新高考数学一轮复习讲练测第7章第05讲 空间向量及其应用（练习）（原卷版）

第05讲空间向量及其应用（模拟精练+真题演练）1．（2023·内蒙古乌兰察布·校考三模）正方体SKIPIF1<0中，E，F分别是SKIPIF1<0的中点，则直线SKIPIF1<0与EF所成角的余弦值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）定义两个向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的向量积是SKIPIF1<0一个向量，它的模SKIPIF1<0，它的方向与SKIPIF1<0和SKIPIF1<0同时垂直，且以SKIPIF1<0的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体SKIPIF1<0中，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0. C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0

4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0是正三角形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2023·云南保山·统考二模）已知正方体SKIPIF1<0，Q为上底面SKIPIF1<0所在平面内的动点，当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的所成角为45°时，点Q的轨迹为（

）A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆6．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在空间直角坐标系中，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，空间一点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑.如图，在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2023·江西·校联考模拟预测）在空间直角坐标系中，已知SKIPIF1<0，则当点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离最小时，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（多选题）（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知空间单位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两两夹角均为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法中正确的是（

）A．SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点可以共面B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<010．（多选题）（2023·海南海口·校考模拟预测）在长方体SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上（含端点）的一动点，则下列说法正确的是（

）A．该长方体外接球表面积为SKIPIF1<0 B．三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最大值为1

11．（多选题）（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，在各棱长均为2的正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）

A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<012．（多选题）（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）如图，在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的动点，则下列说法正确的是（

）

A．不存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0B．存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0C．对于任意点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离的取值范围为SKIPIF1<0D．对于任意点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是钝角三角形

13．（2023·河北·统考模拟预测）点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是正四面体ABCD棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0．14．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）在空间直角坐标系中，一四面体的四个顶点坐标分别为SKIPIF1<0，则其体积为．15．（2023·北京大兴·校考三模）如图，在正方体SKIPIF1<0，中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点.给出下列四个结论:

①存在点SKIPIF1<0，存在点SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0；②任意点SKIPIF1<0，存在点SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0；③任意点SKIPIF1<0，存在点SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0；④任意点SKIPIF1<0，存在点SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0.其中所有正确结论的序号是.16．（2023·全国·模拟预测）已知长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上靠近点SKIPIF1<0的三等分点，记直线SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0之间的大小关系为．（横线上按照从小到大的顺序进行书写）17．（2023·广东·校联考模拟预测）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的中点.

(1)求三棱锥SKIPIF1<0的体积；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值.18．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在三棱台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成二面角大小为SKIPIF1<0，求三棱锥SKIPIF1<0的体积．

19．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是边长为2的菱形，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0.

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值.20．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）如图，在正四棱台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，棱SKIPIF1<0上存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．

(1)求SKIPIF1<0；(2)当正四棱台SKIPIF1<0的体积最大时，求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．

21．（2023·山东潍坊·三模）如图，SKIPIF1<0为圆锥的顶点，SKIPIF1<0是圆锥底面的圆心，SKIPIF1<0为底面直径，SKIPIF1<0为底面圆SKIPIF1<0的内接正三角形，且边长为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在母线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.

(1)求证：直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(3)若点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的动点．当直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值最大时，求此时点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离..1．（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）证明：SKIPIF1<0；（2）点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，当二面角SKIPIF1<0为SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0．2．（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点．（1）证明SKIPIF1<0；（2）点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．3．（2023•北京）如图，四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（Ⅰ）求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（Ⅱ）求二面角SKIPIF1<0的大小．4．（2022•新高考Ⅱ）如图，SKIPIF1<0是三棱锥SKIPIF1<0的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．（1）证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．5．（2022•北京）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0为正方形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点．（Ⅰ）求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．条件①：SKIPIF1<0；条件②：SKIPIF1<0．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．6．（2022•浙江）如图，已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的平面角为SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点．（Ⅰ）证明：SKIPIF1<0；（Ⅱ）求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．7．（2022•甲卷）在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）证明：SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值．8．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱SKIPIF1<0的体积为4，△SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离；（2）设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．9．（2022•天津）直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0