湖北省咸宁市崇阳县第二高级中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年度崇阳县第二高级中学高二年级期中考试数学试卷考试时间：11月26日本试题卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A.B.C.D.2.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（）A.B.C.D.3.若直线与互相垂直，则的值为（）A.B.1C.0或D.1或4.若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.5.在一次歌唱比赛中，有5位评委给某选手打分（分数不全相同）.与原始分数相比，去掉一个最高分和一个最低分之后，一定发生改变的是（）A.平均数B.众数C.中位数D.方差6.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的最大盛水量为（）A.B.C.D.7.如图，在正方体中，分别为棱的中点.下列结论正确的是（）A.平面B.平面C.平面D.平面8.若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知事件满足，则（）A.若，则B.若与互斥，则C.若，则与相互独立D.若与相互独立，则10.已知点动点满足，则下面结论正确的为（）A.点的轨迹方程为B.点到原点的距离的最大值为5C.面积的最大值为4D.的最大值为1811.已知圆的半径为定长是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时，下列判断正确的是（）A.当点在圆内（不与圆心重合）时，点的轨迹是椭圆B.点的轨迹可能是一个定点C.点的轨迹不可能是圆D.当点在圆外时，点的轨迹是双曲线三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.圆与圆相交于A､两点，则__________.13.已知某组数据为.它的平均数为8，方差为6，则的值为__________.14.已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于两点，，则椭圆的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知的三个顶点分别是（1）求边上的中线所在直线方程；（2）求的面积.16.（本小题满分15分）某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）；（2）现采用按比例分层抽样的方式从和的学生中抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者分数差大于10分的概率.17.（本小题满分15分）已知圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，圆.（1）求的方程；（2）若与外切，求实数的值.18.（本小题满分17分）如图，已知四棱锥中，平面是边长为2的正三角形，点在平面内的投影恰好是的中心.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19.（本小题满分17分）如图，已知椭圆上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点.（1）求椭圆的方程；（2）若，求直线的方程；（3）当直线均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.高二年级期中考试数学试卷参考答案：题号1234567891011答案CDDDDBACBCABDABD10.ABD【详解】设动点，则由得：，即，化简得：，即，所以A选项正确；所以点轨迹是圆心为，半径为2的圆，则点到原点的距离最大值为，所以B选项正确；又和点轨迹的圆心都在轴上，且，所以当圆的半径垂直于轴时，面积取得最大值，所以C选项错误；又，因为，所以，则，所以D选项正确；11.ABD【详解】对A，如图1，连接，由已知得，所以.又因为点A在圆内，所以，根据椭圆的定义，点的轨迹是以､为焦点，为长轴长的椭圆，A对；对B，如图2，当点A在圆上时，点与圆心重合，轨迹为定点，B对；对D，如图3，连接，由已知得，所以.又因为点A在圆外，所以，根据双曲线的定义，点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线，D对；对C，当点与点重合时，如图4，则线段的中垂线与直线的交点即为线段的中点，此时，，即点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，C错.12.4【详解】由圆与圆：，两圆相减得公共弦所在直线方程为：，有圆，可得圆心，半径，所以圆心到直线的距离，所以.13.65【详解】因为.它的平均数为8，所以，由，得，则，可得：.故答案为：65.14.【详解】解：设是椭圆的右焦点，连接，由对称性可知：，则四边形为平行四边形，则，即，且，因为，则，在中，由余弦定理可得，即，解得，所以椭圆的离心率为.15.【详解】（1）中点，由点斜式可得，化简可得，所以中线方程为（2）因为，且，由点斜式可得直线的方程为，化简可得，又点到直线的距离为，所以，即的面积为8.16.【详解】（1），解得，中位数为分；（2）在中抽取人，记为；在[70，80）中抽取6人，记为.所有的取法为：共15种.，满足条件的有共8种.所求概率为17.【详解】（1）解：根据题意，设圆心，则圆的半径为，圆心到直线的距离为，由题意可得，解得，则圆的半径为2，因此，圆的方程为或.（2）解：圆的标准方程为，则，可得则圆心，半径为，当时，，根据题意，，解得；当时，则，根据题意，，此时，不存在.综上所述，18.【详解】（1）证明：因为平面平面，所以，，因为，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，平面平面（2）解：如图，连接，因为点在平面内的投影恰好是的中心，且是边长为2的正三角形，所以，三棱锥为正三棱锥，因为为等腰直角三角形，则，取的中点，连接，则，因为，所以，，所以，四边形是矩形，则，又因为，则，因为平面，以点A为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则，所以，，设平面的法向量为，则，取，则，又，设直线与平面所成角为，则.故直线与平面所成角的正弦值为.19.【详解】（1）解：由椭圆上的点到其左焦点