2024-2025学年高考数学一轮复习：圆锥曲线题型拓展二（学生版+教师版）

第82讲圆锥曲线题型拓展(二)

知识梳理

一、仿射变换问题

仿射变换有如下性质：

1、同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线；

2、结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上；

3、其它不变关系.

我们以椭圆为例阐述上述性质.

22=X

椭圆3+方=l(a>b>0),经过仿射变换,贝椭圆变为了圆/+y2=",

aCby

并且变换过程有如下对应关系：

(1)点2(%,%)变为尸;

(2)直线斜率改变为〃=@3对应直线的斜率比不变；

b

(3)图形面积s变为$=3s，对应图形面积比不变；

b

(4)点、线、面位置不变(平行直线还是平行直线，相交直线还是相交直线，中点依

然是中点，相切依然是相切等);

(5)弦长关系满足网=，叵If,因此同一条直线上线段比值不变，三点共线的比

\AB\v1+r

不变

总结可得下表:

变换前变换后

22

方程2+*1（°>八。）x,2+y2=a2

横坐标x'

.a

纵坐标yy=-y

b

1

斜率k=^邸bAya

AxK===k

Ax'Axb

面积5=—Ax-AyS^-Ax^Ay^-S

22b

弦长/=Jl+2

kAx2

r=Ji+k'^x'=、1+嗫2Ax=、

b-Jl+F

不变量平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比

二、非对称韦达问题

在一元二次方程"2+bx+c=o中，若△>()，设它的两个根分别为再，/，则有根与

系数关系：玉+%=£，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理

aa

%-引，才+君，4+工之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及占，%的不同系数

的代数式的应算，比如求一，39%记不一尤2或力西+4之类的结构,就相对较难地转化

到应用韦达定理来处理了.特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消

去X或y,也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如

%+2%,,2网%+〃尤2%,至或3%%+2占一%之类中的系数不对等的情况，这些式子

x22%%2—玉+%2

是非对称结构，称为“非对称韦达”.

三、光学性质问题

1、椭圆的光学性质

从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点

(如图1).

图1图2图3图4

2

【引理1】若点A,2在直线乙的同侧，设点是直线Z上到A,2两点距离之和最小的

点，当且仅当点P是点A关于直线L的对称点A与点B连线A'B和直线L的交点.

【引理2】若点A,8在直线工的两侧，且点A,8到直线的距离不相等，设点尸是直线

L上到点A,8距离之差最大的点，即|PA-最大，当且仅当点尸是点A关于直线心的对

称点A与点B连线A'B的延长线和直线L的交点.

【引理3】设椭圆方程为£+±=ig>b>o）,月，凡分别是其左、右焦点，若点o

ao

在椭圆外，则DFV+DF2>2a-

2,双曲线的光学性质

从双曲线的一个焦点发出的光从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线的另一个焦

点（如图）.

【引理4】若点4,8在直线工的同侧，设点是直线心上到A,8两点距离之和最小的

点，当且仅当点p是点A关于直线L的对称点A与点B连线A'B和直线L的交点.

【引理5】若点A,2在直线刀的两侧，且点A,2到直线的距离不相等，设点尸是直线

入上到点距离之差最大的点，即|尸4-依|最大，当且仅当点尸是点A关于直线L的对

称点A与点B连线A'B的延长线和直线L的交点.

3

【引理6】设双曲线方程为彳一,=15>0,6>0）,月，鸟分别是其左、右焦点，若

点£）在双曲线外（左、右两支中间部分，如图），则。月-。居<2a.

3、抛物线的光学性质

从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线与抛物线的轴平

行（或重合）.反之，平行于抛物线的轴的光线照射到抛物线上，经反射后都通过焦点.

【结论1】已知：如图，抛物线C:无2=2pyQ0），«0,日为其焦点，,是过抛物

线上一点。（尤0,%）的切线，A,8是直线j上的两点（不同于点°）,直线DC平行于了

轴.求证：ZFDA=ZCDB■（入射角等于反射角）

【结论2】已知：如图，抛物线C:y2=2px（p>0），/是抛物线的焦点，入射光线从

尸点发出射到抛物线上的点M，求证：反射光线平行于x轴.

4

yt

四、三点共线问题

证明三点共线问题常用方法是斜率法和向量法

必考题型全归纳

题型一：仿射变换问题

例1.（2024•全国•模拟预测）仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而

又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，其体解题方法为将

0：提+*1伍”>0）由仿射变换得：/=/=则椭圆.+*1变为

x"+y'2=l,直线的斜率与原斜率的关系为左'=：3然后联立圆的方程与直线方程通过计

b

22

算韦达定理算出圆与直线的关系.最后转换回椭圆即可.已知椭圆C:a+%=1（。>6>0）

的离心率为《45，过右焦点用且垂直于x轴的直线与C相交于A、B两点且恒口=鼠1,过

55

椭圆外一点p作椭圆C的两条切线4、4且4,3切点分别为M、N.

⑴求证：点P的轨迹方程为Y+y2=9；

⑵若原点O到乙、4的距离分别为4、4,延长表示距离4、4的两条直线，与椭圆C交

于y、w两点，试求：原点o在1W边上的射影Z所形成的轨迹与尸所形成的轨迹的面积

之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数.

例2.（2024•河北邯郸•高二校考期末）仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一

类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，具体解题方法为将

C：±+±=l（a>6>0）由仿射变换得：x'=±,y'=g,则椭圆二+耳=1变为

ababab

5

炉+产=1,直线的斜率与原斜率的关系为左'=：左，然后联立圆的方程与直线方程通过计

b

22

算韦达定理算出圆与直线的关系，最后转换回椭圆即可.已知椭圆。:*+斗=1（。>6>0）

的离心率为在，过右焦点后且垂直于x轴的直线与C相交于AB两点且=过椭

55

圆外一点p作椭圆C的两条切线4，4且4,峭切点分别为M，N.

（1）求证：点P的轨迹方程为Y+y2=9；

⑵若原点O到L，4的距离分别为4，%,延长表示距离4，&的两条直线，与椭圆C交

于两点，过。作OZLIW交iW于Z,试求：点Z所形成的轨迹与P所形成的轨迹的

面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数.

22

例3.（2024・全国•高三专题练习）"N是椭圆T+方=1（°>6>。）上一条不过原点且不垂

直于坐标轴的弦，尸是九W的中点，则％，A,2是该椭圆的左右顶点，

。是椭圆上不与42重合的点，则•怎.CD是该椭圆过原点。的一条

弦，直线C。，。。斜率均存在，贝2a久=.

变式L（2024•全国•高三专题练习）如图，作斜率为六的直线/与椭圆±+y2=i交于

24

P,。两点，且M在直线/的上方，则AM尸。内切圆的圆心所在的定直线方程为

6

22

变式2.（2024・全国•高三专题练习）尸是椭圆土+工=1上任意一点，。为坐标原点,

43

PO=2OQ,过点。的直线交椭圆于4,2两点，并且=则APAB面积为

22

变式3.（2024•全国•高三专题练习）已知直线/与椭圆二+匕=1交于"，N两点，当

42

k（）M，koN=，△MON面积最大，并且最大值为.记"（5,%）,可（%,%），当

△MON面积最大时，尤;+*=,犬+£=.P是椭圆上一点，

OP=WM+]uON,当△MON面积最大时，川+〃2=.

变式4.（2024•全国•高三专题练习）已知椭圆C：f+尸=1左顶点为A,P,Q为椭圆C上两

动点，直线PO交A。于E,直线。。交AP于。，直线。己。。的斜率分别为尢,占且

4&=-；，AD^ADF,AE^juEQ（4月是非零实数），求才+筋=.

题型二：非对称韦达问题

22

例4.（2024•全国•高三专题练习）已知椭圆鼻+2=1（°>6>0）的左、右焦点是片、琅,

ab

左右顶点是A、A,离心率是包，过工的直线与椭圆交于两点P、0（不是左、右顶点）,

2

且MPQ的周长是4正，

直线4P与交于点M

（1）求椭圆的方程;

7

(2)⑴求证直线4P与4Q交点M在一条定直线I上;

(ii)N是定直线/上的一点，且PN平行于x轴，证明：糕

是定值.

例5.(2024•四川成都・高三树德中学校考开学考试)已知点48分别为椭圆

22

E:|y+}=l(a＞6＞0)的左、右顶点，耳，耳为椭圆的左、右焦点，立=3福，尸为椭

圆上异于48的一个动点，月的周长为12.

(1)求椭圆E的方程；

(2)已知点/(3,0),直线尸河与椭圆另外一个公共点为Q,直线AP与BQ交于点N,求

证：当点尸变化时，点N恒在一条定直线上.

22

例6.(2024・陕西榆林•高二校联考期末)已知椭圆C：※+方=1(°＞。＞0)的左、右焦点

分别为耳，F。,离心率e=；,P为C上一动点，△尸月居面积的最大值为坦.

⑴求C的方程；

(2)若过B且斜率不为。的直线/交椭圆于M,N两点，4，4分别为椭圆的左、右顶点,

直线AM,4N分别与直线位》=1交于7,Q两点，证明：四边形。魂。为菱形.

丫2d1

变式5.(2024•全国•高三专题练习)已知椭圆C:1r+}=1(々＞人＞0)的离心率为《，短轴

8

长为2vL

(i)求椭圆c的方程；

(2)设8分别为椭圆C的左、右顶点，若过点P(4,0)且斜率不为0的直线/与椭圆C

交于N两点，直线与2N相交于点0.证明：点0在定直线上.

22

变式6.(2024•吉林四平•高二校考阶段练习)已知椭圆C言+方=1(°>6>0)的左、右顶

点分别为"1、M2,短轴长为2g,点C上的点尸满足直线尸想、尸区的斜率之积为

_3

4,

⑴求C的方程；

(2)若过点(1,0)且不与》轴垂直的直线/与C交于A、B两点，记直线加外、/28交于点

Q.探究：点Q是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.

变式7.(2024•全国•高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

C：£+冬=l(a>b>0)的长轴长为4,且经过点(瓦Ge),其中e为椭圆C的离心率.

ab

(1)求椭圆c的标准方程；

(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A3,直线/过C的右焦点尸，且交C于两点，若

直线AM与交于点T,求证：点T在定直线上.

9

22

变式8.(2024•吉林长春•高二东北师大附中校考期末)已知椭圆C：1r+%=1,>。>0)

的离心率为差，H1,一是C上一点.

2I2)

(1)求C的方程.

(2)设A,8分别为椭圆C的左、右顶点，过点3(1,0)作斜率不为0的直线/,/与C交于

p,Q两点，直线"与直线交于点M,记AP的斜率为尤，的斜率为七.证明：①

3为定值；②点加在定直线上.

22

变式9.(2024•广西桂林•高二统考期末)已知椭圆C:「+2=l(a>6>0)的左、右焦点分

ab

别是68,点尸是椭圆。上任一点，若△尸片月面积的最大值为右，且离心率e=g.

⑴求C的方程；

(2)48为C的左、右顶点，若过点工且斜率不为0的直线交C于M,N两点，证明：直

线AM与的交点在一条定直线上.

变式10.(2024•福建泉州•高二福建省泉州第一中学校考期中)已知椭圆C：

，+；-Ma〉。〉。)的左、右顶点分别为A,4,离心率为孝，点尸,孝］在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程.

⑵若过点8(2,0)且斜率不为0的直线与椭圆C交于M,N两点，已知直线4V与相

交于点G,试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理

由.

10

题型三：椭圆的光学性质

例7.（2024•湖北孝感・高二大悟县第一中学校联考期中）生活中，椭圆有很多光学性质，

如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点现椭圆C

的焦点在无轴上，中心在坐标原点，从左焦点可射出的光线经过椭圆镜面反射到右焦点

F2,这束光线的总长度为4,且椭圆的离心率为也，左顶点和上顶点分别为4、B.

2

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P在椭圆上，求线段8P的长度忸目的最大值及取最大值时点P的坐标；

（3）不过点N的直线/交椭圆C于跖N两点,记直线/,AM,⑷V的斜率分别为左,。心，若

M勺+与）=1,证明：直线/过定点，并求出定点的坐标.

例8.（2024・全国•高三专题练习）椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆

22

反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆C：亍+斗=1（0<6<2）,

用工为其左、右焦点.初是C上的动点，点若现叫+阿周的最大值为6.动直

线/为此椭圆C的切线，右焦点耳关于直线/的对称点尸（%,乂），S=|3%+4y「24|,则椭

圆C的离心率为—；S的取值范围为.

22

例9.（2024•山东青岛•统考二模）已知椭圆石:=+==1（4>。>0）的左、右焦点分别为

ab

月、工，过B的直线与E交于点A、B,直线/为E在点A处的切线，点B关于/的对称

,「5

点为由椭圆的光学性质知，耳、A、M三点共线.若|从却=。，竭\BF.=\于贝U

11

州--------

变式1L（2024・安徽六安•高三六安一中校考阶段练习）如图所示，椭圆有这样的光学性

质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已

22

知椭圆=+与=15>6>0）的左、右焦点为耳，工，尸为椭圆上不与顶点重合的任一点，/

ab

为△尸月鸟的内心，记直线。尸，尸/（。为坐标原点）的斜率分别为尢，k2,若3左=2自，

则椭圆的离心率为.

,切线一-1

变式12.（2024•天津和平•高三天津一中校考阶段练习）欧几里得生活的时期人们就发现了

椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点•现有

22

一椭圆C:二+与=l（a>b>0）,长轴长为4,从一个焦点尸发出的一条光线经椭圆内壁上

ab'

7

一点P反射之后恰好与尤轴垂直，且尸P=

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知A为该椭圆的左顶点，若斜率为上且不经过点A的直线/与椭圆C交于M,N两

点，记直线AM,AN的斜率分别为品k2,且满足人（尢+&）=2.

①证明：直线/过定点；

②若|OM『+|ON『=5,求人的值.

12

22

变式13.（2024•全国•高二专题练习）已知椭圆C：=+多=1（°>6>0）上、下顶点分别

ab

为A,B,且短轴长为2后，7为椭圆上（除A1外）任意一点，直线AL7B的斜率之积为

-1,耳，尸2分别为左、右焦点.

⑴求椭圆C的方程.

（2）“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接收

到百亿光年外的电磁信号.在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以

上面的椭圆C为代表，证明：由焦点可发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光

线必经过另一焦点（提示：光线射到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切

线）

22

变式14.（2024・全国•高三专题练习）已知椭圆£:1+3=1（。>6>0）的左、右焦点分别

ab

为的F2,过q的直线与E交于点A,3.直线/为E在点A处的切线，点3关于/的对称点

\BE\5BF

为V.由椭圆的光学性质知，耳，4”三点共线.若|A31=〃，r=亍，则^2^=（）

眼耳|7AFX

A.4B.1C.-D.-

2747

变式15.（多选题）（2024•全国•高三专题练习）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出

发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中

22

不会衰减，椭圆的方程为上+匕=1,则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所

95

经过的路程可能为（）

A.2B.8C.10D.12

变式16.（2024・全国•高三专题练习）历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前

13

375年一公元前325年)，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并

且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图，从椭圆的一个焦点出发的光线或声

波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线/'表示与椭圆C的切线垂

直且过相应切点的直线，已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点为耳

F2(C,0)(C>0),若由耳发出的光线经椭圆两次反射后回到可经过的路程为8c.对于椭圆C

上除顶点外的任意一点尸，椭圆在点尸处的切线为/,耳在/上的射影为H,其中

|。叫=2"

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图，过B作斜率为左化>0)的直线机与椭圆C相交于A,B两点(点A在x轴上方).

点N是椭圆上异于A,B的两点，MF2,叫分别平分和若AM%N

A]

外接圆的面积为等7r，求直线机的方程.

O

变式17.(2024・贵州黔西•高二统考期末)欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的

光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点.现

22

有椭圆C：・+^=l(a>b>0),长轴长为4,从椭圆C的一个焦点/发出的一条光线经该

7

椭圆内壁上一点P反射之后恰好与尤轴垂直，且|尸耳=".

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)已知O为坐标原点，N为椭圆C的左顶点，若斜率为上且不经过点/的直线/与椭圆C

14

交于M,N两点，记直线AM,A7V的斜率分别为勺，k2,且满足k(匕+&)=2,且

|OM「+|OAf=5,求上的值.

变式18.(2024・四川成都•川大附中校考二模)椭圆的光学性质：光线从椭圆的一个焦点出

22

发经椭圆反射后通过另一个焦点.现有一椭圆C:「+与=1(〃>6>0),长轴A4长为4,从

ab

一个焦点尸发出的一条光线经椭圆内壁上一点P反射之后恰好与X轴垂直，且尸尸=T.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点。为直线x=4上一点，且。不在x轴上，直线。4，与椭圆C的另外一个交点分

别为M,N,设△QA4,AQMN的面积分别为耳，S,,求今的最大值.

d2

变式19.(2024•江苏连云港•高二统考期中)班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有

趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.

22

根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为三+匕=1,其左、右焦点分别是

1612

F、,F2,直线/与椭圆C切于点尸，且|尸周=5,过点尸且与直线/垂直的直线比与椭圆

15

B.叵

题型四：双曲线的光学性质

例10.（2024•上海浦东新•高二华师大二附中校考阶段练习）圆锥曲线都具有光学性质，如

双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是

发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点.如图，一镜面的轴截面图是一条双曲

线的部分，AP是它的一条对称轴，厂是它的一个焦点，一光线从焦点尸发出，射到镜面上

点、B,反射光线是3C,若/PEB=120。，ZFBC=90°,则该双曲线的离心率等

于.

FP

例11.（2024•全国•高二专题练习）双曲线的光学性质如下：如图1,从双曲线右焦点工发

出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点耳.我国首先研制成功的

“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部

22

分，如图2,其方程为当=1,6,工分别为其左、右焦点，若从右焦点B发出的光线经

3

双曲线上的点A和点B反射后（口上在同一直线上），满足-O—

⑴当|AB|=4时，求双曲线的标准方程;

16

（2）过F2且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于S,T两点，点M是线段ST的中点,

试探究是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值.

闺周

例12.（2024•山东烟台•校考模拟预测）圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设计

中，例如从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长

线经过另一个焦点.如图，从双曲线C的右焦点工发出的光线通过双曲线镜面反射，且反

射光线的反向延长线经过左焦点耳.已知入射光线名尸的斜率为-2,且鸟尸和反射光线

PE互相垂直（其中P为入射点），则双曲线C的渐近线方程为.

变式20.（2024•江苏南京•高二校考期末）圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质

是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延

长线会经过双曲线的另一个焦点，如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，AP是它

的一条对称轴，厂是它的一个焦点，一光线从焦点厂发出，射到镜面上点B,反射光线是

BC,若/PEB=120。，ZFBC=90°,则该双曲线的离心率等于（）

V5+1

B.V5C.V3+1

2

17

变式21.（多选题）（2024•高二单元测试）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利

用了双曲线的光学性质：耳，乃是双曲线的左、右焦点，从巴发出的光线机射在双曲线右

支上一点P,经点P反射后，反射光线的反向延长线过用；当P异于双曲线顶点时，双曲

22

线在点P处的切线平分/可尸居.若双曲线C的方程为土-二=1,则下列结论正确的是

C.当“过点。（7,5）时，光线由月到户再到Q所经过的路程为13

D.若点T坐标为（1,0）,直线PT与C相切,则|尸若|=12

变式22.（2024・全国•高三专题练习）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线

经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线

22

氏3-谷=1（。>0*>0）的左、右焦点分别为片，耳，从此发出的光线经过图中的42两

ab

5.

—,ABBD=0,则E的离心率为（

D.75

~2~

18

变式23.（多选题）（2024•湖北・黄冈中学校联考模拟预测）双曲线具有如下光学性质：从

双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另

一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知

2

K，心分别为双曲线C:》2-匕=1的左，右焦点，过C右支上一点4（元。,%）（毛＞1）作直

4

线/交X轴于点Mpko],交y轴于点N,则（）

A.C的渐近线方程为'=±2尢B.Zf；AM=ZF2AM

C.过点耳作耳垂足为H,则I。“唱D.四边形A隼明面积的最小值为

475

变式24.（多选题）（2024•安徽芜湖•统考模拟预测）双曲线的光学性质：从双曲线一个焦

点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知O

22

为坐标原点，耳，入分别是双曲线C:二-匕=1的左、右焦点，过巴的直线交双曲线C的

916

右支于N两点，且"（无”必）在第一象限，AMRF2,△科区的内心分别为小12,

其内切圆半径分别为卜马，△西N的内心为/.双曲线C在M处的切线方程为

W-J4=l,则下列说法正确的有（）

9lo

A.点人、，均在直线x=3上B.直线M的方程为邛-鬓=1

9lo

22

变式25.（多选题）（2024•海南•海南中学校考三模）已知双曲线。：?-%=1仅＞0）的左

右焦点分别为耳，F2,双曲线具有如下光学性质：从右焦点月发出的光线机交双曲线右

支于点尸，经双曲线反射后，反射光线”的反向延长线过左焦点耳，如图所示.若双曲线c

的一条渐近线的方程为恁-＞=0,则下列结论正确的有（）

19

412

B.若则|尸々川尸"|=12

c.若射线”所在直线的斜率为左，则左e-V3,V3

D.当〃过点M（8,5）时，光由月所经过的路程为10

变式26.（多选题）（2024・贵州贵阳•高三贵阳一中校考阶段练习）双曲线具有如下光学性

质：如图，4，乃是双曲线的左、右焦点，从工发出的光线机射在双曲线右支上一点P,

经点尸反射后，反射光线的反向延长线过耳；当P异于双曲线顶点时，双曲线在点P处的

22

切线平分/4PE.若双曲线C的方程为2-!=1,则下列结论正确的是（）

lo9

B.当机工〃时，|尸耳卜|尸闾=36

C.当“过点。（7,5）时，光线由B到尸再到Q所经过的路程为5

D.若点T坐标为（1,0）,直线PT与C相切，则「用=16

变式27.（多选题）（2024•广东广州•高二统考期末）费马原理是几何光学中的一条重要原

理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反

20

射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的

3

切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知耳、8分别是以y=土为渐近线且过点

A（4后,3）的双曲线C的左、右焦点，在双曲线C右支上一点尸伉,%）&>4,%>0）处的

切线/交x轴于点。，则（）

A.双曲线C的离心率为也B.双曲线C的方程为［-4=1

4169

C.过点可作与KLPQ,垂足为K,则|。司=8D.点。的坐标为

题型五：抛物线的光学性质

例13.（2024•甘肃白银•高二统考开学考试）抛物线的光学性质：经焦点的光线由抛物线反

射后的光线平行于抛物线的对称轴（即光线在曲线上某一点处反射等效于在这点处切线的

反射），过抛物线犬=97上一点P作其切线交准线/于点PN11,垂足为N,抛物线

的焦点为歹，射线尸尸交/于点Q,若MP|=MQ.则,|MN|=.

例14.（2024•四川巴中•高三统考开学考试）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物

线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛

物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y=4x的焦点为产，一条平行于x轴的光线从

点A（5,4）射出，经过抛物线上的点B反射后，再经抛物线上的另一点C射出，则

忸C卜.

例15.（2024・全国•高二专题练习）根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经

抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线V=2x,若从点。（3,2）发射平行

21

于X轴的光射向抛物线的/点，经N点反射后交抛物线于8点，则|48|=.

变式28.（2024・四川•校联考模拟预测）抛物线有一条重要的光学性质：从焦点出发的光

线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线C：产=2彳，

一条光线从点尸（4,2）沿平行于x轴的方向射出，与抛物线相交于点经点M反射后与

C交于另一点N,则△MON的面积为.

变式29.（2024•江苏常州•高二常州市北郊高级中学校考期中）抛物线有光学性质，即由其

焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然.如图所

示，今有抛物线V=2px一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛

物线的轴的方向射向抛物线上的点尸，反射后又射向抛物线上的点。再反射后又沿平行

于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线/：2》-4、-17=0上的点乂再反射后又射回点

M,设尸，0两点的坐标分别是（芯,无），（不2，兀）.

⑴证明：

（2）求抛物线方程.

变式30.（2024•四川•校联考模拟预测）抛物线有一条重要的光学性质：从焦点出发的光

线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线

C：V=2px（p>0）,一条光线从点P（4,2）沿平行于x轴的方向射出，与抛物线相交于点

22

___,.3

M,经点M反射后与C交于另一点N.若OM・ON=-二,则△MON的面积为（）

4

5535

A.—B.—C.-D.一

8422

变式31.（2024•湖南长沙•高三长郡中学校联考阶段练习）抛物线有如下光学性质：由其焦

点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于地物

线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线丁=4x的焦点为歹,

O为坐标原点，一束平行于x轴的光线4从点「（，”,同（r<4时射入，经过抛物线上的点

A仿，X）反射后，再经抛物线上另一点3（%，%）反射后，沿直线4射出，则直线4与4间的

距离最小值为（）

A.2B.4C.8D.16

变式32.（2024•全国•高二专题练习）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射

后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反

射后必过抛物线的焦点.已知抛物线V=16x的焦点为歹，一条平行于x轴的光线从点

P卜,4板）射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则APAB的

面积为（）

A.4B.6夜C.1272D.2472

变式33.（2024•江西•统考模拟预测）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性

质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲

而叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截

得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛

物线C的方程为y2=8x,平行于x轴的光线从点M（12,2）射出，经过C上的点A反射后，

再从C上的另一点B射出，则|M8|=（）

23

A.6B.8C.2729D.29

变式34.（多选题）（2024•辽宁沈阳•东北育才学校校考一模）如图，抛物线有如下光学性

质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线

V=4x的焦点为月一束平行于x轴的光线自从点M（3,1）射入，经过抛物线上的点

尸（%，州）反射后，再经抛物线了上另一点。（马，必）反射，沿直线4射出，则下列结论中正

C.\PQ\=~D.乙与乙之间的距离

为5

变式35.（多选题）（2024•福建福州•福建省福州第一中学校考模拟预测）抛物线有如下光

学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，

平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后，必过抛物线的焦点.已知平行于x轴的光

线4从点M射入，经过抛物线C:/=8x上的点p反射，再经过C上另一点。反射后，沿

直线4射出，经过点N,则（）

24

A.若人的方程为y=2,则|PQ|=8

B.若乙的方程为y=2,S.ZPQM=ZMQN,则M（13,2）

C.分别延长PO,NQ交于点。，则点。在C的准线上

D.抛物线C在点P处的切线分别与直线吓，4所成角相等

变式36.（多选题）（2024・湖南长沙•长沙一中校考模拟预测）抛物线有如下光学性质：由

其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于

抛物线对