2020-2024年五年高考数学真题分类汇编专题07 函数的应用（真题4个考点精准练+模拟练）原卷版

2020-2024年五年高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题07函数的应用（真题4个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年春考9、16、21题分段函数的应用，函数与方程的关系，函数与方程的综合运用2023春考9、19题函数的零点与方程根的关系，根据实际问题选择合适的函数模型2022秋考8题2022春考21题分段函数的应用函数与方程的综合运用2021年秋考19题函数的实际应用2020年秋考11、19题2020年春考19题函数的零点与方程根的关系，分段函数的实际应用根据实际问题选择函数类型一．函数的零点与方程根的关系（共2小题）1．（2023•上海）已知函数，且，则方程的解为．2．（2020•上海）设，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件：（1）对任意的，的值为或；（2）关于的方程无实数解，则的取值范围是．二．函数与方程的综合运用（共3小题）3．（2024•上海）现定义如下：当时，若，则称为延展函数．现有，当时，与均为延展函数，则以下结论（1）存在，；，与有无穷个交点（2）存在，；，与有无穷个交点A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立4．（2022•上海）已知函数的定义域为，现有两种对变换的操作：变换：；变换：，其中为大于0的常数．（1）设，，为做变换后的结果，解方程：；（2）设，为做变换后的结果，解不等式：；（3）设在上单调递增，先做变换后得到，再做变换后得到；先做变换后得到，再做变换后得到．若恒成立，证明：函数在上单调递增．5．（2024•上海）记（a）（a），，（a）（a），．（1）若，求（1）和（1）；（2）若，求证：对于任意，都有（a），，且存在，使得（a）．（3）已知定义在上有最小值，求证“是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数，均有（c）”．三．分段函数的应用（共2小题）6．（2024•上海）已知，求的的取值范围．7．（2022•上海）若函数，为奇函数，求参数的值为．四．根据实际问题选择函数类型（共4小题）8．（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”，其中为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）．（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”；（结果用含、的代数式表示）（2）定义建筑物的“形状因子”为，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长，又定义为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为．当，时，试求当该宿舍楼的层数为多少时，“体形系数”最小．9．（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长．（1）求今年起的前20个季度的总营业额；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的？10．（2020•上海）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度，交通流量．（1）若交通流量，求道路密度的取值范围；（2）已知道路密度时，测得交通流量，求车辆密度的最大值．11．（2020•上海）有一条长为120米的步行道，是垃圾投放点，若以为原点，为轴正半轴建立直角坐标系，设点，现要建设另一座垃圾投放点，函数表示与点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若，求、、的值，并写出的函数解析式；（2）若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利？

一．选择题（共4小题）1．（2024•普陀区校级模拟）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是A． B． C． D．2．（2024•松江区校级模拟）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在，这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．则下列正确的命题是A．在，这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱 B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱 C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标 D．甲企业在，，，，，这三段时间中，在，的污水治理能力最强3．（2024•普陀区校级模拟）定义在实数集上的函数，如果，使得，则称为函数的不动点．给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，，，则A． B． C． D．4．（2024•嘉定区校级模拟）已知函数，①若函数有最大值，并将其记为（a），则的最大值为，（a）的最小值为；②若函数有零点，并将零点个数记为（a），则函数（a）为偶函数A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立二．填空题（共16小题）5．（2024•浦东新区校级模拟）方程的解是．6．（2024•奉贤区三模）若函数为奇函数，则．7．（2024•杨浦区二模）若函数为奇函数，则函数，的值域为．8．（2024•闵行区三模）对24小时内降水在平地上的积水厚度进行如下定义：①小雨②中雨③大雨④暴雨小明用了一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于等级．（只填入雨水等级所对应的序号）9．（2024•静安区二模）我们称右图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程．现将一边在轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点到“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为．10．（2024•闵行区校级模拟）若，，则满足的的最大值为．11．（2024•闵行区校级三模）已知函数在上恰有5个零点，则实数的最大值为．12．（2024•长宁区二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：甲乙丙接单量（单783182258338油费（元107150110264110376平均每单里程（公里）151515平均每公里油费（元0.70.70.7出租车空驶率；依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，，，，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为、、，则（精确到．13．（2024•浦东新区校级四模）如图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸的处，河岸边处与处相距（其中，两家工厂要在此岸边建一个供水站，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米元和元，供水站建在岸边距离处才能使水管费用最省．14．（2024•闵行区校级三模）已知函数，若函数的零点一共有3个，则实数的取值为．15．（2024•浦东新区校级四模）已知函数，给出下列四个结论：①若有最小值，则的取值范围是；②当时，若无实根，则的取值范围是，，；③当时，不等式的解集为；④当时，若存在，满足，则．其中，所有正确结论的序号为．16．（2024•普陀区模拟）已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是．17．（2024•杨浦区二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起．若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为．18．（2024•青浦区二模）对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的零点，则实数的取值范围是．19．（2024•黄浦区校级模拟）已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是．20．（2024•松江区校级模拟）已知函数，若对任意实数，，方程有解，方程也有解，则的值的集合为．三．解答题（共11小题）21．（2024•宝山区三模）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是名种民俗活动的重要组成部分，传承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣．现有一张矩形卡片，对角线长为为常数），从中裁出一个内接正方形纸片，使得点，分别，上，设，矩形纸片的面积为，正方形纸片的面积为．（1）当时，求正方形纸片的边长（结果用表示）；（2）当变化时，求的最大值及对应的值．22．（2024•闵行区校级三模）如图所示，为沿海岸的高速路，海岛上码头离高速路最近点的距离是，在距离的处有一批药品要尽快送达海岛．现要用海陆联运的方式运送这批药品，设登船点到的距离为，已知汽车速度为，快艇速度为．（参考数据：（1）写出运输时间关于的函数；（2）当选在何处时运输时间最短？23．（2024•虹口区模拟）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为16米的扇形绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅（宽度不计），点在线段上，并且与曲线相切；另一排为单人弧形椅沿曲线（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为元，单人弧形椅的造价每米为元，记锐角，总造价为元．（1）试将表示为的函数，并写出的取值范围；（2）问当的长为多少时，能使总造价最小．24．（2024•浦东新区二模）已知函数，其中．（1）求在，上的解；（2）已知，若关于的方在，时有解，求实数的取值范围．25．（2024•长宁区校级三模）设函数的定义域为，对于区间，，若满足以下两个性质之一，则称区间是的一个“好区间”．性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有．（1）已知函数，．分别判断区间，，区间，是否为的“好区间”，并说明理由；（2）已知，若区间，是函数，的一个“好区间”，求实数的取值范围；（3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续的曲线，且对于任意，都有（a）（b），求证：存在“好区间”，且存在，为不属于的任意一个“好区间”．26．（2024•浦东新区校级模拟）函数．（1）当时，是否存在实数，使得为奇函数；（2）若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数的取值范围．27．（2024•金山区二模）已知函数，记，，，．（1）若函数的最小正周期为，当时，求和的值；（2）若，，函数有零点，求实数的取值范围．28．（2024•静安区二模）江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点．现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求：①；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为（坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．（1）请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；（2）并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米）（3）若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）．29．（2024•松江区校级模拟）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的阶不动点．其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点．（1）已知，求的不动点；（2）已知函数在定义域内单调递增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件；（3）已知，讨论函数的稳定点个数．30．（2024•杨浦区校级三模）设函数定义域为．若整数、满足，则称与“相关”于．（1）设，，写出所有与2“相关”于的整数；（2）设满足：任取不同的整数、，，与均“相关”于．求证：存在整数，，使得、、都与2024“相关”于；（3）是否存在实数，使得函数，满足：存在，能使所有与“相关”于的非零整数组成一个非空有限集？若这样的存在，指出和0的大小关系（无需证明），并求出的取值范围；若这样的不存在，说明理由．31．（2024•黄浦区校级模拟）已知为实数．对于给定的一组有序实数，若对任意，，都有，则称为的“正向数组”．（1）若，判断是否为的“正向数组”，并说明理由；（2）证明：若为的“正向数组”，则对任意，都有；（3）已知对任意，，都是的“正向数组”，求的取值范围．专题07函数的应用（真题4个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年春考9、16、21题分段函数的应用，函数与方程的关系，函数与方程的综合运用2023春考9、19题函数的零点与方程根的关系，根据实际问题选择合适的函数模型2022秋考8题2022春考21题分段函数的应用函数与方程的综合运用2021年秋考19题函数的实际应用2020年秋考11、19题2020年春考19题函数的零点与方程根的关系，分段函数的实际应用根据实际问题选择函数类型一．函数的零点与方程根的关系（共2小题）1．（2023•上海）已知函数，且，则方程的解为．2．（2020•上海）设，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件：（1）对任意的，的值为或；（2）关于的方程无实数解，则的取值范围是．二．函数与方程的综合运用（共3小题）3．（2024•上海）现定义如下：当时，若，则称为延展函数．现有，当时，与均为延展函数，则以下结论（1）存在，；，与有无穷个交点（2）存在，；，与有无穷个交点A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立4．（2022•上海）已知函数的定义域为，现有两种对变换的操作：变换：；变换：，其中为大于0的常数．（1）设，，为做变换后的结果，解方程：；（2）设，为做变换后的结果，解不等式：；（3）设在上单调递增，先做变换后得到，再做变换后得到；先做变换后得到，再做变换后得到．若恒成立，证明：函数在上单调递增．5．（2024•上海）记（a）（a），，（a）（a），．（1）若，求（1）和（1）；（2）若，求证：对于任意，都有（a），，且存在，使得（a）．（3）已知定义在上有最小值，求证“是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数，均有（c）”．三．分段函数的应用（共2小题）6．（2024•上海）已知，求的的取值范围．7．（2022•上海）若函数，为奇函数，求参数的值为．四．根据实际问题选择函数类型（共4小题）8．（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”，其中为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）．（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”；（结果用含、的代数式表示）（2）定义建筑物的“形状因子”为，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长，又定义为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为．当，时，试求当该宿舍楼的层数为多少时，“体形系数”最小．9．（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长．（1）求今年起的前20个季度的总营业额；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的？10．（2020•上海）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度，交通流量．（1）若交通流量，求道路密度的取值范围；（2）已知道路密度时，测得交通流量，求车辆密度的最大值．11．（2020•上海）有一条长为120米的步行道，是垃圾投放点，若以为原点，为轴正半轴建立直角坐标系，设点，现要建设另一座垃圾投放点，函数表示与点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若，求、、的值，并写出的函数解析式；（2）若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利？

一．选择题（共4小题）1．（2024•普陀区校级模拟）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是A． B． C． D．2．（2024•松江区校级模拟）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在，这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．则下列正确的命题是A．在，这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱 B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱 C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标 D．甲企业在，，，，，这三段时间中，在，的污水治理能力最强3．（2024•普陀区校级模拟）定义在实数集上的函数，如果，使得，则称为函数的不动点．给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，，，则A． B． C． D．4．（2024•嘉定区校级模拟）已知函数，①若函数有最大值，并将其记为（a），则的最大值为，（a）的最小值为；②若函数有零点，并将零点个数记为（a），则函数（a）为偶函数A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立二．填空题（共16小题）5．（2024•浦东新区校级模拟）方程的解是．6．（2024•奉贤区三模）若函数为奇函数，则．7．（2024•杨浦区二模）若函数为奇函数，则函数，的值域为．8．（2024•闵行区三模）对24小时内降水在平地上的积水厚度进行如下定义：①小雨②中雨③大雨④暴雨小明用了一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于等级．（只填入雨水等级所对应的序号）9．（2024•静安区二模）我们称右图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程．现将一边在轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点到“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为．10．（2024•闵行区校级模拟）若，，则满足的的最大值为．11．（2024•闵行区校级三模）已知函数在上恰有5个零点，则实数的最大值为．12．（2024•长宁区二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：甲乙丙接单量（单783182258338油费（元107150110264110376平均每单里程（公里）151515平均每公里油费（元0.70.70.7出租车空驶率；依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，，，，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为、、，则（精确到．13．（2024•浦东新区校级四模）如图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸的处，河岸边处与处相距（其中，两家工厂要在此岸边建一个供水站，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米元和元，供水站建在岸边距离处才能使水管费用最省．14．（2024•闵行区校级三模）已知函数，若函数的零点一共有3个，则实数的取值为．15．（2024•浦东新区校级四模）已知函数，给出下列四个结论：①若有最小值，则的取值范围是；②当时，若无实根，则的取值范围是，，；③当时，不等式的解集为；④当时，若存在，满足，则．其中，所有正确结论的序号为．16．（2024•普陀区模拟）已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是．17．（2024•杨浦区二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起．若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为．18．（2024•青浦区二模）对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的零点，则实数的取值范围是．19．（2024•黄浦区校级模拟）已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是．20．（2024•松江区校级模拟）已知函数，若对任意实数，，方程有解，方程也有解，则的值的集合为．三．解答题（共11小题）21．（2024•宝山区三模）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是名种民俗活动的重要组成部分，传承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣．现有一张矩形卡片，对角线长为为常数），从中裁出一个内接正方形纸片，使得点，分别，上，设，矩形纸片的面积为，正方形纸片的面积为．（1）当时，求正方形纸片的边长（结果用表示）；（2）当变化时，求的最大值及对应的值．22．（2024•闵行区校级三模）如图所示，为沿海岸的高速路，海岛上码头离高速路最近点的距离是，在距离的处有一批药品要尽快送达海岛．现要用海陆联运的方式运送这批药品，设登船点到的距离为，已知汽车速度为，快艇速度为．（参考数据：（1）写出运输时间关于的函数；（2）当选在何处时运输时间最短？23．（2024•虹口区模拟）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为16米的扇形绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅（宽度不计），点在线段上，并且与曲线相切；另一排为单人弧形椅沿曲线（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为元，单人弧形椅的造价每米为元，记锐角，总造价为元．（1）试将表示为的函数，并写出的取值范围；（2）问当的长为多少时，能使总造价最小．24．（2024•浦东新区二模）已知函数，其中．（1）求在，上的解；（2）已知，若关于的方在，时有解，求实数的取值范围．25．（2024•长宁区校级三模）设函数的定义域为，对于区间，，若满足以下两个性质之一，则称区间是的一个“好区间”．性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有．（1）已知函数，．分别判断区间，，区间，是否为的“好区间”，并说明理由；（2）已知，若区间，是函数，的一个“好区间”，求实数的取值范围；（3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续的曲线，且对于任意，都有（a）（b