2020-2024年五年高考数学真题分类汇编专题07 函数的应用（真题4个考点精准练+模拟练）解析版

2020-2024年五年高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题07函数的应用（真题4个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年春考9、16、21题分段函数的应用，函数与方程的关系，函数与方程的综合运用2023春考9、19题函数的零点与方程根的关系，根据实际问题选择合适的函数模型2022秋考8题2022春考21题分段函数的应用函数与方程的综合运用2021年秋考19题函数的实际应用2020年秋考11、19题2020年春考19题函数的零点与方程根的关系，分段函数的实际应用根据实际问题选择函数类型一．函数的零点与方程根的关系（共2小题）1．（2023•上海）已知函数，且，则方程的解为．〖祥解〗分和分别求解即可．【解答】解：当时，，解得；当时，，解得（舍；所以的解为：．故答案为：．【点评】本题考查了分段函数的性质、对数的基本运算、指数的基本运算，属于基础题．2．（2020•上海）设，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件：（1）对任意的，的值为或；（2）关于的方程无实数解，则的取值范围是，，，．〖祥解〗根据条件（1）可知或1，进而结合条件（2）可得的范围【解答】解：根据条件（1）可得或（1），又因为关于的方程无实数解，所以或1，故，，，，故答案为：，，，．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，属于基础题．二．函数与方程的综合运用（共3小题）3．（2024•上海）现定义如下：当时，若，则称为延展函数．现有，当时，与均为延展函数，则以下结论（1）存在，；，与有无穷个交点（2）存在，；，与有无穷个交点A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立〖祥解〗根据题意，对于①，由“延展函数”的定义，分析可得是周期为1的周期函数，结合一次函数的性质可得①错误，对于②，举出例子，可得②正确，综合可得答案．【解答】解：根据题意，当时，与均为延展函数，对于①，对于，，则是周期为1的周期函数，其值域为，因为，与不会有无穷个交点，所以（1）错；对于②，当时，存在使得直线可以与在区间的函数部分重合，因而有无穷个交点，所以（2）正确．故选：．【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的图象，关键理解“延展函数”的定义，属于基础题．4．（2022•上海）已知函数的定义域为，现有两种对变换的操作：变换：；变换：，其中为大于0的常数．（1）设，，为做变换后的结果，解方程：；（2）设，为做变换后的结果，解不等式：；（3）设在上单调递增，先做变换后得到，再做变换后得到；先做变换后得到，再做变换后得到．若恒成立，证明：函数在上单调递增．〖祥解〗（1）推导出，由此能求出．（2）推导出，当时，恒成立；当时，，由此能求出的解集．（3）先求出，从而，先求出，从而，由，得，再由在上单调递增，能证明函数在上单调递增．【解答】解：（1），，为做变换后的结果，，，解得．（2），为做变换后的结果，，，当时，恒成立；当时，，解得，或，综上，不等式：的解集为，，．（3）证明：先做变换后得到，再做变换后得到，，，先做变换后得到，再做变换后得到，，，，在上单调递增，，对恒成立，函数在上单调递增．【点评】本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5．（2024•上海）记（a）（a），，（a）（a），．（1）若，求（1）和（1）；（2）若，求证：对于任意，都有（a），，且存在，使得（a）．（3）已知定义在上有最小值，求证“是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数，均有（c）”．〖祥解〗（1）根据条件，直接求出（1）和（1）即可；（2）由题意知，（a），，记，判断的单调性，求出极值，再对分类讨论，进一步证明结论成立即可；（3）必要性：若为偶函数，则，，（c）（c），，结合条件，得到（c）即可；充分性：若对于任意正实数，均有（c），其中，，（c）（c），，由有最小值，不妨设（a），进一步证明是偶函数即可．【解答】解：（1）由题意，得（1），，；．（2）证明：由题意知，（a），，记，则或2．02正0负0正极大值极小值现对分类讨论，当，有，为严格增函数，因为（a），所以此时（a），，符合条件；当时，，先增后减，，因为取等号），所以，则此时（a），，也符合条件；当时，，，在，严格增，在，严格减，在，严格增，，因为（a），当时，（a），则（a），则此时（a），，成立；综上可知，对于任意，都有（a），，且存在，使得（a）．（3）证明：必要性：若为偶函数，则，，（c）（c），，当，（c），因为，故（c）；充分性：若对于任意正实数，均有（c），其中，，（c）（c），，因为有最小值，不妨设（a），由于任意，令，则，，所以最小元素为（a）．（c）中最小元素为（c），又（c）（c）对任意成立，所以（a），若，则（c）对任意成立是偶函数；若，此后取，，综上，任意，（c），即是偶函数．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，充分必要条件的证明，函数的奇偶性与集合间的关系，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．三．分段函数的应用（共2小题）6．（2024•上海）已知，求的的取值范围，．〖祥解〗根据已知求得，再分以及分别求解即可．【解答】解：根据题意知，所以当时，，解得，；同理当时，，解得；综上所述：，．故答案为：，．【点评】本题主要考查分段函数的相关知识，考查不等式的求解，考查计算能力，属于中档题．7．（2022•上海）若函数，为奇函数，求参数的值为1．〖祥解〗由题意，利用奇函数的定义可得，故有（1），由此求得的值．【解答】解：函数，为奇函数，，（1），，即，求得或．当时，，不是奇函数，故；当时，，是奇函数，故满足条件，综上，，故答案为：1．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质，属于中档题．四．根据实际问题选择函数类型（共4小题）8．（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”，其中为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）．（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”；（结果用含、的代数式表示）（2）定义建筑物的“形状因子”为，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长，又定义为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为．当，时，试求当该宿舍楼的层数为多少时，“体形系数”最小．〖祥解〗（1）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中的定义求解即可；（2）利用导函数求的单调性，即可求出最小时的值．【解答】解：（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：，所以．（2）由题意可得，，所以，令，解得，所以在，单调递减，在，单调递增，所以的最小值在或7取得，当时，，当时，，所以在时，该建筑体最小．【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．9．（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长．（1）求今年起的前20个季度的总营业额；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的？〖祥解〗（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项，公差，再利用等差数列的前项和公式求解即可．（2）解法一：假设今年第一季度往后的第季度的利润首次超过该季度营业额的，则，令，，递推作差可得当时，递减；当时，递增，注意到（1），所以若，则只需考虑的情况即可，再验证出，，即可得到利润首次超过该季度营业额的的时间．解法二：设今年第一季度往后的第季度的利润与该季度营业额的比为，则，所以数列满足，再由，的值即可判断出结果．【解答】解：（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项，公差，，即营业额前20季度的和为31.5亿元．（2）解法一：假设今年第一季度往后的第季度的利润首次超过该季度营业额的，则，令，，即要解，则当时，，令，解得：，即当时，递减；当时，递增，由于（1），因此的解只能在时取得，经检验，，，所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的．解法二：设今年第一季度往后的第季度的利润与该季度营业额的比为，则，数列满足，注意到，，，今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了等差数列的实际应用，同时考查了学生的计算能力，是中档题．10．（2020•上海）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度，交通流量．（1）若交通流量，求道路密度的取值范围；（2）已知道路密度时，测得交通流量，求车辆密度的最大值．〖祥解〗（1）由交通流量随着道路密度的增大而减小，知是单调递减函数，进而知，于是只需，解不等式即可；（2）把，代入的解析式中，求出的值，利用可得到关于的函数关系式，分段判断函数的单调性，并求出各自区间上的最大值，取较大者即可．【解答】解：（1）按实际情况而言，交通流量随着道路密度的增大而减小，故是单调递减函数，所以，当时，最大为85，于是只需令，解得，故道路密度的取值范围为．（2）把，代入中，得，解得．，①当时，，．②当时，是关于的二次函数，，对称轴为，此时有最大值，为．综上所述，车辆密度的最大值为．【点评】本题考查分段函数的实际应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力，属于中档题．11．（2020•上海）有一条长为120米的步行道，是垃圾投放点，若以为原点，为轴正半轴建立直角坐标系，设点，现要建设另一座垃圾投放点，函数表示与点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若，求、、的值，并写出的函数解析式；（2）若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利？〖祥解〗（1）利用题目所给定义表示出，，分类讨论可得；（2）利用题意可得，表示出与坐标轴围成的面积，进而表示出面积不等式，解出不等式即可【解答】解：（1）投放点，，表示与距离最近的投放点（即的距离，所以，同理分析，，，由题意得，，，则当，即时，；当，即时，；综上；（2）由题意得，，所以，则与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，所以，由题意，，即，解得，即垃圾投放点建在与之间时，比建在中点时更加便利．【点评】本题是新定义问题，考查对题目意思的理解，分类讨论是关键，属于中档题．一．选择题（共4小题）1．（2024•普陀区校级模拟）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是A． B． C． D．〖祥解〗由二分法求函数零点的条件即可得解．【解答】解：当函数的图象在轴的同一侧时，不能用二分法进行求解，选项、、的图象均在轴的两侧，可用二分法求解，只有选项的图象在轴的同一侧，不能用二分法求解．故选：．【点评】本题考查用二分法求函数的近似零点，属于基础题．2．（2024•松江区校级模拟）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在，这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．则下列正确的命题是A．在，这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱 B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱 C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标 D．甲企业在，，，，，这三段时间中，在，的污水治理能力最强〖祥解〗根据题目中的数学模型建立关系，比较甲乙企业的污水治理能力．【解答】解：设甲企业的污水排放量与时间的关系为，乙企业的污水排放量与时间的关系为，对于选项，在，这段时间内，甲企业的污水治理能力，乙企业的污水治理能力．由图可知，，所以，即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故选项错误；对于选项，由图可知，在时刻的切线斜率小于在时刻的切线斜率，但两切线斜率均为负值，故在时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故选项错误；对于选项，在时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，故甲、乙两企业的污水排放都达标，故选项错误；对于选项，由图可知，甲企业在，，，，，这三段时间中，在，时的污水治理能力最强，故选项正确，故选：．【点评】本题考查利用数学解决实际生活问题，考查读图和识图能力，属于中档题．3．（2024•普陀区校级模拟）定义在实数集上的函数，如果，使得，则称为函数的不动点．给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，，，则A． B． C． D．〖祥解〗由已知可得，则，．然后证明在上恒成立．令，根据复合函数的单调性可知在上单调递减，即可得出令，根据导函数可得在上单调递减，即可推得．【解答】解：由已知可得，，则，且，所以．又，．令，，则恒成立，所以，在上单调递增，所以，所以．所以，，即．令，，因为函数在上单调递增，在上单调递减，且，根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，所以在上单调递减．又，，所以．因为在上单调递减，，所以．又，所以，即．令，，则恒成立，所以，在上单调递减．又，，所以．综上可得，．故选：．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，证明在上恒成立．然后即可采用放缩法构造函数，进而根据函数的单调性得出大小关系，属于中档题．4．（2024•嘉定区校级模拟）已知函数，①若函数有最大值，并将其记为（a），则的最大值为，（a）的最小值为；②若函数有零点，并将零点个数记为（a），则函数（a）为偶函数A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立〖祥解〗求函数，的极大值2及对应的值，再按，，讨论取得最大值的条件，函数（a）的最小值判断①；再取，，分别求出函数的零点个数判断②即可．【解答】解：令，，求导得，当或时，，当时，，即函数在，上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值，当时，取得极大值（1），令，即，整理得，解得，当时，函数在，上单调递减，在上单调递增，由函数有最大值，得，则，（a）（a）；当时，函数在，上的最大值为2，若，则，因此当时，（a）；当时，，，恒成立，而在，上单调递减，（a），显然，有，因此当时，（a），于是，此时的最大值为，显然（a）在上单调递减，（a），在上单调递减，，所以函数（a）在，上有最小值，命题①成立；当时，，由，得或解得，即函数只有一个零点，因此（2），当时，，由，得或，解得或，即函数有3个零点，因此，显然（2），所以（a）不是偶函数，命题②不成立．故选：．【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了函数性质的综合应用，属于中档题．二．填空题（共16小题）5．（2024•浦东新区校级模拟）方程的解是3．〖祥解〗解关于对数的方程，求出的值即可．【解答】解：，，，解得：，故答案为：3．【点评】本题考查了解对数的运算，考查解对数方程问题，是一道基础题．6．（2024•奉贤区三模）若函数为奇函数，则3．〖祥解〗根据题意，当时，，求出、的表达式，由奇函数的定义分析可得、、的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，设，当时，，则，，又由为奇函数，则恒成立，必有，，，则．故答案为：3．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题．7．（2024•杨浦区二模）若函数为奇函数，则函数，的值域为．〖祥解〗根据题意，当时，，求出此时的值域，结合函数的奇偶性分析可得答案．【解答】解：根据题意，当时，，当时，有，则有，又由为奇函数，则时，为值域为．故答案为：．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的值域，属于基础题．8．（2024•闵行区三模）对24小时内降水在平地上的积水厚度进行如下定义：①小雨②中雨③大雨④暴雨小明用了一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于等级②．（只填入雨水等级所对应的序号）〖祥解〗由圆锥的体积公式，求出雨水的体积，再除以圆的面积，即可求解．【解答】解：设圆锥形容器中积水水面半径为，则，解得，所以积水厚度为，所以．所以一天的雨水属于中雨．故答案为：②．【点评】本题考查圆锥的体积计算，考查分析问题解决问题以及运算求解能力，属于基础题．9．（2024•静安区二模）我们称右图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程．现将一边在轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点到“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为．〖祥解〗由方程得，则曲线上的任意一点求出的最小值为，即可求出心吧面积的最大值．【解答】解：由，时，则曲线上的任意一点，，有，的最小值为，所以最小值为，当时，心吧面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了两点间的距离公式应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．10．（2024•闵行区校级模拟）若，，则满足的的最大值为．〖祥解〗根据指数函数的图象与性质，判断出在上先减后增，结合为偶函数建立关于的不等式，解之可得的最大值．【解答】解：当时，，为，上的增函数，当时，，为上的减函数．而对任意成立，所以为上的偶函数，因此，不等式等价于，即，解得，即实数的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查指数的图象与性质、函数的单调性与奇偶性、分段函数及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．11．（2024•闵行区校级三模）已知函数在上恰有5个零点，则实数的最大值为．〖祥解〗根据正弦的二倍角公式可得或，进而可得的零点情况，结合区间即可确定的最大值．【解答】解：由得，令，可得，解得或，当，，，当时，或，，所以当，，的零点按从小到大排列有：，，，，0，，，，，故在上恰有5个零点，则这5个零点为，，0，，，故的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，涉及二倍角公式及三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．12．（2024•长宁区二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：甲乙丙接单量（单783182258338油费（元107150110264110376平均每单里程（公里）151515平均每公里油费（元0.70.70.7出租车空驶率；依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，，，，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为、、，则20.68（精确到．〖祥解〗根据甲乙两车的空驶率可得空驶率的模型，再将丙车的相关数据代入求解即可．【解答】解：由题意可知甲车行驶的总里程为：（公里），甲车接单行驶的总里程为：（公里），所以甲车没有载客行驶的总里程为：（公里），所以甲车的空驶率；同理可得乙车的空驶率为；由此可得空驶率的模型；所以丙车的空驶率为．故答案为：20.68．【点评】本题考查了函数在生活中的实际运用，考查了学生的计算能力，属于中档题．13．（2024•浦东新区校级四模）如图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸的处，河岸边处与处相距（其中，两家工厂要在此岸边建一个供水站，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米元和元，供水站建在岸边距离处20才能使水管费用最省．〖祥解〗根据题意建立数学模型，通过适当设定变元，构造相应的函数关系，通过求导，求出最值，可确定供水站的位置．【解答】解：根据题意可知点在线段上某一适当位置时，才能使总运费最省，设点距点，则，，，又设总的水管费用为元，由题意得，令，解得，在上，只有一个极值点，根据实际意义，函数在处取得最小值，此时，故供水站建在岸边、之间距甲厂处，能使铺设水管的费用最省．故答案为：20．【点评】本题考查了函数在生活中的实际运用，导数的综合运用，属于中档题．14．（2024•闵行区校级三模）已知函数，若函数的零点一共有3个，则实数的取值为．〖祥解〗函数的零点，即的零点，由于，则零点一共有3个，即可转化为时，有一个根即可，整理成方程以在时有一个根，令，求，判断函数的单调性及取值情况，即可得的取值．【解答】解：的零点满足，即的根，由于，所以，则是的一个根；所以的根三个，则满足当时，有一个根即可，又时，，所以，所以在时有一个根，即在时有一个根，令，所以，令，得，所以时，，在上单调递减；时，，在上单调递增；又趋于0，趋于；比增长的快，所以趋于，趋于．所以．故答案为：．【点评】本题考查了函数的零点、转化思想及导数的综合运用，属于中档题．15．（2024•浦东新区校级四模）已知函数，给出下列四个结论：①若有最小值，则的取值范围是；②当时，若无实根，则的取值范围是，，；③当时，不等式的解集为；④当时，若存在，满足，则．其中，所有正确结论的序号为②③④．〖祥解〗①若有最小值，则，当时，求出函数的最小值，当时，分析各段函数的单调性，求出各段上函数的值域，从而列出不等式组，解此不等式组，即可求得结果；②当时，分析各段函数的单调性，求出各段上函数的值域，根据无实根，求出的范围；③当时，分析各段函数的单调性，求出各段上函数的值域，从而得出在单调递减，利用单调性解不等式；④当时，分析各段函数的单调性，求出各段上函数的值域，若存在，满足，则，，利用分析法和函数的单调性，构造函数，，利用导数研究该函数的单调性，即可证明结论．【解答】解：①若有最小值，则，当时，当时，，当时，在，单调递减，，当时，在单调递减，，有最小值；当时，当时，在单调递减，，当时，在，单调递减，，当时，在单调递减，，，解得，综上，有最小值，则的取值范围是，故①错误；②当时，当时，在单调递增，，当时，在，单调递减，，当时，在单调递减，，若无实根，则的取值范围是，，，故②正确；③当时，当时，在，单调递减，，当时，在单调递减，，在，单调递减，，，，解得，故③正确；④当时，当时，在单调递增，当时，在，单调递减，若存在，满足，则，，要证，即证，而在单调递增，，令，，，在，单调递增，，成立，，故④正确．故答案为：②③④．【点评】本题考查分段函数单调性及应用，函数零点，极值点偏移问题，属中档题．16．（2024•普陀区模拟）已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是．〖祥解〗原式可化为，然后研究函数的图象，只需当时，在下方时，只有一个负整数即可，构造不等式组求解．【解答】解：原不等式可化为：，令，，显然时，，递减；时，，递增，所以，且时，，同一坐标系中，做出与（过定点的图象：据图可知，满足题意的整数解为，此时应满足，解得．故答案为：．【点评】本题考查函数零点个数的判断方法，数形结合思想的应用，属于中档题．17．（2024•杨浦区二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起．若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为134．〖祥解〗设最下层堆放的钢管为，共堆放了层，可得每一次堆放的钢管数为，由题意可得，即，再根据与的奇偶性不同及，分、和、分别求解即可．【解答】解：设最下层堆放的钢管为，共堆放了层，则每一次堆放的钢管数为以为首项，为公差的等差数列，即，又因为共有2024根钢管，所以，即，因为与的奇偶性不同，所以与的奇偶性不同，又因为，所以当时，，解得，此时最上层有119根，等腰梯形的上底为，下底为，两腰长为，求得等腰梯形的高为：，满足题意；当时，，解得，此时最上层有，不符题意．综上，即最下层圆钢根数为134．故答案为：134．【点评】本题考查了数列在生活实际中的应用，考查了等差数列的求和公式及通项公式，属于中档题．18．（2024•青浦区二模）对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的零点，则实数的取值范围是．〖祥解〗结合函数的性质分析函数的特征，作出函数的图象，关于的方程有两个不同的零点转化为与有两个交点，结合函数图象即可求解．【解答】解：①当时，函数单调递减可得：；②当时，由函数单调递增可得：，作出函数的图象，由图象可知：由，可得，故当时，函数与的图象有且只有两个交点，满足关于的方程有两个不同的实根的实数的取值范围是．故答案为：．【点评】本题主要考查了由方程根的个数求解参数范围，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．19．（2024•黄浦区校级模拟）已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是，．〖祥解〗通过讨论和1的大小，结合函数图像即可求解结论．【解答】解：函数，由，得，当时，，不等式无解；当时，由得，此时不合题意．当时，由得，若不等式恰有一个整数解，则整数解为，又，，再结合图像知，，综上所述，实数的取值范围为，．故答案为：，．【点评】本题主要考查函数性质的综合应用，考查数形结合思想，属于中档题．20．（2024•松江区校级模拟）已知函数，若对任意实数，，方程有解，方程也有解，则的值的集合为．〖祥解〗根据题意，不妨设，分类讨论当，，三种情况下，结合方程有解以及余弦函数的图象和性质，从而求出和的值，即可得出的值的集合．【解答】解：由题可知，不妨设，对于，对任意实数，，方程有解，当时，方程可化为有解，所以恒成立，所以；当时，同上；当时，方程可化为有解，所以，，综上得：；对于，对任意实数，，方程也有解，当时，方程可化为有解，所以，；当时，同上；当时，方程可化为有解，所以恒成立，所以，所以的值的集合为．故答案为：．【点评】本题考查函数与方程的综合问题，考查余弦函数的图象和性质，通过设，以及分类讨论与，的大小情况，并将方程有解转化为恒成立问题是解题的关键，考查学生的分类讨论思想和逻辑分析能力．三．解答题（共11小题）21．（2024•宝山区三模）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是名种民俗活动的重要组成部分，传承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣．现有一张矩形卡片，对角线长为为常数），从中裁出一个内接正方形纸片，使得点，分别，上，设，矩形纸片的面积为，正方形纸片的面积为．（1）当时，求正方形纸片的边长（结果用表示）；（2）当变化时，求的最大值及对应的值．〖祥解〗（1）设正方形的边长为，则，，计算得到，代入数据计算得到答案．（2）确定，，计算，根据函数的单调性计算最值得到答案．【解答】解：（1）设正方形的边长为，则，，则，，，即，整理得到，当时，．（2），，，则，，，则，令，在，上单调递减，故，故的最大值为，此时，，故．【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．22．（2024•闵行区校级三模）如图所示，为沿海岸的高速路，海岛上码头离高速路最近点的距离是，在距离的处有一批药品要尽快送达海岛．现要用海陆联运的方式运送这批药品，设登船点到的距离为，已知汽车速度为，快艇速度为．（参考数据：（1）写出运输时间关于的函数；（2）当选在何处时运输时间最短？〖祥解〗（1）根据题意先求出和，然后利用勾股定理以及时间距离速度，即可得到答案；（2）对进行求导，利用导数求解函数单调性，从而得到函数的最值，即可得到答案．【解答】解：（1）由题意知，；（2），令，得，当时，，当时，，所以时，取最小值，所以当点选在距点时运输时间最短．【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．23．（2024•虹口区模拟）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为16米的扇形绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅（宽度不计），点在线段上，并且与曲线相切；另一排为单人弧形椅沿曲线（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为元，单人弧形椅的造价每米为元，记锐角，总造价为元．（1）试将表示为的函数，并写出的取值范围；（2）问当的长为多少时，能使总造价最小．〖祥解〗（1）总造价由两部分组成，根据弧长公式可求得，而切线长需构造直角三角形或借助坐标求解，最后由线段长为正，可得的取值范围；（2）利用导数求函数最值，先求导数，确定导函数零点，分析函数单调性，确定极值点，即最值点即可得答案．【解答】（1）解：过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，在中，，则，在中，，则，由题意易得，所以，；（2），令，得，又，所以，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，总造价最小，最小值为，此时，所以当米时，能使总造价最小．【点评】本题考查了三角函数在实际生活中的应用，属于中档题．24．（2024•浦东新区二模）已知函数，其中．（1）求在，上的解；（2）已知，若关于的方在，时有解，求实数的取值范围．〖祥解〗（1）由特殊角的正弦函数值，可得所求解；（2）运用二倍角的三角函数公式和辅助角公式，结合正弦函数的图象可得所求取值范围．【解答】解：（1），可得，或，即，或，，则在，上的解为，；（2），关于的方程，即在，时有解．由，，可得，，，，所以，的取值范围是，．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，以及方程的根的个数，考查方程思想和运算能力，属于中档题．25．（2024•长宁区校级三模）设函数的定义域为，对于区间，，若满足以下两个性质之一，则称区间是的一个“好区间”．性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有．（1）已知函数，．分别判断区间，，区间，是否为的“好区间”，并说明理由；（2）已知，若区间，是函数，的一个“好区间”，求实数的取值范围；（3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续的曲线，且对于任意，都有（a）（b），求证：存在“好区间”，且存在，为不属于的任意一个“好区间”．〖祥解〗（1）由“好区间”的定义判断即可；（2）利用导数求出函数的单调区间及极值，根据“好区间”的定义可判断出上满足性质②，再由，，，求解即可；（3）由题意可得在任意区间，上对应的函数值区间长度必大于，从而可得在任意区间，上都不满足性质①，且在上单调递减，即有即存在，分，，证明即可．【解答】解：（1），当，时，，，满足性质①，所以，是的“好区间”；当，时，，，既不满足性质①，也不满足性质②，所以，不是的“好区间”；（2），03012单调递减极小值3单调递增若在区间，上满足性质①，则，，，而，，，所以在区间，上不满足性质①若在区间上满足性质②，当时，（3），所以，，，当时，因为（3），所以不符合；综上所述，实数的取值范围是；（3）证明：因为任意，都有（a）（b）．所以在任意区间，上对应的函数值区间长度必大于，即在任意区间，上都不满足性质①，因为对于任意，都有（a）（b），所以在上单调递减，所以不恒成立，即存在，若，取，则（a）（b），在区间，上对应函数值的区间（b），（a），（b），（a），，所以，是一个“好区间”；若，取，则（b）（a），在区间，上对应函数值的区间（b），（a），（b），（a），，，是一个“好区间”；所以存在“好区间”；记，因为在上单调递减，所以在上单调递减；又图像是一条连续的曲线，所以图像也是一条连续的曲线，先证明有零点，设，若，则有零点为，若，则，，，在区间上有零点；若，则，，，在区间上有零点；所以必有零点，记为，即的“好区间”都满足性质②，所以不属于任意一个“好区间”．【点评】本题属于新概念题，考查了导数的综合应用、分类讨论思想，理解定义是关键，属于中档题．26．（2024•浦东新区校级模拟）函数．（1）当时，是否存在实数，使得为奇函数；（2）若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数的取值范围．〖祥解〗（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断；（2）先把点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，函数，当时，，定义域为，，，假设为奇函数，则（1），而（1），，则，此时无实数满足条件，所以不存在实数，使得函数为奇函数；（2）图像经过点，则代入得，解得，所以，定义域为，，，令，则的图像与轴负半轴有两个交点，所以，即，解得，若，即是方程的解，则代入可得，解得或．由题意得，所以实数的取值范团且，即的取值范围为且．【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的奇偶性的性质，属于中档题．27．（2024•金山区二模）已知函数，记，，，．（1）若函数的最小正周期为，当时，求和的值；（2）若，，函数有零点，求实数的取值范围．〖祥解〗（1）由周期公式求解，由，求解；（2）设，将问题转化为，在，有解，结合二次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）因为函数的最小正周期为，所以，解得，又因为当时，，所以，得，因为，所以取，得，所以，；（2）当，时，，，设．由题意得，在，有解．即，又因为在，上单调递减，所以，．【点评】本题考查了三角函数的性质、二次函数的性质及转化思想，属于中档题．28．（2024•静安区二模）江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点．现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求：①；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为（坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．（1）请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；（2）并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米）（3）若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）．〖祥解〗（1）以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意可得圆的方程，从而得答案；（2）由题意可得点坐标，进而可得圆弧的长度，由，的坐标可得圆弧的长，即可得答案；（3）让桥的侧面所在平面垂直于地平面，从而可得几何体，提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？方案1：由求解即可；方案2：由求解即可．【解答】解：（1）如图，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系．则圆的方程为；由，，得，．过点作圆的切线，切点为，则直线的斜率为，其方程为．所以直线的斜率为，其方程为，将其代入，得点的坐标为．经过点作圆与圆切于点（圆与轴的交点），设圆的半径为，则，即，解得．所以圆的方程为，故用函数表示过桥道路为：；（2）由点的坐标为，得，所以圆弧的长为，由点的坐标为，点的坐标为，得，所以圆弧的长为，故过桥道路的总长度为；（3）设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，则桥拱左侧铺设的是以曲边形为底面，高为10米的柱体；桥拱右侧铺设的是以曲边形为底面，高为10米的柱体；提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？方案，所以铺设过桥路需要混凝土为．方案，所以铺设过桥路需要混凝土．【点评】本题考查了函数在生活中的实际运用，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．29．（2024•松江区校级模拟）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的阶不动点．其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点．（1）已知，求的不动点；（2）已知函数在定义域内单调递增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件；（3）已知，讨论函数的稳定点个数．〖祥解〗（1）设，判断该函数单调性，确定其解，即可求得答案；（2）根据函数新定义的含义，结合充分性以及必要性的证明，即可证明结论；（3）由题意可知只需研究的不动点即可，令，求出其导数，判断其单调性，然后分类讨论的取值范围，判断的零点情况，即可判断的稳定点个数．【解答】解：（1）设，则恒成立，故函数在上单调递增，又（1），故函数在上有唯一零点，即有唯一不动点1；（2）证明：充分性：设为函数的不动点，则，则，即为函数的稳定点，充分性成立；必要性：设为函数的稳定点，即，假设，而在定义域内单调递增，若，则，与矛盾；若，则，与矛盾；故必有，即，即，故为函数的不动点，综上，“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件；（3）当时，函数在上单调递增，由（2）知的稳定点与的不动点等价，故只需研究的不动点即可；令，则，则在上单调递减，①当时，恒成立，即在上单调递增，当无限接近于0时，趋向于负无穷小，且，故存在唯一的，使得，即有唯一解，所以此时有唯一不动点；②当时，即时，，当趋向无穷大时，趋近于0，此时，存在唯一，使得，此时在上单调递增，在，上单调递减，故，当趋近于0时，趋向于负无穷大，当趋向正无穷大时，趋向于负无穷大，设，则在上单调递增，且，又在时单调递增，故当时，即，此时，方程有一个解，即有唯一不动点；当，即，此时，方程无解，即无不动点；当时，即，此时，方程有两个解，即有两个不动点；综上，当时或时，有唯一稳定点；当时，无稳定点；当，有两个稳定点．【点评】本题考查了函数新定义问题，考查了分类讨论思想、导数的综合运用及逻辑思维能力，属于难题．30．（2024•杨浦区校级三模）设函数定义域为．若整数、满足，则称与“相关”于．（1）设，，写出所有与2“相关”于的整数；（2）设满足：任取不同的整数、，，与均“相关”于．求证：存在整数，，使得、、都与2024“相关”于；（3）是否存在实数，使得函数，满足：存在，能使所有与“相关”于的非零整数组成一个非空有限集？若这样的存在，指出和0的大小关系（无需证明），并求出的取值范围；若这样的不存在，说明理由．〖祥解〗（1）直接根据定义解不等式即可；（2）根据定义可以确定（1），（2），，中至多有两个非零数，再直接推知结论；（3）对命题进行等价转化，然后使用分类讨论方法即可确定的取值范围，并得到．【解答】解：（1）若要整数与2“相关”于，即（2），由于（2），故这等价于，即，得到满足条件的全部为，，，0，1．（2）由题意知，（1），（2），，这十个数中，任取其中两个，其乘积都不为正数，这意味着，这十个数中至多有一个正数，也至多有一个负数，所以这十个数中至多有两个数不等于零．假设（1），（2），（3）不全为零，（4），（5），（6）不全为零，（7），（8），（9）也不全为零．那么这十个数中已经出现了三个不为零的数，矛盾．所以必定存在整数，4，，，使得，此时，所以，，都与2024“相关”于．（3）原条件等价于下列两个命题之一成立：①存在使得且集合，是非空有限集；②存在使得，且集合，是非空有限集．设，则，从而当时，当时，所以在，上递增，在，上递减，从而．对求导可得．若，则当时，由且知，；当时，有，所以，，从而，都不是非空有限集，故此时命题①和②都不成立；若，则当时，得；当时，由有，，所以在，上递减，从而对有（1），所以对任意都有，从而命题①不成立；而同时这意味着包含一切非零整数，所以命题②不成立；若，则当时，由，得；当时，由知，从而，故，从而一定是有限集．而，因为，，所以，从而一定是非空有限集．同时，上面已经证明，所以此时命题②成立；若，则当时，有；当时，有．所以，，从而，都不是非空有限集，故此时命题①和②都不成立．综上，的取值范围是，且此时存在使得，且集合，是非空有限集．这表明对每个满足条件的，都有．【点评】本题考查了函数性质的综合应用，考查了函数思想．属于难题．31．（2024•黄浦区校级模拟）已知为实数．对于给定的一组有序实数，若对任意，，都有，则称为的“正向数组”．（1）若，判断是否为的“正向数组”，并说明理由；（2）证明：若为的“正向数组”，则对任意，都有；（3）已知对任意，，都是的“正向数组”，求的取值范围．〖祥解〗（1）代入有，根据函数性质得到的正负时不同取值情况即可；（2）假设存在，使得，通过正向数组定义转化得对任意，恒成立，设，再利用函数的性质即可证明假没不成立：（3）代入有恒成立或恒成立，设，求出是的最大值或最小值时的取值范围即可．【解答】（1）解：若，，对，，，即，而当，时，，，即，不满足题意，所以不是的“正向数组“；（2）证明：假设存在，使得，为的“正向数组“，对任意，都有，对任意，恒成立，令，则在上恒成立，，设，则，则当时，在上为负，在上为正，所以在上单调递减，在上单调递增，若，当，，当，，即存在，使在上为正，在，上为负，在，上为正，所以在上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增，又当，，当，，则的值域为，若，，在上单调递增，又当，，当，，则的值域为，当时，，在上单调递增，又当，，当，，则的值域为，，由值域可看出，与在上恒成立矛盾．对任意，都有；（3），都是的“正向数组”，对任意，，都有，则恒成立或恒成立，即恒成立或恒成立，设，则，即是的最大值或最小值，，且，当时，由（2）可得，的值域为，无最大值或最小值，当时，在上单调递增，又，则在上为负，在，上为正，所以在上单调递减，在，上单调递增，则是的最小值，满足，此时对任意，，都有，的取值范围是，．【点评】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，含参分类讨论求函数的单调区间，函数新定义，属于难题．专题07函数的应用（真题4个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年春考9、16、21题分段函数的应用，函数与方程的关系，函数与方程的综合运用2023春考9、19题函数的零点与方程根的关系，根据实际问题选择合适的函数模型2022秋考8题2022春考21题分段函数的应用函数与方程的综合运用2021年秋考19题函数的实际应用2020年秋考11、19题2020年春考19题函数的零点与方程根的关系，分段函数的实际应用根据实际问题选择函数类型一．函数的零点与方程根的关系（共2小题）1．（2023•上海）已知函数，且，则方程的解为．〖祥解〗分和分别求解即可．【解答】解：当时，，解得；当时，，解得（舍；所以的解为：．故答案为：．【点评】本题考查了分段函数的性质、对数的基本运算、指数的基本运算，属于基础题．2．（2020•上海）设，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件：（1）对任意的，的值为或；（2）关于的方程无实数解，则的取值范围是，，，．〖祥解〗根据条件（1）可知或1，进而结合条件（2）可得的范围【解答】解：根据条件（1）可得或（1），又因为关于的方程无实数解，所以或1，故，，，，故答案为：，，，．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，属于基础题．二．函数与方程的综合运用（共3小题）3．（2024•上海）现定义如下：当时，若，则称为延展函数．现有，当时，与均为延展函数，则以下结论（1）存在，；，与有无穷个交点（2）存在，；，与有无穷个交点A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立〖祥解〗根据题意，对于①，由“延展函数”的定义，分析可得是周期为1的周期函数，结合一次函数的性质可得①错误，对于②，举出例子，可得②正确，综合可得答案．【解答】解：根据题意，当时，与均为延展函数，对于①，对于，，则是周期为1的周期函数，其值域为，因为，与不会有无穷个交点，所以（1）错；对于②，当时，存在使得直线可以与在区间的函数部分重合，因而有无穷个交点，所以（2）正确．故选：．【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的图象，关键理解“延展函数”的定义，属于基础题．4．（2022•上海）已知函数的定义域为，现有两种对变换的操作：变换：；变换：，其中为大于0的常数．（1）设，，为做变换后的结果，解方程：；（2）设，为做变换后的结果，解不等式：；（3）设在上单调递增，先做变换后得到，再做变换后得到；先做变换后得到，再做变换后得到．若恒成立，证明：函数在上单调递增．〖祥解〗（1）推导出，由此能求出．（2）推导出，当时，恒成立；当时，，由此能求出的解集．（3）先求出，从而，先求出，从而，由，得，再由在上单调递增，能证明函数在上单调递增．【解答】解：（1），，为做变换后的结果，，，解得．（2），为做变换后的结果，，，当时，恒成立；当时，，解得，或，综上，不等式：的解集为，，．（3）证明：先做变换后得到，再做变换后得到，，，先做变换后得到，再做变换后得到，，，，在上单调递增，，对恒成立，函数在上单调递增．【点评】本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5．（2024•上海）记（a）（a），，（a）（a），．（1）若，求（1）和（1）；（2）若，求证：对于任意，都有（a），，且存在，使得（a）．（3）已知定义在上有最小值，求证“是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数，均有（c）”．〖祥解〗（1）根据条件，直接求出（1）和（1）即可；（2）由题意知，（a），，记，判断的单调性，求出极值，再对分类讨论，进一步证明结论成立即可；（3）必要性：若为偶函数，则，，（c）（c），，结合条件，得到（c）即可；充分性：若对于任意正实数，均有（c），其中，，（c）（c），，由有最小值，不妨设（a），进一步证明是偶函数即可．【解答】解：（1）由题意，得（1），，；．（2）证明：由题意知，（a），，记，则或2．02正0负0正极大值极小值现对分类讨论，当，有，为严格增函数，因为（a），所以此时（a），，符合条件；当时，，先增后减，，因为取等号），所以，则此时（a），，也符合条件；当时，，，在，严格增，在，严格减，在，严格增，，因为（a），当时，（a），则（a），则此时（a），，成立；综上可知，对于任意，都有（a），，且存在，使得（a）．（3）证明：必要性：若为偶函数，则，，（c）（c），，当，（c），因为，故（c）；充分性：若对于任意正实数，均有（c），其中，，（c）（c），，因为有最小值，不妨设（a），由于任意，令，则，，所以最小元素为（a）．（c）中最小元素为（c），又（c）（c）对任意成立，所以（a），若，则（c）对任意成立是偶函数；若，此后取，，综上，任意，（c），即是偶函数．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，充分必要条件的证明，函数的奇偶性与集合间的关系，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．三．分段函数的应用（共2小题）6．（2024•上海）已知，求的的取值范围，．〖祥解〗根据已知求得，再分以及分别求解即可．【解答】解：根据题意知，所以当时，，解得，；同理当时，，解得；综上所述：，．故答案为：，．【点评】本题主要考查分段函数的相关知识，考查不等式的求解，考查计算能力，属于中档题．7．（2022•上海）若函数，为奇函数，求参数的值为1．〖祥解〗由题意，利用奇函数的定义可得，故有（1），由此求得的值．【解答】解：函数，为奇函数，，（1），，即，求得或．当时，，不是奇函数，故；当时，，是奇函数，故满足条件，综上，，故答案为：1．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质，属于中档题．四．根据实际问题选择函数类型（共4小题）8．（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”，其中为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）．（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”；（结果用含、的代数式表示）（2）定义建筑物的“形状因子”为，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长，又定义为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为．当，时，试求当该宿舍楼的层数为多少时，“体形系数”最小．〖祥解〗（1）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中的定义求解即可；（2）利用导函数求的单调性，即可求出最小时的值．【解答】解：（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：，所以．（2）由题意可得，，所以，令，解得，所以在，单调递减，在，单调递增，所以的最小值在或7取得，当时，，当时，，所以在时，该建筑体最小．【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．9．（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长．（1）求今年起的前20个季度的总营业额；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的？〖祥解〗（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项，公差，再利用等差数列的前项和公式求解即可．（2）解法一：假设今年第一季度往后的第季度的利润首次超过该季度营业额的，则，令，，递推作差可得当时，递减；当时，递增，注意到（1），所以若，则只需考虑的情况即可，再验证出，，即可得到利润首次超过该季度营业额的的时间．解法二：设今年第一季度往后的第季度的利润与该季度营业额的比为，则，所以数列满足，再由，的值即可判断出结果．【解答】解：（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项，公差，，即营业额前20季度的和为31.5亿元．（2）解法一：假设今年第一季度往后的第季度的利润首次超过该季度营业额的，则，令，，即要解，则当时，，令，解得：，即当时，递减；当时，递增，由于（1），因此的解只能在时取得，经检验，，，所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的．解法二：设今年第一季度往后的第季度的利润与该季度营业额的比为，则，数列满足，注意到，，，今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了等差数列的实际应用，同时考查了学生的计算能力，是中档题．10．（2020•上海）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度，交通流量．（1）若交通流量，求道路密度的取值范围；（2）已知道路密度时，测得交通流量，求车辆密度的最大值．〖祥解〗（1）由交通流量随着道路密度的增大而减小，知是单调递减函数，进而知，于是只需，解不等式即可；（2）把，代入的解析式中，求出的值，利用可得到关于的函数关系式，分段判断函数的单调性，并求出各自区间上的最大值，取较大者即可．【解答】解：（1）按实际情况而言，交通流量随着道路密度的增大而减小，故是单调递减函数，所以，当时，最大为85，于是只需令，解得，故道路密度的取值范围为．（2）把，代入中，得，解得．，①当时，，．②当时，是关于的二次函数，，对称轴为，此时有最大值，为．综上所述，车辆密度的最大值为．【点评】本题考查分段函数的实际应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力，属于中档题．11．（2020•上海）有一条长为120米的步行道，是垃圾投放点，若以为原点，为轴正半轴建立直角坐标系，设点，现要建设另一座垃圾投放点，函数表示与点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若，求、、的值，并写出的函数解析式；（2）若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利？〖祥解〗（1）利用题目所给定义表示出，，分类讨论可得；（2）利用题意可得，表示出与坐标轴围成的面积，进而表示出面积不等式，解出不等式即可【解答】解：（1）投放点，，表示与距离最近的投放点（即的距离，所以，同理分析，，，由题意得，，，则当，即时，；当，即时，；综上；（2）由题意得，，所以，则与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，所以，由题意，，即，解得，即垃圾投放点建在与之间时，比建在中点时更加便利．【点评】本题是新定义问题，考查对题目意思的理解，分类讨论是关键，属于中档题．一．选择题（共4小题）1．（2024•普陀区校级模拟）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是A． B． C． D．〖祥解〗由二分法求函数零点的条件即可得解．【解答】解：当函数的图象在轴的同一侧时，不能用二分法进行求解，选项、、的图象均在轴的两侧，可用二分法求解，只有选项的图象在轴的同一侧，不能用二分法求解．故选：．【点评】本题考查用二分法求函数的近似零点，属于基础题．2．（2024•松江区校级模拟）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在，这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．则下列正确的命题是A．在，这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱 B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱 C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标 D．甲企业在，，，，，这三段时间中，在，的污水治理能力最强〖祥解〗根据题目中的数学模型建立关系，比较甲乙企业的污水治理能力．【解答】解：设甲企业的污水排放量与时间的关系为，乙企业的污水排放量与时间的关系为，对于选项，在，这段时间内，甲企业的污水治理能力，乙企业的污水治理能力．由图可知，，所以，即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故选项错误；对于选项，由图可知，在时刻的切线斜率小于在时刻的切线斜率，但两切线斜率均为负值，故在时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故选项错误；对于选项，在时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，故甲、乙两企业的污水排放都达标，故选项错误；对于选项，由图可知，甲企业在，，，，，这三段时间中，在，时的污水治理能力最强，故选项正确，故选：．【点评】本题考查利用数学解决实际生活问题，考查读图和识图能力，属于中档题．3．（2024•普陀区校级模拟）定义在实数集上的函数，如果，使得，则称为函数的不动点．给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，，，则A． B． C． D．〖祥解〗由已知可得，则，．然后证明在上恒成立．令，根据复合函数的单调性可知在上单调递减，即可得出令，根据导函数可得在上单调递减，即可推得．【解答】解：由已知可得，，则，且，所以．又，．令，，则恒成立，所以，在上单调递增，所以，所以．所以，，即．令，，因为函数在上单调递增，在上单调递减，且，根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，所以在上单调递减．又，，所以．因为在上单调递减，，所以．又，所以，即．令，，则恒成立，所以，在上单调递减．又，，所以．综上可得，．故选：．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，证明在上恒成立．然后即可采用放缩法构造函数，进而根据函数的单调性得出大小关系，属于中档题．4．（2024•嘉定区校级模拟）已知函数，①若函数有最大值，并将其记为（a），则的最大值为，（a）的最小值为；②若函数有零点，并将零点个数记为（a），则函数（a）为偶函数A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立〖祥解〗求函数，的极大值2及对应的值，再按，，讨论取得最大值的条件，函数（a）的最小值判断①；再取，，分别求出函数的零点个数判断②即可．【解答】解：令，，求导得，当或时，，当时，，即函数在，上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值，当时，取得极大值（1），令，即，整理得，解得，当时，函数在，上单调递减，在上单调递增，由函数有最大值，得，则，（a）（a）；当时，函数在，上的最大值为2，若，则，因此当时，（a）；当时，，，恒成立，而在，上单调递减，（a），显然，有，因此当时，（a），于是，此时的最大值为，显然（a）在上单调递减，（a），在上单调递减，，所以函数（a）在，上有最小值，命题①成立；当时，，由，得或解得，即函数只有一个零点，因此（2），当时，，由，得或，解得或，即函数有3个零点，因此，显然（2），所以（a）不是偶函数，命题②不成立．故选：．【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了函数性质的综合应用，属于中档题．二．填空题（共16小题）5．（2024•浦东新区校级模拟）方程的解是3．〖祥解〗解关于对数的方程，求出的值即可．【解答】解：，，，解得：，故答案为：3．【点评】本题考查了解对数的运算，考查解对数方程问题，是一道基础题．6．（2024•奉贤区三模）若函数为奇函数，则3．〖祥解〗根据题意，当时，，求出、的表达式，由奇函数的定义分析可得、、的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，设，当时，，则，，又由为奇函数，则恒成立，必有，，，则．故答案为：3．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题．7．（2024•杨浦区二模）若函数为奇函数，则函数，的值域为．〖祥解〗根据题意，当时，，求出此时的值域，结合函数的奇偶性分析可得答案．【解答】解：根据题意，当时，，当时，有，则有，又由为奇函数，则时，为值域为．故答案为：．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的值域，属于基础题．8．（2024•闵行区三模）对24小时内降水在平地上的积水厚度进行如下定义：①小雨②中雨③大雨④暴雨小明用了一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于等级②．（只填入雨水等级所对应的序号）〖祥解〗由圆锥的体积公式，求出雨水的体积，再除以圆的面积，即可求解．【解答】解：设圆锥形容器中积水水面半径为，则，解得，所以积水厚度为，所以．所以一天的雨水属于中雨．故答案为：②．【点评】本题考查圆锥的体积计算，考查分析问题解决问题以及运算求解能力，属于基础题．9．（2024•静安区二模）我们称右图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程．现将一边在轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点到“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为．〖祥解〗由方程得，则曲线上的任意一点求出的最小值为，即可求出心吧面积的最大值．【解答】解：由，时，则曲线上的任意一点，，有，的最小值为，所以最小值为，当时，心吧面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了两点间的距离公式应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．10．（2024•闵行区校级模拟）若，，则满足的的最大值为．〖祥解〗根据指数函数的图象与性质，判断出在上先减后增，结合为偶函数建立关于的不等式，解之可得的最大值．【解答】解：当时，，为，上的增函数，当时，，为上的减函数．而对任意成立，所以为上的偶函数，因此，不等式等价于，即，解得，即实数的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查指数的图象与性质、函数的单调性与奇偶性、分段函数及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．11．（2024•闵行区校级三模）已知函数在上恰有5个零点，则实数的最大值为．〖祥解〗根据正弦的二倍角公式可得或，进而可得的零点情况，结合区间即可确定的最大值．【解答】解：由得，令，可得，解得或，当，，，当时，或，，所以当，，的零点按从小到大排列有：，，，，0，，，，，故在上恰有5个零点，则这5个零点为，，0，，，故的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，涉及二倍角公式及三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．12．（2024•长宁区二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：甲乙丙接单量（单783182258338油费（元107150110264110376平均每单里程（公里）151515平均每公里油费（元0.70.70.7出租车空驶率；依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，，，，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为、、，则20.68（精确到．〖祥解〗根据甲乙两车的空驶率可得空驶率的模型，再将丙车的相关数据代入求解即可．【解答】解：由题意可知甲车行驶的总里程为：（公里），甲车接单行驶的总里程为：（公里），所以甲车没有载客行驶的总里程为：（公里），所以甲车的空驶率；同理可得乙车的空驶率为；由此可得空驶率的模型；所以丙车的空驶率为．故答案为：20.68．【点评】本题考查了函数在生活中的实际运用，考查了学生的计算能力，属于中档题．13．（2024•浦东新区校级四模）如图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸的处，河岸边处与处相距（其中，两家工厂要在此岸边建一个供水站，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米元和元，供水站建在岸边距离处20才能使水管费用最省．〖祥解〗根据题意建立数学模型，通过适当设定变元，构造相应的函数关系，通过求导，求出最值，可确定供水站的位置．【解答】解：根据题意可知点在线段上某一适当位置时，才能使总运费最省，设点距点，则，，，又设总的水管费用为元，由题意得，令，解得，在上，只有一个极值点，根据实际意义，函数在处取得最小值，此时，故供水站建在岸边、之间距甲厂处，能使铺设水管的费用最省．故答案为：20．【点评】本题考查了函数在生活中的实际运用，导数的综合运用，属于中档题．14．（2024•闵行区校级三模）已知函数，若函数的零点一共有3个，则实数的取值为．〖祥解〗函数的零点，即的零点，由于，则零点一共有3个，即可转化为时，有一个根即可，整理成方程以在时有一个根，令，求，判断函数的单调性及取值情况，即可得的取值．【解答】解：的零点满足，即的根，由于，所以，则是的一个根；所以的根三个，则满足当时，有一个根即可，又时，，所以，所以在时有一个根，即在时有一个根，令，所以，令，得，所以时，，在上单调递减；时，，在上单调递增；又趋于0，趋于；比增长的快，所以趋于，趋于．所以．故答案为：．【点评】本题考查了函数的零点、转化思想及导数的综合运用，属于中档题．15．（2024•浦东新区校级四模）已知函数，给出下列四个结论：①若有最小值，则的取值范围是；②当时，若无实根，则的取值范围是，，；③当时，不等式的解集为；④当时，若存在，满足，则．其中，所有正确结论的序号为②③④．〖祥解〗①若有最小值，则，当时，求出函数的最小值，当时，分析各段函数的单调性，求出各段上函数的值域，从而列出不等式组，解此不等式组，即可求得结果；②当时，分析各段函数的单调性，求出各段上函数的值域，根据无实根，求出的范围；③当时，分析各段函数的单调性，求出各段上函数的值域，从而得出在单调递减，利用单调性解不等式；④当时，分析各段函数的单调性，求出各段上函数的值域，若存在，满足，则，，利用分析法和函数的单调性，构造函数，，利用导数研究该函数的单调性，即可证明结论．【解答】解：①若有最小值，则，当时，当时，，当时，在，单调递减，，当时，在单调递减，，有最小值；当时，当时，在单调递减，，当时，在，单调递减，，当时，在单调递减，，，解得，综上，有最小值，则的取值范围是，故①错误；②当时，当时，在单调递增，，当时，在，单调递减，，当时，在单调递减，，若无实根，则的取值范围是，，，故②正确；③当时，当时，在，单调递减，，当时，在单调递减，，在，单调递减，，，，解得，故③正确；④当时，当时，在单调递增，当时，在，单调递减，若存在，满足，则，，要证，即证，而在单调递增，，令，，，在，单调递增，，成立，，故④正确．故答案为：②③④．【点评】本题考查分段函数单调性及应用，函数零点，极值点偏移问题，属中档题．16．（2024•普陀区模拟）已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是．〖祥解〗原式可化为，然后研究函数的图象，只需当时，在下方时，只有一个负整数即可，构造不等式组求解．【解答】解：原不等式可化为：，令，，显然时，，递减；时，，递增，所以，且时，，同一坐标系中，做出与（过定点的图象：据图可知，满足题意的整数解为，此时应满足，解得．故答案为：．【点评】本题考查函数零点个数的判断方法，数形结合思想的应用，属于中档题．17．（2024•杨浦区二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起．若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为134．〖祥解〗设最下层堆放的钢管为，共堆放了层，可得每一次堆放的钢管数为，由题意可得，即，再根据与的奇偶性不同及，分、和、分别求解即可．【解答】解：设最下层堆放的钢管为，共堆放了层，则每一次堆放的钢管数为以为首项，为公差的等差数列，即，又因为共有2024根钢管，所以，即，因为与的奇偶性不同，所以与的奇偶性不同，又因为，所以当时，，解得，此时最上层有119根，等腰梯形的上底为，下底为，两腰长为，求得等腰梯形的高为：，满足题意；当时，，解得，此时最上层有，不符题意．综上，即最下层圆钢根数为134．故答案为：134．【点评】本题考查了数列在生活实际中的应用，考查了等差数列的求和公式及通项公式，属于中档题．18．（2024•青浦区二模）对于函数