新高考数学一轮复习讲练测第3章第03讲 极值与最值（讲义）（原卷版）

第03讲极值与最值知识点一：极值与最值1、函数的极值函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0附近有定义，如果对SKIPIF1<0附近的所有点都有SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0是函数的一个极大值，记作SKIPIF1<0．如果对SKIPIF1<0附近的所有点都有SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0是函数的一个极小值，记作SKIPIF1<0．极大值与极小值统称为极值，称SKIPIF1<0为极值点．求可导函数SKIPIF1<0极值的一般步骤（1）先确定函数SKIPIF1<0的定义域；（2）求导数SKIPIF1<0；（3）求方程SKIPIF1<0的根；（4）检验SKIPIF1<0在方程SKIPIF1<0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数SKIPIF1<0在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数SKIPIF1<0在这个根处取得极小值．注：①可导函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处取得极值的充要条件是：SKIPIF1<0是导函数的变号零点，即SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0左侧与右侧，SKIPIF1<0的符号导号．②SKIPIF1<0是SKIPIF1<0为极值点的既不充分也不必要条件，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数SKIPIF1<0，在极小值点SKIPIF1<0是不可导的，于是有如下结论：SKIPIF1<0为可导函数SKIPIF1<0的极值点SKIPIF1<0；但SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的极值点．2、函数的最值函数SKIPIF1<0最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数SKIPIF1<0最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为SKIPIF1<0（1）当SKIPIF1<0时，最大值是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中的最大者；最小值是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中的最小者．（2）当SKIPIF1<0时，最大值是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中的最大者；最小值是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中的最小者．一般地，设SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的函数，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有导数，求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的极值（极大值或极小值）；（2）将SKIPIF1<0的各极值与SKIPIF1<0和SKIPIF1<0比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．【解题方法总结】（1）若函数SKIPIF1<0在区间D上存在最小值SKIPIF1<0和最大值SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0在区间D上恒成立SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在区间D上恒成立SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在区间D上恒成立SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在区间D上恒成立SKIPIF1<0；（2）若函数SKIPIF1<0在区间D上不存在最大（小）值，且值域为SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0在区间D上恒成立SKIPIF1<0．不等式SKIPIF1<0在区间D上恒成立SKIPIF1<0．（3）若函数SKIPIF1<0在区间Ｄ上存在最小值SKIPIF1<0和最大值SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则对不等式有解问题有以下结论：不等式SKIPIF1<0在区间D上有解SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在区间D上有解SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在区间D上有解SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在区间D上有解SKIPIF1<0；（4）若函数SKIPIF1<0在区间D上不存在最大（小）值，如值域为SKIPIF1<0，则对不等式有解问题有以下结论：不等式SKIPIF1<0在区间D上有解SKIPIF1<0不等式SKIPIF1<0在区间D上有解SKIPIF1<0（5）对于任意的SKIPIF1<0，总存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；（6）对于任意的SKIPIF1<0，总存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；（7）若存在SKIPIF1<0，对于任意的SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；（8）若存在SKIPIF1<0，对于任意的SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；（9）对于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0；（10）对于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0；（11）若存在SKIPIF1<0，总存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0（12）若存在SKIPIF1<0，总存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．题型一：求函数的极值与极值点【例1】（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0存在一个极大值SKIPIF1<0与一个极小值SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0至少有（

）个单调区间.A．3 B．4 C．5 D．6【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数SKIPIF1<0的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．函数SKIPIF1<0在x＝c处取得最大值，在SKIPIF1<0处取得最小值C．函数SKIPIF1<0在x＝c处取得极大值，在SKIPIF1<0处取得极小值D．函数SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0【对点训练2】（2023·全国·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个零点”是“SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个极值点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【对点训练3】（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导函数．(1)当SKIPIF1<0时，过点SKIPIF1<0作曲线SKIPIF1<0的切线，求切点坐标；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的零点均在集合SKIPIF1<0中，求SKIPIF1<0的极小值．【对点训练4】（2023·河北·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0．(1)证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有唯一的极值点为SKIPIF1<0，并求SKIPIF1<0取最大值时SKIPIF1<0的值；(2)当SKIPIF1<0时，讨论SKIPIF1<0极值点的个数．【对点训练5】（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0的极值；【解题方法总结】1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程SKIPIF1<0根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越SKIPIF1<0轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与SKIPIF1<0轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．题型二：根据极值、极值点求参数【例2】（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值4，则SKIPIF1<0（

）A．8 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【对点训练6】（2023·陕西商洛·统考三模）若函数SKIPIF1<0无极值，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【对点训练7】（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在极值，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【对点训练8】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【对点训练9】（2023·广东梅州·梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0有两个极值点，则实数a的取值范围（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【对点训练10】（2023·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）若x＝a是函数SKIPIF1<0的极大值点，则a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解题方法总结】根据函数的极值（点）求参数的两个要领（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；（2）验证：求解后验证根的合理性．题型三：求函数的最值（不含参）【例3】（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知函数SKIPIF1<0.(1)求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)求SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值；【对点训练11】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上最大值为M，最小值为m，则SKIPIF1<0的值是_______.【对点训练12】（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是________．【对点训练13】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的最小值为______.【对点训练14】（2023·山西·高三校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为__________.【对点训练15】（2023·海南海口·统考模拟预测）已知正实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为______.【解题方法总结】求函数SKIPIF1<0在闭区间SKIPIF1<0上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的各极值进行比较得到函数的最值．题型四：求函数的最值（含参）【例4】（2023·天津和平·统考三模）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.(1)若曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线SKIPIF1<0平行，求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的最小值；(3)若SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.【对点训练16】（2023·全国·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．讨论函数SKIPIF1<0的最值；【对点训练17】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．(1)若a=2，求SKIPIF1<0的单调区间；(2)已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．（参考数据：SKIPIF1<0）【对点训练18】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，讨论函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调性；(2)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的最大值；【对点训练19】（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0存在最大值M，证明：SKIPIF1<0；(2)在（1）的条件下，设函数SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值（用含M，k的代数式表示）．【解题方法总结】若所给的闭区间SKIPIF1<0含参数，则需对函数SKIPIF1<0求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数SKIPIF1<0的最值．题型五：根据最值求参数【例5】（2023·四川宜宾·统考三模）已知函数SKIPIF1<0.(1)讨论函数SKIPIF1<0的极值点个数；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，求实数m的所有可能值.【对点训练20】（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在最小值，则整数SKIPIF1<0的取值可以是______．【对点训练21】（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有最小值，则实数SKIPIF1<0的取值范围为________.【对点训练22】（2023·福建泉州·高三统考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0的最小值为0，则a的取值范围为______________．【对点训练23】（2023·江苏南通·高三校考开学考试）若函数SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【对点训练24】（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在最大值，则实数SKIPIF1<0的取值范围为_______【对点训练25】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在最小值.则实数SKIPIF1<0的取值范围是________.题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用【例6】（2023·天津河北·统考二模）已知SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，其中e是自然对数的底数.(1)当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的单调区间；(3)求证：函数SKIPIF1<0存在极值点，并求极值点SKIPIF1<0的最小值.【对点训练26】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的极值；(2)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值为5，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【对点训练27】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的极值点；(2)求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最值．【对点训练28】（2023·全国·高三专题练习）设函数SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极值点．(1)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调递减，求实数m的取值范围；(2)讨论函数SKIPIF1<0的零点个数；(3)求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的最值．题型七：不等式恒成立与存在性问题【例7】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）若存在实数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），使得关于x的不等式SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，则b的最大值是_________.【对点训练29】（2023·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）若不等式SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，则a的取值范围是______.【对点训练30】（2023·全国·高三专题练习）若存在SKIPIF1<0，使得不等式SKIPIF1<0成立，则m的取值范