y=g无交于点A,若点C恰为线段中点，则线段0A长度为（）

A.726B.3石C.延D.生叵

33

10.如图，二次函数>=点+加；+。的图像与X轴交于点A（-1,0）,与y轴的交点B在（0,2）与（0,3）

之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2,下列结论：①Mc<0；②9a+3b+c>0；③若点

点N1|,yJ是函数图像上的两点，则”>V；©-1<a<-|；⑤c—3a>0,其中正确结论有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、填空题

11.抛物线'=/-x的顶点坐标是.

12.已知抛物线y=*-x-1与x轴的一个交点为G”。），则代数式-3疗+3m+2022的值为.

13.已知二次函数y=（x+m）2+2,当尤>2时，y的值随x值的增大而增大，则实数机的取值范围是.

14.将抛物线丁=-2（》+3『+3以原点为中心旋转180度得到的抛物线解析式为.

15.如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=-0.2/+尤+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的

中心离地面的高度为3.05m,则他距篮筐中心的水平距离OH是m.

16.已知二次函数%=依2+云+。（<2工0）与一次函数为=如+〃（加二。）的图象相交于点4（-1,6）和3（7,3）,如

图所不，则使不等式加+&v+c<〃a+〃成立的X的取值范围是

17.如图，二次函数〉=。/+灰+<:的图像与无轴相交于点A、B,与y轴相交于点C.过点C作C£>_Ly轴,

交该图像于点D若8（8,0）、£>（6,4）,则AASC的面积为

18.定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”如：3（3,0）、C（-l,3）

都是“整点”.当抛物线>=以2-4依+1与其关于X轴对称抛物线围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整

点时，。的取值范围______.

三、解答题

19.如图，抛物线>的图像经过A(4,0)、3(0,-4)两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点A先向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点C,请判断点C是否在抛物线上.

20.如图，直线％=-；x+2与无轴交于点8.抛物线为=-gY+法+。与该直线交于A、8两点，交y轴于

点D(0,4),顶点为C.

(1)求抛物线的函数解析式，并求出点A的坐标.

(2)求二次函数图像与x轴的交点E的坐标，并结合图像，直接写出当才%时，％的取值范围.

21.二次函数y=(m+l)x2-2(/71+l)x-2m+4.

(1)求该二次函数图象的对称轴；

(2)若图象过点4-2,〃)，且求加z的取值范围；

⑶若点尸(4％),。(2,力)在该二次函数图象上，且%«%，求玉的取值范围.

22.“燃情冰雪，一起向未来”，北京冬奥会于2022年2月4日如约而至，某商家看准商机，进行冬奥会吉

祥物“冰墩墩”纪念品的销售，每个纪念品进价40元.规定销售单价不低于44元，且不高于60元.销售期

间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，由于销售火爆，商家决定提价销售.经市场调研发

现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个.

(1)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2640元；

(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？

23.如图，已知抛物线>=以2+5尤+4的对称轴是直线x=3,且与x轴相交于A、8两点(B点在A点的右

侧)，与y轴交于C点.

(1)A点的坐标是；B点坐标是:

(2)求直线8c的解析式；

（3）点尸是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与8、C重合），是否存在点P,使APBC的面积最大.若

存在，请求出△P8C的最大面积，若不存在，试说明理由；

（4）若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M

点坐标.

在重声考向

三、二次函数的实际应用

1、列二次函数解应用题

列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，

表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式.对于应用题要注意以下步骤：

（1）审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量

关系（即函数关系）.

（2）设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确.

（3）列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数.

（4）按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

（5）检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案.

（6）写出答案.

要点：

常见的问题：求最大（小）值（如求最大利润、最大面积、最小周长等）、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线

的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.

2、建立二次函数模型求解实际问题

一般步骤：（1）恰当地建立直角坐标系；（2）将已知条件转化为点的坐标；（3）合理地设出所求函数关系

式；（4）代入已知条件或点的坐标，求出关系式；（5）利用关系式求解问题.

要点:

（D利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在

的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题

时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.

（2）对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：

①首先必须了解二次函数的基本性质；

②学会从实际问题中建立二次函数的模型；

③借助二次函数的性质来解决实际问题.

真例引顺

JJ■_____।_____L-

一、单选题

1.从高处自由下落的物体，下落距离S与下落时间r的平方成正比.若某一物体从125米高度自由下落，5

秒落地，则下落1秒时，距离地面的高度为（）

A.5米B.25米C.100米D.120米

2.我校办公楼前的花园是一道美丽的风景，现计划在花园里再加上一喷水装置，水从地面喷出，如图，以

水平地面为x轴，出水点为原点建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-f+5x（单位：

米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）

“兴米）

//\、

1/■,

°x（米）

A.4.5米B.5米C.6.25米D.7米

3.2019年在武汉市举行了军运会.在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线

y=-]-x2+x+^的一部分（如图），其中出球点B离地面。点的距离是之米,球落地点A到。点的距离是（）

444

A.1米B.3米C.5米D.一米

16

4.如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球在地面上的落点为8,网球飞行路线是

一条抛物线，小明在直线上点C（靠点8一侧）右侧竖直向上摆放若干个无盖的、直径为0.5米，高为

0.3米的圆柱形桶（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）.已知AB=4米，AC=3米，网球飞行的最大

高度OM=3米，若要使网球能落入桶内，则至少需摆放圆柱形桶（）.

A.4个B.5个C.6个D.7个

5.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台.运动员起跳后的飞行路线可

以看作是抛物线的一部分.从起跳到着陆的过程中，运动员起跳后的竖直高度》（单位：m）与水平距离x

（单位：m）近似满足函数关系y=a（x-/z）2+Ma<0）.如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据,

根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）.

V/m

A.4mB.7mC.8mD.10m

6.洗手盘台面上有一瓶洗手液.当同学用一定的力按住顶部A下压如图位置时，洗手液从喷口8流出，路

线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点.洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形同学测得:

洗手液瓶子的底面直径G"=12cm,喷嘴位置点8距台面的距离为16cm,且8、D、H三点共线.在距离

台面15.5cm处接洗手液时，手心。到直线板的水平距离为女m,不去接则洗手液落在台面的位置距期的

水平面是（）cm

C.126D.12-72

二、填空题

7.如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升0.5米后，水

面的宽度为米.（结果可带根号）

<—4—>

8.两辆车A和&从相同标记处同时出发，沿直线同方向行驶，并且由出发点开始计时，行驶的距离x与

行驶时间f的函数关系分别为：无A=$3+2/和4=〃+次,求：

(1)它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是;

(2)它们出发后，B车相对A车速度为零的时刻是.

9.小亮和小明在篮球场练习投篮，小亮投篮时篮球出手的高度是1.7米，篮球的运行路线是抛物线的一部

分，篮球运行的水平距离为3米时达到最高点，最高点的高度是3.5米，篮筐的高度是3.05米，结果小亮

恰好命中篮筐，建立如图所示的平面直角坐标系(篮球和篮筐均看作一个点)，y轴经过抛物线的顶点，解答

下列问题.

(1)小亮投篮时篮球运行路线所在抛物线的解析式为；

(2)小亮投篮时与篮筐的水平距离L为；

(3)小亮投篮后篮球被篮筐弹了出来，恰被离篮筐水平距离为5米处的小明跳起来接住.已知篮球弹出后

运行路线也是抛物线的一部分(两抛物线在同一平面内)，运行的水平距离为2米时到达最高点，小明接球的

高度为2.3米.则篮球弹出后最高点的高度为；

三、解答题

10.如图，有长为12加的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a为5m),设花圃的宽A3为xm,面积

为Sm?.

a

B'-----------------------'C

(1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围；

(2)要围成面积为9m2的花圃，A2的长是多少米？

(3)当A3的长是多少米时，围成的花圃面积最大？

11.某商人将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销出100件.他想采用提高售价的办法

来增加利润.经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件.请问每件售价提高多

少元时，才能使一天的利润最大？最大利润是多少元？

12.某公司研发了一款成本为30元的新型产品，投放市场进行销售.按照物价部门规定，销售单价不低于

成本且不高于70元，调研发现每天的销售量y(个)与销售单价x(元)满足一次函数关系，其图象如图所

示.

（1）求每天的销售量y（个）与销售单价x（元）的函数关系式；

（2）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

13.图1是一个倾斜角为。的斜坡的横截面.斜坡顶端8与地面的距离为3米.为了对这个斜坡上的绿

地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A,8C与喷头A的水平距离为6米，喷头A喷出的水珠在空中走

过的曲线可以看作抛物线的一部分.设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与水

平地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为尤（单位：米），y与x之间近似满足二次函数关系，图2记录了

尤与y的相关数据，其中当水珠与喷头A的水平距离为4米时，喷出的水珠达到最大高度4米.

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）斜坡上有一棵高1.9米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水珠能否越过这

棵树.

诬模拟检测

一、单选题

1.二次函数y=-（x-2）2-3的图像的顶点坐标是（）

A.（2,3）B.（2,-3）C.（-2,3）D.（-2,-3）

2.下列抛物线中，对称轴是y轴的抛物线是（）

A.y=x2-lB.y=（x+l）-C.y=x2+xD.y=x2-x-1

3.将抛物线＞=3炉+1绕原点。旋转180。，则旋转后的抛物线的解析式为（）

A.y——2X2+1B.y=—2x2—1

11

C.y=——x9+1D.y=——x9-1

22

4.下列函数中，当元＞0时，＞值随x值增大而减小的是（）

22

A.y=—xB.y=-x+lC.y=——D.y=x2+1

3x

5.在下列函数中，同时具备以下三个特征的是（）

①图像经过点（1,1）；②图像经过第三象限；③当x<0时，y的值随x的值增大而增大

A.y=-x2+2B.y=C.y=-2x+3D.y=-

X

6.将抛物线y=2d向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新抛物线和原抛物线相比，不变的是

（）

A.对称轴B.开口方向C.和y轴的交点D.顶点.

7.小明准备画一个二次函数的图像，他首先列表（如下），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了

墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（）

X-10123

y3430

A.-1B.3C.4D.0

8.二次函数y=a^+笈+。（。*0）的图象如图所示，下列说法正确的是（）

B.4a+2b+c>0

C.c>0D.当x=l时，函数有最小值

9.如图，已知抛物线y=^+bx+c经过点（-1,0）,与y轴交于（0,2）,且顶点在第一象限，那么下列

结论：①a+c=b；②x=-l是方程尔+儿：+0=0的解；③a6c>0；®c-a>2,其中正确的结论为（）

C.①②④D.①②③④

10.下列关于二次函数尸/-3的图象与性质的描述，不正确的是（）

A.该函数图象的开口向上

B.函数值y随着自变量x的值的增大而增大

C.该函数图象关于y轴对称

D.该函数图象可由函数y=『的图象平移得到

二、填空题

11.如果二次函数y=(a-l)Y的图像在y轴的右侧部分是下降的，写出符合条件的一个。的值是.

12.将抛物线C向左平移2个单位，向上平移1个单位后，所得抛物线为y=(x-l)2,则抛物线C解析式为

13.抛物线y=f-4x+3的顶点坐标是.

14.如果抛物线y=(A+l)无2有最高点，那么上的取值范围是.

15.如果抛物线丫=加+6尤+c(a*O)的对称轴是直线x=l,那么2a+60.(从＜,=,＞中选择)

16.一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x(x＞0)厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关

于尤的函数解析式为一.

3

17.如图，点A在直线上，如果把抛物线y=N沿方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表

达式为.

18.当两条曲线关于某直线/对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线/的对称曲线，如果抛物线

G：y=/-2x与抛物线CZ关于直线尸一1的对称曲线，那么抛物线C2的表达式为

三、解答题

19.已知抛物线＞=2尤2—4X一6.

(1)请用配方法求出顶点的坐标；

(2)如果该抛物线沿x轴向左平移机(机＞0)个单位后经过原点，求的值.

20.已知抛物线y=-2/+fev+c经过点A(0,l)、.

（1）求抛物线的表达式；

（2）把表达式化成>=-2（*+加）2+左的形式，并写出顶点坐标与对称轴.

21.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x,y）满足下表：

X-1012

y-4-228

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴.

22.我们已经知道二次函数y=62+bx+c（a<0）的图像是一条抛物线.研究二次函数的图像与性质，我们

主要关注抛物线的对称轴、抛物线的开口方向、抛物线的最高点（或最低点）的坐标、抛物线与坐标轴的

交点坐标、抛物线的上升或下降情况（沿x轴的正方向看）.

已知一个二次函数y=ax2+bx+c（a*0）的大致图像如图所示.

（1）你可以获得该二次函数的哪些信息？（写出四条信息即可）

（2）依据目前的信息，你可以求出这个二次函数的解析式吗？如果可以，请求出这个二次函数的解析式;

如果不可以，请补充一个条件，并求出这个二次函数的解析式.

23.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-；x+2与x轴、y轴分别交于点A、B.抛物线

>=-；/+法+。经过点A、2顶点为C.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)将抛物线沿y轴向上平移，平移后所得新抛物线顶点为。，如果求平移的距离；

(3)设抛物线上点M的横坐标为他，将抛物线向左平移3个单位，如果点M的对应点。落在内，求优

的取值范围.

专题09二次函数

二次函数是初中数学的重要内容之一，也是历年中考的重点。这部分知识命题形式比

较灵活，既有填空题、选择题，又有解答题，而且常与方程、几何、锐角的三角比在一起，

显现在解答题中。因此，熟练把握二次函数的相关知识，会灵活运用一般式、顶点式、交点

式求二次函数的解析式是解决综合应用题的基础和关键。

先知巧导图

二次函数二次函数的

的定义图像及性质

二次函数

「二x国鼓与)

-563劝

【程的关系J

二次函数二次函数解

的应用析式的求法设法

1R：豆的,

实际应用,

在重点考向

一、二次函数的概念

概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，aK0)的函数，叫做二次函

数。

注意：二次项系数a40,而b,c可以为零.

二次函数y=ax2+bx+c的结构特征：

⑶等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.

⑷a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.

用待定系数法求二次函数的解析式：

⑴一般式：y=ax?+Z?x+c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：y=a(无-左.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(3)交点式：已知图像与％轴的交点坐标七、/，通常选用交点式：

y=-x；X%-x2).

翼例引微

一、单选题

1.下列函数中，是二次函数的是（

y=（2尤一1）——4x2y=2-3x2

【答案】D

【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可.

【解析】解：A、＞=尤+2未知数的最高次不是2,不是二次函数，不符合题意;

2

B、y=r未知数的最高次不是2,不是二次函数，不符合题意；

C、y=（2x-l）--4/=4*2—4x+l-4尤2=-4x+l未知数的最高次不是2,不是二次函数,

不符合题意；

D、＞=2-3/是二次函数，符合题意；

故选D.

【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如丫=以2+灰+。（。*0）的函数叫做

二次函数.

2.下列各点中，在二次函数丁=/-8尤-9图象上的点是（）

A.（―1,—16）B.（1,—16）C.（一3,—8）D.（3,24）

【答案】B

【分析】把选项坐标代入二次函数验证即可.

【解析】A.y=l+8-9=0?16,选项错误，不符合题意；

B.y=l-8-9=-16=-16,选项正确，符合题意；

C.＞=9+24-9=24?8,选项错误，不符合题意；

D.y=9-24-9=-24?24,选项错误，不符合题意.

故选：B.

【点睛】此题考查了二次函数，解题的关键是把选项坐标代入二次函数验证.

3.若函数＞=（”7-3）物一+5是关于x的二次函数，则（）

A.-3B.3C.3或-3D.2

【答案】A

【A析】根据二次函数的定义进行求解即可.

【解析】解：：函数y=（m—3）J"H+5是关于X的二次函数，

|m|-1=2

m-3^0

m=—3,

故选A.

【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知形如，=改2+笈+°（。片0）的函数是二次函

数是解题的关键.

4.已知抛物线＞=-/+/+4经过（-2,7）和（4,〃）两点，则〃的值为（）

A.-2B.-4C.2D.4

【答案】B

【分析】将（-2,T）代入解析式，求出b值，再将（4,〃）代入解析式，求出〃值即可.

【解析】解：将（-2,7）代入函数解析式，得：-4=-（-2）2+（-2）/）+4,

解得：6=2,

y——x?+2,x+4,

当x=4时，y=-42+2x4+4=4,即：n=-4；

故选：B.

【点睛】本题考查求二次函数的函数值.解题的关键的是利用待定系数法，正确的求出二次

函数解析式.

5.已知二次函数的图象经过（-L0）,（2,0）,（0,2）三点，则该函数的解析式为（）

A.y——x?+x+2B.y=+x—2C.y=X？+3尤+2D.y=—x?—x+2

【答案】A

【分析】根据二次函数图象经过三点，可以设二次函数一般式求出解析式

【解析】解：设yuad+At+c,

把（-1,0）,（2,0）,（0,2）分别代入户加+法+G得

a-b+c=0

<4a+2b+c=0,

c=2

解得a=-l,b=l,c=2,

；•该函数的解析式是：y=-/+》+2,

故选：A

【点睛】此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征，掌

握用二次函数一般式求出解析式是解题关键.

6.将抛物线y=（x-l）2+2沿y轴折叠后得到的新抛物线的解析式为（）

A.y=（x+1）2—2B.y=（尤_1）一一2C.y=—（无一1）__2D.y=（x+l/+2

【答案】D

【分析】关于〉轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此解答即可.

【解析】解：根据题意，得

翻折后抛物线的解析式的解析式为：y=（-x-l）2+2.

即y=（x+i）-+2.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换.总结：关于X轴对称的两点横坐标相同，纵

坐标坐标互为相反数.关于y轴对称的两点纵坐标相同，横坐标坐标互为相反数.关于原点

对称的两点横、纵坐标均互为相反数.

7.小宇利用描点法画二次函数了=62+及+C（。*0）的图象时，先取自变量尤的一些值，计

算出相应的函数值y,如下表所示:

X0i234

y40-103

接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（）

A.x-4,y-3B.元=3,y=0C.x=2,y=-lD.尤=0,y=4

【答案】D

【分析】利用表中数据和二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=2,则顶点坐标为

（2-1）,再利用待定系数法求出二次函数解析式，进行验证.

【解析】=l和x=3时，y=o；

...抛物线的对称轴为直线x=2,

顶点坐标为（2,-1）,

设抛物线为y=a（x-2）2-1,

把x=l,y=0代入得0=a-1,

••a=1,

该二次函数解析式为y=（》-2）2-1,

当x=0时，y=22-l=3^4,

<'.%=0,y=4错误.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的图象，找出图表数据特点，根据函数的对称性解答即可，注

意进行验证，以确保判定的正确性.

8.二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，且awO）中的x与y的部分对应值如表，下

列选项正确的是（）

X......-20134......

y......6-4-6-4m......

A.m=6B.这个函数的图像与x轴无交点

C.二次函数y=#+8x+c有最小值-6D,当x<l,y的值随尤值得增大而减小

【答案】D

【分析】根据表格数据求出二次函数的表达式，从而根据二次函数的性质判断各选项.

【解析】解：：根据二次函数的x与y的部分对应值图，

当x=-2时，y=6,当x=O时，y=-4,当x=l时，>=一6,

6=4a-2b+ca=l

<-4=c,解得：<匕=一3,

-6=a+b+cc=-4

y=x2-3x-4,

令x=4,贝|加=y=4?—3x4—4=0,故A错误；

（-3）2-4xlx（T）=25>0,

这个函数的图像与x轴有两个交点，故B错误；

函数有最小值为4x1x（一勺-（-3）2=一"，故c错误，

4x14

-33

・・,抛物线的对称轴为直线％=-~=T，开口向上，

ZXI.L

3

•••当天<5,y的值随尤