2020-2024年五年高考数学真题分类汇编专题06 解三角形（真题5个考点精准练+模拟练）解析版

2020-2024年五年高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题06解三角形（真题5个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年秋考11题2024春考5题解三角形正弦定理2023秋考8、11题2023春考18题余弦定理的应用、利用导数解三角形中几何问题正弦定理、三角形面积公式2022秋考19题2022春考8题正余弦定理和面积公式正弦定理和余弦定理2021秋考18题2021春考18题正、余弦定理的应用、三角形面积求法正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用一．正弦定理（共3小题）1．（2024•上海）三角形中，，则．〖祥解〗根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．【解答】解：三角形中，，，由正弦定理，，，故．故答案为：．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．2．（2021•上海）已知、、为的三个内角，、、是其三条边，，．（1）若，求、；（2）若，求．〖祥解〗（1）由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值．（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得，，的值，进而根据正弦定理可得的值．【解答】解：（1）因为，可得，又，可得，由于，可得．（2）因为，可得，又，可解得，，或，，因为，可得，，可得为钝角，若，，可得，可得，可得为钝角，这与为钝角矛盾，舍去，所以，由正弦定理，可得．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．3．（2021•上海）在中，已知，．（1）若，求．（2）若，求．〖祥解〗（1）由余弦定理求得，从而求得面积；（2）由正、余弦定理求得、值，从而求得周长．【解答】解：（1）由余弦定理得，解得，；（2），由正弦定理得，又，，，，，为锐角，．由余弦定理得：，又，，，得：，解得：．当时，时；当时，时．【点评】本题考查余正、弦定理应用、三角形面积求法，考查数学运算能力，属于中档题．二．正弦定理与三角形的外接圆（共1小题）4．（2022•上海）已知在中，，，，则的外接圆半径为．〖祥解〗直接利用正弦定理和余弦定理求出结果．【解答】解：在中，，，，利用余弦定理，整理得，所以，解得．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．三．余弦定理（共1小题）5．（2023•上海）已知中，角，，所对的边，，，则．〖祥解〗先利用余弦定理求出，再利用同角三角函数间的基本关系求解．【解答】解：，，，由余弦定理得，，又，，．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题．四．三角形中的几何计算（共2小题）6．（2023•上海）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为．行人每沿着斜坡向上走消耗的体力为，欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则．〖祥解〗先求出斜坡的长度，求出上坡所消耗的总体力的函数关系，求出函数的导数，利用导数研究函数的最值即可．【解答】解：斜坡的长度为，上坡所消耗的总体力，函数的导数，由，得，得，，由时，即时，函数单调递增，由时，即时，函数单调递减，即，函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小．故答案为：．【点评】本题主要考查生活的应用问题，求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键，是中档题．7．（2022•上海）如图，在同一平面上，，，为中点，曲线上任一点到距离相等，角，，关于对称，；（1）若点与点重合，求的大小；（2）在何位置，求五边形面积的最大值．〖祥解〗（1）在中，直接利用余弦定理求出，再结合正弦定理求解；（2）利用五边形的对称性，将所求的面积化为四边形的面积计算问题，充分利用圆弧的性质，找到最大值点，从而解决问题．【解答】解：（1）点与点重合，由题意可得，，，由余弦定理可得，所以，在中，由正弦定理得，所以，解得，所以的大小为；（2）如图，连结，，，，曲线上任意一点到距离相等，，，关于对称，点在劣弧中点或劣弧的中点位置，，则，则五边形面积，其中，当时，取最大值，五边形面积的最大值为．【点评】本题考查了扇形的性质、正、余弦定理和面积公式在解三角形问题中的应用，同时考查了学生的逻辑推理能力、运算能力等，属于中档题．五．解三角形（共2小题）8．（2024•上海）已知点在点正北方向，点在点的正东方向，，存在点满足，，则．（精确到0.1度）〖祥解〗根据已知条件，结合正弦定理，余弦定理，即可求解．【解答】解：在中，根据正弦定理可得，设，则，所以，①在中，根据正弦定理可得，，②联立①②，因为，所以，利用计算器可得，，即．故答案为：．【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．9．（2023•上海）在中，角、、所对应的边分别为、、，其中．（1）若，，求边长；（2）若，，求的面积．〖祥解〗（1）由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求，，，然后结合锐角三角函数即可求解；（2）由已知结合正弦定理先求出，进而可求，再由正弦定理求出，结合三角形面积公式可求．【解答】解：（1），且，，，，，，，；（2），则，，，，为锐角，，，，，，．【点评】本题主要考查了和差角公式，正弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．一．选择题（共3小题）1．（2024•奉贤区三模）在中，“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件〖祥解〗观察两条件的互推性即可求解．【解答】解：”“”是“的充分条件，但时有无数解，可以是或，不能推出，故选：．【点评】本题考查充分必要条件是高考的热点问题，值得一做．2．（2024•嘉定区二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为，墙的高度均为3米．在时刻，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻最可能为太阳高度角时间太阳高度角时间A． B． C． D．〖祥解〗作出示意图形，在四边形中利用正弦定理与余弦定理，算出四边形的外接圆直径大小，然后在中利用锐角三角函数定义，算出的大小，即可得到本题的答案．【解答】解：如图所示，设两竖直墙面的交线为，点被太阳光照射在地面上的影子为点，点、分别是点在两条墙脚线上的射影，连接、、，由题意可知就是太阳高度角．四边形中，，，，中，，可得，四边形是圆内接四边形，是其外接圆直径，设的外接圆半径为，则，中，，．对照题中表格，可知时刻时，太阳高度角为，与最接近．故选：．【点评】本题主要考查利用正弦定理与余弦定理解三角形、三角函数知识在实际问题中的应用等知识，属于中档题．3．（2024•徐汇区校级模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为A．1 B． C．2 D．〖祥解〗先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角，再根据正弦定理求出外接圆半径即可．【解答】解：，，．，，，，，，设该三角形外接圆的半径为，由正弦定理得，．故选：．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．二．填空题（共14小题）4．（2024•黄浦区二模）在中，，，，则．〖祥解〗由题意利用余弦定理即可求解．【解答】解：因为在中，，，，所以由余弦定理可得．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．5．（2024•黄浦区校级三模）在中，内角，，的对边是，，．若，，则．〖祥解〗在中，运用余弦定理：，代入计算即可得到．【解答】解：，又，．故答案为：．【点评】本题考查余弦定理及运用，考查运算能力，属于基础题．6．（2024•黄浦区校级三模）的内角、、所对边长分别为、、，面积为，且，则角．〖祥解〗由三角形的面积公式及余弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小．【解答】解：由题意可得，由余弦定理可得，所以可得，即，而，所以．故答案为：．【点评】本题考查余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题．7．（2024•普陀区校级三模）的内角，，的对边分别为，，，若，则．〖祥解〗由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而利用正弦定理可求的值．【解答】解：因为，且，为三角形内角；，；由正弦定理可得：．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．8．（2024•徐汇区模拟）在中，，，，则的外接圆半径为1〖祥解〗可求得，利用正弦定理即可求得答案．【解答】解：在中，，，，，设的外接圆半径为，由正弦定理得：，．故答案为：1．【点评】本题考查正弦定理的应用，属于基础题．9．（2024•闵行区校级二模）在中，其内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为3．〖祥解〗由余弦定理可求得，再由三角形的面积公式计算即可求得．【解答】解：由余弦定理得：，即，所以，所以．故答案为：3．【点评】本题考查利用余弦定理和三角形的面积公式解三角形，属于基础题．10．（2024•长宁区二模）在中，角，，的对边分别为，，，若，则．〖祥解〗利用余弦定理表示出，把已知等式变形后代入计算求出的值，即可确定出的度数．【解答】解：中，，即，，则．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．11．（2024•宝山区三模）在中，若，，的面积为，则．〖祥解〗由的度数求出与的值，利用面积公式列出关系式，将，已知的面积与的值代入，求出的值，再利用余弦定理列出关系式，将，及的值代入，开方即可求出的值．【解答】解：，，的面积为，，即，由余弦定理得：，则．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．12．（2024•浦东新区校级模拟）中，角，，所对的三边分别为，，，，若的面积为1，则的最小值是．〖祥解〗，可得，由三角形的余弦定理和面积公式、同角的平方关系可得，再由换元法和二次方程有实根的思想，结合判别式大于等于0，可得所求最小值．【解答】解：设，由，可得，由的面积为1，可得，即，，由余弦定理可得，可设，，则，两边平方可得，即为，由△，即，解得（或舍去），当，即，，，取得最小值，故答案为：．【点评】本题考查三角形的余弦定理和面积公式，以及同角的平方关系，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题．13．（2024•虹口区二模）已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，则这个三角形外接圆的直径为．〖祥解〗由已知结合余弦定理可求出，再由同角平方关系求出，结合正弦定理即可求解．【解答】解：设，，，由余弦定理得，，所以，由正弦定理可得，．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理及正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．14．（2024•浦东新区三模）如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面3.2米处观看？（精确到0.1米）〖祥解〗根据题意作出示意图，设，分别在与中利用锐角三角函数的定义，将与表示为的式子，然后利用两角差的正切公式与基本不等式，算出的最大值，从而算出获得最佳视野时小明与大屏幕所在平面的距离．【解答】解：设点在直线上的射影为，则就是小明与大屏幕所在平面的距离，由题意得，，设，则，，可得，当且仅当，即时取等号，结合正切函数在锐角范围内是增函数，可知：当时，小明可以获得观看的最佳视野．故答案为：3.2．【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义、两角差的正切公式、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．15．（2024•长宁区校级三模）如图，地在地的正东方向，相距；地在地的北偏东方向，相距，河流沿岸（曲线）上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向、、三地转运货物．经测算，从到、两地修建公路费用都是10万元，从到修建公路的费用为20万元．选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是85.83万元（精确到．〖祥解〗由题意可得点的轨迹为双曲线的靠近点的一支，可得实轴长的值，由题意可得总费用，在中，由余弦定理可得的值，即求出总费用的最小值．【解答】解：因为是（曲线）上任意一点到的距离比它到的距离远，可得点的轨迹为以，为焦点的双曲线的靠近点的一支上，设实轴长为，焦距为，由题意可得，，设总费用为（万元），则，由题意可得，在中，，，由余弦定理可得：，所以（万元）．故答案为：85.83．【点评】本题考查双曲线的定义的应用及余弦定理的应用，属于中档题．16．（2024•闵行区校级模拟）如图，河宽50米，河两岸、的距离为100米，一个玩具气垫船（不计大小）可以从走水路直接到，也可以从先沿着岸边行驶一段距离，再走水路到．已知该气垫船在水中的速度是10米分钟，岸上的速度是20米分钟，则从到的最短时间为8.66分钟．（精确到小数点后两位）〖祥解〗过点向河对岸作垂线，垂足为点，设气垫船从点开始走水路，设，将所需时间表示为关于的函数，利用导数求得最小值．【解答】解：过点向河对岸作垂线，垂足为点，设气垫船从点开始走水路，设，则所需时间，所以，则当时，取最小值，约为8.66分钟．故答案为：8.66．【点评】本题考查解三角形的应用，属中档题．17．（2024•金山区二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为475．（结果精确到〖祥解〗先在三角形中求出，再利用正弦定理，在三角形中求出，进而转化到三角形中求解即可．【解答】解：作交于，由题意可得，，，所以，，在中，由正弦定理可得，，即，所以，所以，所以，所以，在直角中，，即．故答案为：475．【点评】本题考查解三角形的应用，属于中档题．三．解答题（共26小题）18．（2024•黄浦区校级三模）的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，的面积为2，求．〖祥解〗（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出，（2）由（1）可知，利用三角形的面积公式求出，再利用余弦定理即可求出．【解答】解：（1），，，，，，，；（2）由（1）可知，，，，．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题19．（2024•静安区二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知，，．（1）求角的大小；（2）求的值．〖祥解〗（1）根据已知条件，结合余弦定理，即可求解；（2）根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．【解答】解：（1），，，则，，则；（2），，，，则，，则．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．20．（2024•杨浦区校级三模）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（Ⅰ）试判断的形状；（Ⅱ）若，求周长的最大值．〖祥解〗（Ⅰ）利用二倍角公式化简已知等式可得，由余弦定理得，可得，即可得解是直角三角形；（Ⅱ）由（Ⅰ）及题意可得周长为，，利用正弦函数的性质即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为，得，可得，即，由余弦定理得，即，可得，所以是直角三角形；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直角三角形中，，，所以周长为，，所以当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为．【点评】本题考查了二倍角公式，余弦定理，两角和的正弦公式以及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．21．（2024•浦东新区校级模拟）如图所示，扇形中，圆心角，半径为2，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点．（1）若是半径的中点，求线段的长；（2）若，求面积的最大值及此时的值．〖祥解〗（1）通过已知条件，利用余弦定理，求出即可；（2）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把关系式变形成正弦型函数，进一步求出最值．【解答】解：（1）在中，，，由得，解得（负舍去）．（2）在中，由余弦定理可得，又，即当且仅当时等号成立．所以面积．时，取得最大值为．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理和正弦定理的应用，三角形面积公式的应用．属于中档题．22．（2024•松江区校级模拟）△中，角、、的对边分别为、、，已知，．（1）求；（2）已知△的面积为，点满足，求的值．〖祥解〗（1）根据正弦定理化简已知等式，算出且，然后在△中，根据余弦定理列式算出的值；（2）利用同角三角函数的基本关系算出，根据三角形的面积公式求出，可得，．然后在△中利用余弦定理算出长，根据正弦定理求出，结合△是等腰三角形，求出的值．【解答】解：（1）在△中，，，由正弦定理得且，所以，根据余弦定理得．（2）根据，可得（舍负）．所以△中的面积，解得，，．由题意得，在△中，由余弦定理得，根据正弦定理得，即，解得．因为，所以，可得．【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换公式、三角形的面积公式及其应用，属于中档题．23．（2024•崇明区二模）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，为在方向上的投影向量，且满足．（1）求的值；（2）若，，求的周长．〖祥解〗（1）由题意可知，，代入得，再利用正弦定理求解即可；（2）由余弦定理可得，再结合可求出的值，进而求出的值，得到的周长．【解答】解：（1）为在方向上的投影向量，，又，，，又，，，，，，，又，，解得；（2），，，，，，，，，解得，，的周长为．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．24．（2024•浦东新区校级三模）在中，角，，的对边分别为，，，．（1）求；（2）若的面积为，边上的高为1，求的周长．〖祥解〗（1）由已知结合正弦定理进行化简可求，进而可求；（2）结合三角形面积公式可求出及，然后结合余弦定理即可求解，进而可求三角形周长．【解答】解：（1）因为，由正弦定理，得，即，因为在中，，所以．又因为，所以；（2）因为的面积为，边上的高为1，所以，得．即，所以．由余弦定理，得，即，化简得，所以，即，所以的周长为．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．25．（2024•闵行区三模）在中，角、、所对边的边长分别为、、，已知，．（1）若，求；（2）若，求的面积．〖祥解〗（1）根据正弦定理求边长后再应用余弦定理求解即可；（2）先求出角，再求出边长，最后应用面积公式求解可得．【解答】解：（1）由，应用正弦定理得，，，即得；（2）因为，则，又由正弦定理得，．【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．26．（2024•嘉定区校级模拟）在中，，，分别是角，，所对的边，，，．（1）求的值；（2）求的值．〖祥解〗（1）由余弦定理直接求出的值；（2）由余弦定理可得的值，进而求出的值，再由两角差的余弦公式，可得的值．【解答】解：（1）中，，，，由余弦定理可得，即，整理可得：，解得或（舍，所以；（2）由余弦定理可得，在三角形中，可得，所以．【点评】本题考查余弦定理的应用，两角差的余弦公式的应用，属于中档题．27．（2024•青浦区校级模拟）已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）在中，，，为角，，的对边，且满足，且，求角的值．〖祥解〗（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间．（2）首先利用正弦定理，二倍角公式可得，分类讨论即可求解．【解答】解：（1）由题意得，，由，解得：，所以单调递增区间为；（2）由及正弦定理可得，因为在中，，则，所以，即，所以当时，；当，即时，，因为，所以．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理的应用，属于中档题．28．（2024•闵行区校级三模）已知的内角，，的对边分别为，，，，，．（1）求角；（2）求的面积．〖祥解〗（1）根据题意，利用余弦定理，即可得出答案；（2）由（1）得，，，利用正弦定理求出，求出，利用三角形的面积公式，即可得出答案．【解答】解：（1）在中，，即，由余弦定理得，，；（2）由（1）得，，，由正弦定理得，即，解得，又，的面积．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．29．（2024•闵行区二模）在锐角中，角、、所对边的边长分别为、、，且．（1）求角；（2）求的取值范围．〖祥解〗（1）利用正弦定理化简已知等式可求，结合为锐角，即可求解的值；（2）由题意可求得，可得，，可得，，利用三角函数恒等变换的应用化简可求，即可得解的取值范围．【解答】解：（1），，又，，为锐角三角形，；（2）为锐角三角形，，，解得，，，可得，，则，，的取值范围是，．【点评】本题考查了正弦定理，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．30．（2024•松江区校级模拟）设的内角、、所对边分别为、、，若．（1）求证：、、成等差数列；（2）若、、均为整数，且存在唯一的钝角满足条件，求角的大小．〖祥解〗（1）根据题意化简已知等式，得到，然后利用两角和的正弦公式与诱导公式，推导出，结合正弦定理算出，可证出、、成等差数列；（2）设等差数列、、的公差为，利用“三角形两边之和大于第三边”与余弦定理，列式算出，然后根据三边长为整数且钝角的唯一存在，推算出，进而算出、、的大小，再利用余弦定理算出角的大小．【解答】（1）证明：因为，所以，即，可得，即，因为在中，，所以，结合正弦定理，可得，即、、成等差数列；（2）若中，，且是钝角三角形，则由余弦定理得，设等差数列、、的公差为，则，可得，整理得，解得，由，得，解得，所以，因为、、均为整数，且存在唯一的钝角满足条件，所以公差，，，，，因此，满足条件的中，角的大小为．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式与诱导公式、正弦定理与余弦定理及其应用、等差数列的定义与性质等知识，属于中档题．31．（2024•普陀区模拟）设函数，，，它的最小正周期为．（1）若函数是偶函数，求的值；（2）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，求的值．〖祥解〗（1）利用正弦函数的周期公式可求，又函数是偶函数，结合，即可求解的值；（2）由，可得，结合题意利用正弦定理可求，由余弦定理可求，进而可求的值．【解答】解：（1）因为函数的最小正周期为，且，所以，即，则，又函数是偶函数，则，，即，又，则；（2）由（1）可得，又，可得，又，，则，即，由余弦定理得，即，则．【点评】本题考查了正弦函数的周期公式，三角函数的奇偶性以及正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．32．（2024•宝山区二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知．（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状．〖祥解〗（1）利用边角互化思想得，由余弦定理求出的值，从而得出角的值；（2）由三角形的面积公式得出的值，再由基本不等式即可计算得解．【解答】解：（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，因为是三角形内角，所以；（2）由三角形面积公式得：，解得，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为4，此时为等边三角形．【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．33．（2024•徐汇区校级模拟）（1）已知，求的值．（2）已知中，，且，判断的形状，并说明理由．〖祥解〗（1）由已知结合两角和的正切公式可求，然后结合同角基本关系可求；（2）由两角和的正切公式先求，进而可求，，再由二倍角公式及特殊角三角函数值求出，即可判断．【解答】解：（1），原式，（2）因为，所以，，且，所以或，即或，当，则，此时无意义，矛盾．当，则，满足题意，此时是正三角形．【点评】本题主要考查了两角和的正切公式，三角形的诱导公式及二倍角公式，属于中档题．34．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足，求（B）的取值范围．〖祥解〗（Ⅰ）由二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，化简，再由正弦函数的单调性可得所求区间；（Ⅱ）由三角形的余弦定理求得，可得的范围，再由正弦函数的图象和性质，可得所求取值范围．【解答】解：（Ⅰ），令，则，所以，单调减区间是．（Ⅱ），由得：，由余弦定理可得，于是三角形的内角，在中，得，于是，则，所以，则（B）的取值范围是，．【点评】本题考查三角形的余弦定理和三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于中档题．35．（2024•黄浦区校级模拟）在△中，角，，的对边分别为，，，．（1）求角；（2）若△为钝角三角形，且，求的取值范围．〖祥解〗（1）化切为弦，然后根据两角和的正弦公式化简即可求解；（2）利用正弦定理化边为角，根据辅助角公式化为，结合角的范围利用正弦函数的性质即可求解范围．【解答】解：（1）因为，所以，即，所以，又因为，所以，又且，所以；（2）由正弦定理，得，所以，所以，因为△是钝角三角形，不妨设为钝角，则，所以，因为，所以，所以，所以的取值范围是．【点评】本题考查利用正余弦定理和三角恒等变换知识解三角形，属于中档题．36．（2024•浦东新区校级模拟）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，．（1）求的大小；（2）若，，为的中点，求．〖祥解〗（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求，进而可求；（2）由已知结合余弦定理可求，然后结合向量的线性表示及向量数量积的性质可求．【解答】解：（1）由结合正弦定理得，，所以，所以，因为，所以，因为为三角形内角，所以，所以，因为，所以；（2）在中，因为，所以，所以，解得或，当时，，则为钝角，不符合题意，则，，所以，故．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．37．（2024•普陀区校级三模）已知在中，角，，所对的边分别为，，，，且满足．（1）若，求的面积；（2）求的最大值，并求其取得最大值时的值．〖祥解〗（1）首先由余弦定理求出，再结合三角形面积公式即可求解；（2）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求解．【解答】解：（1）因为，，所以，由正弦定理可得，而，可得，又因为，可得；由余弦定理可得：，，，可得，解得或，当时，可得；当时，可得；（2），，由正弦定理可得：，所以，，所以，其中，，，，因为在中，，所以，当时，取到最大值，此时．【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，辅助角公式的应用，属于中档题．38．（2024•闵行区校级三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求的值；（2）若，求面积的最大值．〖祥解〗（1）由正弦定理可得的值，再由角的范围可得角的大小；（2）由余弦定理及基本不等式可得的最大值，进而求出三角形面积的最大值．【解答】解：（1）因为，由正弦定理可得，在三角形中，，可得，，可得或；（2），当，由余弦定理可得：，可得，此时，所以该三角形面积的最大值为．当，，可得，此时，此时三角形的面积最大值为．综上所述：该三角形面积的最大值为．【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，基本不等式的性质的应用，属于中档题．39．（2024•杨浦区校级三模）在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知．（1）求角的大小；（2）当，时，求边长和的面积．〖祥解〗（1）借助正弦定理将边化为角，结合及两角和的正弦公式计算化简即可得；（2）根据正弦定理即可计算出，结合可求出，用正弦定理即可得到，再使用面积公式即可得到面积．【解答】解：（1）由正弦定理得，由于，则，展开得，化简得，则，所以；（2）由正弦定理，得，即有，因为，所以是锐角，即，因为，所以，由正弦定理，得，所以．【点评】本题考查由正弦定理、和角公式及三角形面积公式解三角形，属中档题．40．（2024•普陀区校级模拟）在中，角，，的对边分别为，，，．（1）求；（2）若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．〖祥解〗（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，化简已知等式，可得，结合同角的三角函数关系，即可求得答案；（2）利用面积相等，即，推出，利用基本不等式结合三角形面积公式，即可求得答案．【解答】解：（1）因为，所以由正弦定理得：，即，即，所以，因为，所以，所以，即，又因为，所以；（2）因为点是上的点，平分，且，所以，因为，所以，化简得：，所以，当且仅当时取等号，解得：，当且仅当时取等号，所以，所以面积的最小值为．【点评】本题考查利用正、余弦定理，三角恒等变换知识，三角形的面积公式解三角形，属于中档题．41．（2024•奉贤区三模）已知三角形的三个角对应的边分别为、、．（1）求证：存在以，，为三边的三角形；（2）若以，，为三边的三角形为等腰直角三角形，求三角形的最小角．〖祥解〗（1）利用正弦定理即可证明；（2）设，得到或，再分情况讨论即可．【解答】证：（1）显然，，，因为，，构成三角形，故，设其外接圆半径为，由正弦定理可得，即，同理可得，，故存在以，，为三边的三角形；（2）因为，，，故，，为锐角，不妨设，则或，当时，，（舍，当，，则，则，又，故，，因为为锐角，故，则，，则三角形的最小角为．【点评】本题考查三角变换以及正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．42．（2024•嘉定区二模）在中，角、、的对边分别为、、，．（1）求角，并计算的值；（2）若，且是锐角三角形，求的最大值．〖祥解〗（1）由已知结合二倍角公式进行化简可求，进而可求；（2）由已知锐角三角形可先求出的范围，然后结合正弦定理可表示，然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质即可求解．【解答】解：（1）因为且为三角形内角，所以或，当时，，当时，；（2）由题意结合（1）得，所以，解得，，因为，由正弦定理得，，所以，，所以，，，则，，，故当时，取得最大值．【点评】本题主要考查了二倍角公式，和差角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．43．（2024•杨浦区二模）已知．（1）若的最小正周期为，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）已知，中，，，分别是角，，所对的边，若，，，求的值．〖祥解〗（1）结合周期公式可求，再求出，结合函数奇偶性定义即可求解；（2）由已知若可求出，结合余弦定理可求．【解答】解：（1）由题意可得，，，，，，，，不是奇函数，不是偶函数；（2），则，，，，，，，，即，，解得，．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．专题06解三角形（真题5个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年秋考11题2024春考5题解三角形正弦定理2023秋考8、11题2023春考18题余弦定理的应用、利用导数解三角形中几何问题正弦定理、三角形面积公式2022秋考19题2022春考8题正余弦定理和面积公式正弦定理和余弦定理2021秋考18题2021春考18题正、余弦定理的应用、三角形面积求法正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用一．正弦定理（共3小题）1．（2024•上海）三角形中，，则．〖祥解〗根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．【解答】解：三角形中，，，由正弦定理，，，故．故答案为：．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．2．（2021•上海）已知、、为的三个内角，、、是其三条边，，．（1）若，求、；（2）若，求．〖祥解〗（1）由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值．（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得，，的值，进而根据正弦定理可得的值．【解答】解：（1）因为，可得，又，可得，由于，可得．（2）因为，可得，又，可解得，，或，，因为，可得，，可得为钝角，若，，可得，可得，可得为钝角，这与为钝角矛盾，舍去，所以，由正弦定理，可得．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．3．（2021•上海）在中，已知，．（1）若，求．（2）若，求．〖祥解〗（1）由余弦定理求得，从而求得面积；（2）由正、余弦定理求得、值，从而求得周长．【解答】解：（1）由余弦定理得，解得，；（2），由正弦定理得，又，，，，，为锐角，．由余弦定理得：，又，，，得：，解得：．当时，时；当时，时．【点评】本题考查余正、弦定理应用、三角形面积求法，考查数学运算能力，属于中档题．二．正弦定理与三角形的外接圆（共1小题）4．（2022•上海）已知在中，，，，则的外接圆半径为．〖祥解〗直接利用正弦定理和余弦定理求出结果．【解答】解：在中，，，，利用余弦定理，整理得，所以，解得．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．三．余弦定理（共1小题）5．（2023•上海）已知中，角，，所对的边，，，则．〖祥解〗先利用余弦定理求出，再利用同角三角函数间的基本关系求解．【解答】解：，，，由余弦定理得，，又，，．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题．四．三角形中的几何计算（共2小题）6．（2023•上海）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为．行人每沿着斜坡向上走消耗的体力为，欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则．〖祥解〗先求出斜坡的长度，求出上坡所消耗的总体力的函数关系，求出函数的导数，利用导数研究函数的最值即可．【解答】解：斜坡的长度为，上坡所消耗的总体力，函数的导数，由，得，得，，由时，即时，函数单调递增，由时，即时，函数单调递减，即，函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小．故答案为：．【点评】本题主要考查生活的应用问题，求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键，是中档题．7．（2022•上海）如图，在同一平面上，，，为中点，曲线上任一点到距离相等，角，，关于对称，；（1）若点与点重合，求的大小；（2）在何位置，求五边形面积的最大值．〖祥解〗（1）在中，直接利用余弦定理求出，再结合正弦定理求解；（2）利用五边形的对称性，将所求的面积化为四边形的面积计算问题，充分利用圆弧的性质，找到最大值点，从而解决问题．【解答】解：（1）点与点重合，由题意可得，，，由余弦定理可得，所以，在中，由正弦定理得，所以，解得，所以的大小为；（2）如图，连结，，，，曲线上任意一点到距离相等，，，关于对称，点在劣弧中点或劣弧的中点位置，，则，则五边形面积，其中，当时，取最大值，五边形面积的最大值为．【点评】本题考查了扇形的性质、正、余弦定理和面积公式在解三角形问题中的应用，同时考查了学生的逻辑推理能力、运算能力等，属于中档题．五．解三角形（共2小题）8．（2024•上海）已知点在点正北方向，点在点的正东方向，，存在点满足，，则．（精确到0.1度）〖祥解〗根据已知条件，结合正弦定理，余弦定理，即可求解．【解答】解：在中，根据正弦定理可得，设，则，所以，①在中，根据正弦定理可得，，②联立①②，因为，所以，利用计算器可得，，即．故答案为：．【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．9．（2023•上海）在中，角、、所对应的边分别为、、，其中．（1）若，，求边长；（2）若，，求的面积．〖祥解〗（1）由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求，，，然后结合锐角三角函数即可求解；（2）由已知结合正弦定理先求出，进而可求，再由正弦定理求出，结合三角形面积公式可求．【解答】解：（1），且，，，，，，，；（2），则，，，，为锐角，，，，，，．【点评】本题主要考查了和差角公式，正弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．一．选择题（共3小题）1．（2024•奉贤区三模）在中，“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件〖祥解〗观察两条件的互推性即可求解．【解答】解：”“”是“的充分条件，但时有无数解，可以是或，不能推出，故选：．【点评】本题考查充分必要条件是高考的热点问题，值得一做．2．（2024•嘉定区二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为，墙的高度均为3米．在时刻，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻最可能为太阳高度角时间太阳高度角时间A． B． C． D．〖祥解〗作出示意图形，在四边形中利用正弦定理与余弦定理，算出四边形的外接圆直径大小，然后在中利用锐角三角函数定义，算出的大小，即可得到本题的答案．【解答】解：如图所示，设两竖直墙面的交线为，点被太阳光照射在地面上的影子为点，点、分别是点在两条墙脚线上的射影，连接、、，由题意可知就是太阳高度角．四边形中，，，，中，，可得，四边形是圆内接四边形，是其外接圆直径，设的外接圆半径为，则，中，，．对照题中表格，可知时刻时，太阳高度角为，与最接近．故选：．【点评】本题主要考查利用正弦定理与余弦定理解三角形、三角函数知识在实际问题中的应用等知识，属于中档题．3．（2024•徐汇区校级模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为A．1 B． C．2 D．〖祥解〗先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角，再根据正弦定理求出外接圆半径即可．【解答】解：，，．，，，，，，设该三角形外接圆的半径为，由正弦定理得，．故选：．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．二．填空题（共14小题）4．（2024•黄浦区二模）在中，，，，则．〖祥解〗由题意利用余弦定理即可求解．【解答】解：因为在中，，，，所以由余弦定理可得．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．5．（2024•黄浦区校级三模）在中，内角，，的对边是，，．若，，则．〖祥解〗在中，运用余弦定理：，代入计算即可得到．【解答】解：，又，．故答案为：．【点评】本题考查余弦定理及运用，考查运算能力，属于基础题．6．（2024•黄浦区校级三模）的内角、、所对边长分别为、、，面积为，且，则角．〖祥解〗由三角形的面积公式及余弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小．【解答】解：由题意可得，由余弦定理可得，所以可得，即，而，所以．故答案为：．【点评】本题考查余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题．7．（2024•普陀区校级三模）的内角，，的对边分别为，，，若，则．〖祥解〗由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而利用正弦定理可求的值．【解答】解：因为，且，为三角形内角；，；由正弦定理可得：．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．8．（2024•徐汇区模拟）在中，，，，则的外接圆半径为1〖祥解〗可求得，利用正弦定理即可求得答案．【解答】解：在中，，，，，设的外接圆半径为，由正弦定理得：，．故答案为：1．【点评】本题考查正弦定理的应用，属于基础题．9．（2024•闵行区校级二模）在中，其内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为3．〖祥解〗由余弦定理可求得，再由三角形的面积公式计算即可求得．【解答】解：由余弦定理得：，即，所以，所以．故答案为：3．【点评】本题考查利用余弦定理和三角形的面积公式解三角形，属于基础题．10．（2024•长宁区二模）在中，角，，的对边分别为，，，若，则．〖祥解〗利用余弦定理表示出，把已知等式变形后代入计算求出的值，即可确定出的度数．【解答】解：中，，即，，则．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．11．（2024•宝山区三模）在中，若，，的面积为，则．〖祥解〗由的度数求出与的值，利用面积公式列出关系式，将，已知的面积与的值代入，求出的值，再利用余弦定理列出关系式，将，及的值代入，开方即可求出的值．【解答】解：，，的面积为，，即，由余弦定理得：，则．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．12．（2024•浦东新区校级模拟）中，角，，所对的三边分别为，，，，若的面积为1，则的最小值是．〖祥解〗，可得，由三角形的余弦定理和面积公式、同角的平方关系可得，再由换元法和二次方程有实根的思想，结合判别式大于等于0，可得所求最小值．【解答】解：设，由，可得，由的面积为1，可得，即，，由余弦定理可得，可设，，则，两边平方可得，即为，由△，即，解得（或舍去），当，即，，，取得最小值，故答案为：．【点评】本题考查三角形的余弦定理和面积公式，以及同角的平方关系，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题．13．（2024•虹口区二模）已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，则这个三角形外接圆的直径为．〖祥解〗由已知结合余弦定理可求出，再由同角平方关系求出，结合正弦定理即可求解．【解答】解：设，，，由余弦定理得，，所以，由正弦定理可得，．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理及正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．14．（2024•浦东新区三模）如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面3.2米处观看？（精确到0.1米）〖祥解〗根据题意作出示意图，设，分别在与中利用锐角三角函数的定义，将与表示为的式子，然后利用两角差的正切公式与基本不等式，算出的最大值，从而算出获得最佳视野时小明与大屏幕所在平面的距离．【解答】解：设点在直线上的射影为，则就是小明与大屏幕所在平面的距离，由题意得，，设，则，，可得，当且仅当，即时取等号，结合正切函数在锐角范围内是增函数，可知：当时，小明可以获得观看的最佳视野．故答案为：3.2．【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义、两角差的正切公式、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．15．（2024•长宁区校级三模）如图，地在地的正东方向，相距；地在地的北偏东方向，相距，河流沿岸（曲线）上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向、、三地转运货物．经测算，从到、两地修建公路费用都是10万元，从到修建公路的费用为20万元．选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是85.83万元（精确到．〖祥解〗由题意可得点的轨迹为双曲线的靠近点的一支，可得实轴长的值，由题意可得总费用，在中，由余弦定理可得的值，即求出总费用的最小值．【解答】解：因为是（曲线）上任意一点到的距离比它到的距离远，可得点的轨迹为以，为焦点的双曲线的靠近点的一支上，设实轴长为，焦距为，由题意可得，，设总费用为（万元），则，由题意可得，在中，，，由余弦定理可得：，所以（万元）．故答案为：85.83．【点评】本题考查双曲线的定义的应用及余弦定理的应用，属于中档题．16．（2024•闵行区校级模拟）如图，河宽50米，河两岸、的距离为100米，一个玩具气垫船（不计大小）可以从走水路直接到，也可以从先沿着岸边行驶一段距离，再走水路到．已知该气垫船在水中的速度是10米分钟，岸上的速度是20米分钟，则从到的最短时间为8.66分钟．（精确到小数点后两位）〖祥解〗过点向河对岸作垂线，垂足为点，设气垫船从点开始走水路，设，将所需时间表示为关于的函数，利用导数求得最小值．【解答】解：过点向河对岸作垂线，垂足为点，设气垫船从点开始走水路，设，则所需时间，所以，则当时，取最小值，约为8.66分钟．故答案为：8.66．【点评】本题考查解三角形的应用，属中档题．17．（2024•金山区二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为475．（结果精确到〖祥解〗先在三角形中求出，再利用正弦定理，在三角形中求出，进而转化到三角形中求解即可．【解答】解：作交于，由题意可得，，，所以，，在中，由正弦定理可得，，即，所以，所以，所以，所以，在直角中，，即．故答案为：475．【点评】本题考查解三角形的应用，属于中档题．三．解答题（共26小题）18．（2024•黄浦区校级三模）的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，的面积为2，求．〖祥解〗（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出，（2）由（1）可知，利用三角形的面积公式求出，再利用余弦定理即可求出．【解答】解：（1），，，，，，，；（2）由（1）可知，，，，．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题19．（2024•静安区二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知，，．（1）求角的大小；（2）求的值．〖祥解〗（1）根据已知条件，结合余弦定理，即可求解；（2）根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．【解答】解：（1），，，则，，则；（2），，，，则，，则．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．20．（2024•杨浦区校级三模）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（Ⅰ）试判断的形状；（Ⅱ）若，求周长的最大值．〖祥解〗（Ⅰ）利用二倍角公式化简已知等式可得，由余弦定理得，可得，即可得解是直角三角形；（Ⅱ）由（Ⅰ）及题意可得周长为，，利用正弦函数的性质即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为，得，可得，即，由余弦定理得，即，可得，所以是直角三角形；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直角三角形中，，，所以周长为，，所以当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为．【点评】本题考查了二倍角公式，余弦定理，两角和的正弦公式以及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．21．（2024•浦东新区校级模拟）如图所示，扇形中，圆心角，半径为2，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点．（1）若是半径的中点，求线段的长；（2）若，求面积的最大值及此时的值．〖祥解〗（1）通过已知条件，利用余弦定理，求出即可；（2）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把关系式变形成正弦型函数，进一步求出最值．【解答】解：（1）在中，，，由得，解得（负舍去）．（2）在中，由余弦定理可得，又，即当且仅当时等号成立．所以面积．时，取得最大值为．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理和正弦定理的应用，三角形面积公式的应用．属于中档题．22．（2024•松江区校级模拟）△中，角、、的对边分别为、、，已知，．（1）求；（2）已知△的面积为，点满足，求的值．〖祥解〗（1）根据正弦定理化简已知等式，算出且，然后在△中，根据余弦定理列式算出的值；（2）利用同角三角函数的基本关系算出，根据三角形的面积公式求出，可得，．然后在△中利用余弦定理算出长，根据正弦定理求出，结合△是等腰三角形，求出的值．【解答】解：（1）在△中，，，由正弦定理得且，所以，根据余弦定理得．（2）根据，可得（舍负）．所以△中的面积，解得，，．由题意得，在△中，由余弦定理得，根据正弦定理得，即，解得．因为，所以，可得．【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换公式、三角形的面积公式及其应用，属于中档题．23．（2024•崇明区二模）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，为在方向上的投影向量，且满足．（1）求的值；（2）若，，求的周长．〖祥解〗（1）由题意可知，，代入得，再利用正弦定理求解即可；（2）由余弦定理可得，再结合可求出的值，进而求出的值，得到的周长．【解答】解：（1）为在方向上的投影向量，，又，，，又，，，，，，，又，，解得；（2），，，，，，，，，解得，，的周长为．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．24．（2024•浦东新区校级三模）在中，角，，的对边分别为，，，．（1）求；（2）若的面积为，边上的高为1，求的周长．〖祥解〗（1）由已知结合正弦定理进行化简可求，进而可求；（2）结合三角形面积公式可求出及，然后结合余弦定理即可求解，进而可求三角形周长．【解答】解：（1）因为，由正弦定理，得，即，因为在中，，所以．又因为，所以；（2）因为的面积为，边上的高为1，所以，得．即，所以．由余弦定理，得，即，化简得，所以，即，所以的周长为．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．25．（2024•闵行区三模）在中，角、、所对边的边长分别为、、，已知，．（1）若，求；（2）若，求的面积．〖祥解〗（1）根据正弦定理求边长后再应用余弦定理求解即可；（2）先求出角，再求出边长，最后应用面积公式求解可得．【解答】解：（1）由，应用正弦定理得，，，即得；（2）因为，则，又由正弦定理得，．【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．26．（2024•嘉定区校级模拟）在中，，，分别是角，，所对的边，，，．（1）求的值；（2）求的值．〖祥解〗（1）由余弦定理直接求出的值；（2）由余弦定理可得的值，进而求出的值，再由两角差的余弦公式，可得的值．【解答】解：（1）中，，，，由余弦定理可得，即，整理可得：，解得或（舍，所以；（2）由余弦定理可得，在三角形中，可得，所以．【点评】本题考查余弦定理的应用，两角差的余弦公式的应用，属于中档题．27．（2024•青浦区校级模拟）已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）在中，，，为角，，的对边，且满足，且，求角的值．〖祥解〗（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间．（2）首先利用正弦定理，二倍角公式可得，分类讨论即可求解．【解答】解：（1）由题意得，，由，解得：，所以单调递增区间为；（2）由及正弦定理可得，因为在中，，则，所以，即，所以当时，；当，即时，，因为，所以．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理的应用，属于中档题．28．（2024•闵行区校级三模）已知的内角，，的对边分别为，，，，，．（1）求角；（2）求的面积．〖祥解〗（1）根据题意，利用余弦定理，即可得出答案；（2）由（1）得，，，利用正弦定理求出，求出，利用三角形的面积公式，即可得出答案．【解答】解：（1）在中，，即，由余弦定理得，，；（2）由（1）得，，，由正弦定理得，即，解得，又，的面积．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．29．（2024•闵行区二模）在锐角中，角、、所对边的边长分别为、、，且．（1）求角；（2）求的取值范围．〖祥解〗（1）利用正弦定理化简已知等式可求，结合为锐角，即可求解的值；（2）由题意可求得，可得，，可得，，利用三角函数恒等变换的应用化简可求，即可得解的取值范围．【解答】解：（1），，又，，为锐角三角形，；（2）为锐角三角形，，，解得，，，可得，，则，，的取值范围是，．【点评】本题考查了正弦定理，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．30．（2024•松江区校级模拟）设的内角、、所对边分别为、、，若．（1）求证：、、成等差数列；（2）若、、均为整数，且存在唯一的钝角满足条件，求角的大小．〖祥解〗（1）根据题意化简已知等式，得到，然后利用两角和的正弦公式与诱导公式，推导出，结合正弦定理算出，可证出、、成等差数列；（2）设等差数列、、的公差为，利用“三角形两边之和大于第三边”与余弦定理，列式算出，然后根据三边长为整数且钝角的唯一存在，推算出，进而算出、、的大小，再利用余弦定理算出角的大小．【解答】（1）证明：因为，所以，即，可得，即，因为在中，，所以，结合正弦定理，可得，即、、成等差数列；（2）若中，，且是钝角三角形，则由余弦定理得，设等差数列、、的公差为，则，可得，整理得，解得，由，得，解得，所以，因为、、均为整数，且存在唯一的钝角满足条件，所以公差，，，，，因此，满足条件的中，角的大小为．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式与诱导公式、正弦定理与余弦定理及其应用、等差数列的定义与性质等知识，属于中档题．31．（2024•普陀区模拟）设函数，，，它的最小正周期为．（1）若函数是偶函数，求的值；（2）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，求的值．〖祥解〗（1）利用正弦函数的周期公式可求，又函数是偶函数，结合，即可求解的值；（2）由，可得，结合题意利用正弦定理可求，由余弦定理可求，进而可求的值．【解答】解：（1）因为函数的最小正周期为，且，所以，即，则，又函数是偶函数，则，，即，又，则；（2）由（1）可得，又，可得，又，，则，即，由余弦定理得，即，则．【点评】本题考查了正弦函数的周期公式，三角函数的奇偶性以及正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．32．（2024•宝山区二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知．（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状．〖祥解〗（1）利用边角互化思想得，由余弦定理求出的值，从而得出角的值；（2）由三角形的面积公式得出的值，再由基本不等式即可计算得解．【解答】解：（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，因为是三角形内角，所以；（2）由三角形面积公式得：，解得，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为4，此时为等边三角形．【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．33．（2024•徐汇区校级模拟）（1）已知，求的值．（2）已知中，，且，判断的形状，并说明理由．〖祥解〗（1）由已知结合两角和的正切公式可求，然后结合同角基本关系可求；（2）由两角和的正切公式先求，进而可求，，再由二倍角公式及特殊角三角函数值求出，即可判断．【解答】解：（1），原式，（2）因为，所以，，且，所以或，即或，当，则，此时无意义，矛盾．当，则，满足题意，此时是正三角形．【点评】本题主要考查了两角和的正切公式，三角形的诱导公式及二倍角公式，属于中档题．34．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足，求（B）的取值范围．〖祥解〗（Ⅰ）由二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，化简，再由正弦函数的单调性可得所求区间；（Ⅱ）由三角形的余弦定理求得，可得的范围，再由正弦函数的图象和性质，可得所求取值范围．【解答】解：（Ⅰ），令，则，所以，单调减区间是．（Ⅱ）