2024-2025学年新教材高中数学第6章平面向量及其应用6.2.3向量的数乘运算学案含解析新人教A版必修第二册

PAGE6.2.3向量的数乘运算学习目标核心素养1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．(重点)2．理解并驾驭向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．(重点)3．理解并驾驭两向量共线的性质和推断方法，并能娴熟地运用这些学问处理有关向量共线问题．(难点)4．理解实数相乘与向量数乘的区分．(易混点)1.通过向量的加法得到向量数乘运算的直观感知，再过渡到数乘运算及数乘运算律，养成数学抽象和数学运算的核心素养．2．通过推断向量共线的学习，培育逻辑推理和数据分析的核心素养.一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，假如蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3问题：类比实数的运算“a＋a＋a＝3a”你能猜想实例中a＋a＋a1．向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．(2)运算律：设λ，μ为随意实数，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特殊地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.(3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于随意向量a，b，以及随意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ22．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.思索：定理中把“a≠0”去掉可以吗？[提示]定理中a≠0不能去掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是随意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.拓展向量线性运算的常用结论(1)在△ABC中，D是BC的中点，则eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up7(→))＋\o(AB,\s\up7(→))))；(2)O是△ABC的重心的充要条件是eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝0；(3)与eq\o(AB,\s\up7(→))同向的单位向量为eq\f(\o(AB,\s\up7(→)),|\o(AB,\s\up7(→))|).1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若λa＝0，则a＝0. ()(2)(－7)·6a＝－42a.(3)若eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(CD,\s\up7(→))(λ≠0)，则A，B，C，D四点共线． ()[答案](1)×(2)√(4)×2．若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是()A．b＝2a B．b＝－C．a＝2b D．a＝－2bA[因为a，b方向相同，故b＝2a3．化简：2(3a＋4b)－8－2a＋8b[原式＝6a＋8b－8a＝－24．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AO,\s\up7(→))，则λ＝________.2[由向量加法的平行四边形法则知eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→)).又∵O是AC的中点，∴AC＝2AO，∴eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(AO,\s\up7(→))，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝2eq\o(AO,\s\up7(→))，∴λ＝2.]向量的线性运算【例1】化简下列各式：①3(6a＋b)－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))；②eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7[解]①原式＝18a＋3b－9a－3b＝②原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq\f(3,4)b＝a＋eq\f(3,4)b－a－eq\f(3,4)b＝0.③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解——把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解．在运算过程中要多留意视察，恰当运用运算律，简化运算．[跟进训练]1．(1)化简eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4a－3b＋\f(1,3)b－\f(1,4)6a－7b))；(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满意关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.[解](1)原式＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a－3b＋\f(1,3)b－\f(3,2)a＋\f(7,4)b))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(3,2)))a＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3＋\f(1,3)＋\f(7,4)))b))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)a－\f(11,12)b))＝eq\f(5,3)a－eq\f(11,18)b.(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝a①，,－4x＋3y＝b②，))由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，所以y＝4a＋3b.所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3向量共线定理[探究问题]1．如何证明向量a与b共线？[提示]要证明向量a与b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)即可，一般地，把a和b用相同的两个向量m，n表示出来，视察a与b具有倍数关系即可．2．如何证明A，B，C三点在同始终线上？[提示]要证三点A，B，C共线，只需证明eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(BC,\s\up7(→))或eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(AC,\s\up7(→))共线即可．【例2】(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1－8e2，eq\o(CB,\s\up7(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up7(→))＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线；(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外随意一点，若eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))，求x＋y的值．[解](1)证明：∵eq\o(CB,\s\up7(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up7(→))＝2e1－e2，∴eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝e1－4e2.又eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(BD,\s\up7(→))，∴eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(BD,\s\up7(→)).∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)由于A，B，P三点共线，所以向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AP,\s\up7(→))在同始终线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))，即eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))，所以eq\o(OP,\s\up7(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up7(→))＋λeq\o(OB,\s\up7(→))，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.1．本例(1)中把条件改为“eq\o(AB,\s\up7(→))＝e1＋2e2，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－5e1＋6e2，eq\o(CD,\s\up7(→))＝7e1－2e2”，则A，B，C，D中哪三点共线？[解]∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝e1＋2e2，eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2eq\o(AB,\s\up7(→)).∴eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BD,\s\up7(→))共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线．2．本例(1)中条件“eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1－8e2”改为“eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1＋ke2”且A，B，D三点共线，如何求k的值？[解]因为A，B，D三点共线，则eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(BD,\s\up7(→))共线．设eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(BD,\s\up7(→))(λ∈R)，∵eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∴2e1＋ke2＝λe1－4λe2.由e1与e2不共线可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2e1＝λe1，,ke2＝－4λe2，))∴λ＝2，k＝－8.3．试利用本例(2)中的结论推断下列三点P，A，B，是否共线．①eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up7(→))；②eq\o(OP,\s\up7(→))＝－2eq\o(OA,\s\up7(→))＋3eq\o(OB,\s\up7(→))；③eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(4,5)eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up7(→)).[解]①中∵eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝1，∴P，A，B三点共线；②中∵－2＋3＝1，∴P，A，B三点共线；③中∵eq\f(4,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))＝eq\f(3,5)≠1，∴P，A，B三点不共线．1．证明或推断三点共线的方法(1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))(或eq\o(BC,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))等)即可．(2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使eq\o(OA,\s\up7(→))＝xeq\o(OB,\s\up7(→))＋yeq\o(OC,\s\up7(→))且x＋y＝1.2．利用向量共线求参数的方法推断、证明向量共线问题的思路是依据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共线求λ，常依据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，解方程从而求得λ的值．用已知向量表示未知向量【例3】(1)如图，▱ABCD中，E是BC的中点，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，则eq\o(DE,\s\up7(→))＝()A．eq\f(1,2)a－b B．eq\f(1,2)a＋bC．a＋eq\f(1,2)b D．a－eq\f(1,2)b(2)如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知eq\o(BC,\s\up7(→))＝a，eq\o(BD,\s\up7(→))＝b，试用a，b分别表示eq\o(DE,\s\up7(→))，eq\o(CE,\s\up7(→))，eq\o(MN,\s\up7(→)).[思路探究]先用向量加减法的几何意义设计好总体思路，然后利用平面图形的特征和数乘向量的几何意义表示．(1)D[eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AD,\s\up7(→))))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＝a－eq\f(1,2)b.](2)[解]由三角形中位线定理，知DEeq\f(1,2)BC，故eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))，即eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a.eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)a＝－eq\f(1,2)a＋b.eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MD,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(ED,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))＝－eq\f(1,4)a－b＋eq\f(1,2)a＝eq\f(1,4)a－b.1．本例(1)中，设AC与BD相交于点O，F是线段OD的中点，AF的延长线交DC于点G，试用a，b表示eq\o(AG,\s\up7(→)).[解]因为DG∥AB，所以△DFG∽△BFA，又因为DF＝eq\f(1,2)OD＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,4)BD，所以eq\f(DG,AB)＝eq\f(DF,BF)＝eq\f(1,3)，所以eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DG,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)a＋b.2．本例(1)中，若点F为边AB的中点，设a＝eq\o(DE,\s\up7(→))，b＝eq\o(DF,\s\up7(→))，用a，b表示eq\o(DB,\s\up7(→)).[解]由题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\o(AB,\s\up7(→))－\f(1,2)\o(AD,\s\up7(→))，,b＝\f(1,2)\o(AB,\s\up7(→))－\o(AD,\s\up7(→))，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up7(→))＝\f(4,3)a－\f(2,3)b，,\o(AD,\s\up7(→))＝\f(2,3)a－\f(4,3)b，))所以eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b.用已知向量表示其他向量的两种方法(1)干脆法．(2)方程法．当干脆表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．提示：用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系．[跟进训练]2.如图所示，在四边形ABCD中，M，N分别是DC，AB的中点，已知eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(DC,\s\up7(→))＝c，试用a，b，c表示eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(MN,\s\up7(→)).[解]eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝－eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝－a＋b＋c；eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(AN,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)c－b＋eq\f(1,2)a＝eq\f(1,2)a－b－eq\f(1,2)c.一、学问必备1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍，向量eq\f(a,|a|)表示与向量a同向的单位向量．3．留意记住以下结论并能运用(1)若A，B，P三点共线，则eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))且x＋y＝1.(2)在△ABC中，若D为BC的中点，则eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))．(3)在△ABC中，若G为△ABC的重心，则eq\o(GA,\s\up7(→))＋eq\o(GB,\s\up7(→))＋eq\o(GC,\s\up7(→))＝0.二、方法必备1．推断两个向量a(a≠0)，b是否共线，关键是能否找到一个实数λ，使b＝λa.若λ存在，则共线；若λ不存在，则不共线．2．共线向量定理的应用①证明向量共线：对于向量a与b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线(平行)．②证明三点共线：若存在实数λ，使eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，则A、B、C三点共线．③求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．特殊留意：①证明三点共线问题，应留意向量共线与三点共线的区分与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．②若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.1.eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)2a＋8b－4a－2b))等于()A．2a－b B．2b－C．b－a D．a－bB[原式＝eq\f(1,6)(2a＋8b)－eq\f(1,3)(4a－2b)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(4,3)b－eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)b＝－a＋2b.]2．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＝3eq\o(BC,\s\up7(→)) B．eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(BC,\s\up7(→))C．eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq