2024-2025学年新教材高中数学第一章直线与圆2圆与圆的方程1.2.3直线与圆的位置关系课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE课后素养落实(九)直线与圆的位置关系(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是()A．－2B．－4C．－6D．－8B[将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝eq\r(2－a)，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝eq\f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq\r(2)，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4．]2．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为()A．4B．3C．2D．1C[圆x2＋y2＝1的圆心(0，0)到直线x＋y＝1的距离d＝eq\f(|－1|,\r(12＋12))＝eq\f(\r(2),2)<1，所以直线x＋y＝1与圆x2＋y2＝1相交．故选C．]3．设圆C：x2＋y2＝3，直线l：x＋3y－6＝0，点P(x0，y0)∈l，若存在点Q∈圆C，使∠OPQ＝60°(O为坐标原点)，则x0的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)) B．[0，1]C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(6,5))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))C[由题意知，直线PQ与圆O有公共点，所以eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OP))≤eq\r(3)，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OP))≤2．又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OP))＝eq\r(x\o\al(2,0)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－x0,3)))\s\up12(2))，所以eq\r(x\o\al(2,0)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－x0,3)))\s\up12(2))≤2，解得0≤x0≤eq\f(6,5)．]4．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆eq(x－1)2＋eq(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝()A．±eq\f(\r(3),3) B．±eq\f(1,3)C．1或7 D．4±eq\r(15)D[因为△ABC为等边三角形且边长为2，所以C到AB的距离为eq\r(3)，由圆方程可得Ceq(1，a)，所以eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋a－2)),\r(a2＋1))＝eq\r(3)，解得a＝4±eq\r(15)．]5．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是()A．2B．3C．4D．6C[因为过圆外一点的圆的切线长l、半径r和这点到圆心的距离d是一个直角三角形的三边，其中半径r是斜边，所以l2＝d2－r2，所以切线长最短时，该点到圆心的距离最小．由题意知，圆心C(－1，2)，半径长r＝eq\r(2)，点(a，b)在直线y＝x－3上，所以点(a，b)与圆心的距离的最小值，即圆心到直线y＝x－3的距离d，易求d＝eq\f(|－1－2－3|,\r(2))＝3eq\r(2)，所以切线长的最小值为eq\r(d2－r2)＝eq\r(3\r(2)2－2)＝4．]二、填空题6．圆心在y轴上，经过点(3，1)且与x轴相切的圆的方程是________．x2＋y2－10y＝0[由题意，设圆的方程为x2＋(y＋a)2＝a2，因为圆经过点(3，1)，所以把点(3，1)代入圆的方程，得32＋(1＋a)2＝a2，整理得2a＝－10，∴a＝－5，所以圆的方程为x2＋(y－5)2＝(－5)2，即x2＋y2－10y＝0．]7．过圆x2＋y2＝4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点A、B，则△ABP的外接圆的方程是________．(x－2)2＋(y－1)2＝5[∵圆心为O(0，0)，又∵△ABP的外接圆就是四边形OAPB的外接圆．其直径d＝|OP|＝2eq\r(5)，∴半径r＝eq\r(5)．而圆心C为(2，1)，∴外接圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．]8．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，其中垂足为M(1，eq\r(2))，则四边形ABCD的面积的最大值为________．5[如图所示，设弦AC，BD的中点分别为P，Q，依据弦的中点的性质，则OP⊥AC，OQ⊥BD．又AC⊥BD，故四边形OPMQ为矩形，设圆心O与AC、BD的距离分别为d1、d2，则deq\o\al(2,1)＋deq\o\al(2,2)＝OM2＝3．又AC＝2eq\r(4－d\o\al(2,1))，BD＝2eq\r(4－d\o\al(2,2))，则四边形ABCD的面积S＝eq\f(1,2)|AC|·|BD|＝2eq\r(4－d\o\al(2,1)4－d\o\al(2,2))＝2eq\r(4＋d1d22)≤2eq\r(4＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d\o\al(2,1)＋d\o\al(2,2),2)))\s\up12(2))＝2eq\r(4＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))＝5，等号当且仅当d1＝d2＝eq\f(\r(6),2)时成立，即四边形ABCD的面积的最大值为5．故填5．]三、解答题9．假如一条直线经过点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2)))且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程．[解]圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，于是弦心距d＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))\s\up12(2))＝eq\r(52－42)＝3．因为圆心O(0，0)到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3是符合题意的一条直线．设直线y＋eq\f(3,2)＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－y＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3k－\f(3,2)))＝0的距离等于3，于是eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3k－\f(3,2))),\r(k2＋1))＝3，解得k＝－eq\f(3,4)．故直线的方程为3x＋4y＋15＝0．综上可知，满意题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0．10．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0．(1)m∈R时，证明：l与C总相交；(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长．[解](1)证明：直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，由点斜式可知，直线过点P(4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．(2)圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25．如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．此时PC⊥l，又kPC＝eq\f(－3－－6,4－3)＝3，所以直线l的斜率为－eq\f(1,3)，则2m＝－eq\f(1,3)，所以m＝－eq\f(1,6)．在Rt△APC中，|PC|＝eq\r(10)，|AC|＝r＝5．所以|AB|＝2eq\r(|AC|2－|PC|2)＝2eq\r(15)．故当m＝－eq\f(1,6)时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为2eq\r(15)．11．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为()A．eq\f(1,2)B．1C．eq\f(\r(2),2)D．eq\r(2)D[圆心到直线的距离d＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝eq\f(1,\r(2))，设弦长为l，圆的半径为r，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))eq\s\up12(2)＋d2＝r2，即l＝2eq\r(r2－d2)＝eq\r(2)．]12．与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条C[圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2．可分为两种状况探讨：(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则eq\f(|2k|,\r(1＋k2))＝eq\r(2)，解得k＝±1；(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则eq\f(|2－a|,\r(2))＝eq\r(2)，解得a＝4(a＝0舍去)．因此满意条件的直线共有3条．]13．(多选题)设有一组圆：Ck：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4(k∈N＋)．下列结论正确的是()A．存在一条定直线与全部的圆均相切B．存在一条定直线与全部的圆均相交C．存在一条定直线与全部的圆均不相交D．全部的圆均不经过原点BD[设直线为y＝ax＋b，则d＝eq\f(|ak－1－3k＋b|,\r(1＋a2))＝eq\f(|a－3k＋b－a|,\r(1＋a2))．∵d中无k的2次项，∴不存在实数a、b，使d＝eq\r(2)k2，也不存在实数a、b，使d>eq\r(2)k2，故AC错误，当a＝3，b＝3时，d＝0，恒小于eq\r(2)k2与圆相交，B正确．将(0，0)代入，方程不成立，D正确，选BD．]14．(一题两空)直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则(1)a的取值范围是________；(2)直线l的方程为________．a<3x－y＋5＝0[(1)依题意得，点C在圆内，所以eq(－2)2＋32＋2×eq(－2)－4×3＋a<0，解得a<3．(2)由圆的一般方程可得圆心为M(－1，2)．由圆的性质易知，M(－1，2)与C(－2，3)的连线与弦AB垂直，故有kAB＝－eq\f(1,kCM)＝1，故直线l的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0．]15．设直线系M：xcosθ＋(y－2)sinθ＝1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题：①M中全部直线均经过一个定点；②存在定点P不在M中的任一条直线上；③对于随意整数n(n≥3)，存在正n边形，其全部边均在M中的直线上；④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．其中真