高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程课件 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学课件

2.3.1双曲线的标准方程第二章§2.3

双曲线学习目标XUEXIMUBIAO1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PARTONE知识点一双曲线的定义1.平面内与两个定点F1，F2的距离的差的

等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的

，两焦点的距离叫做双曲线的

.2.关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的

(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在.3.若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的

.4.若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是

.绝对值焦点焦距两条射线一支线段F1F2的中垂线焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程______________________________________图形知识点二双曲线的标准方程1.两种形式的标准方程焦点坐标____________________________________a，b，c的关系式___________2.焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在____上；若y2项的系数为正，那么焦点在____上.3.当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0).4.标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b2＝_______要与椭圆中的b2＝_______相区别.F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a2＋b2＝c2x轴y轴a2－c2c2－a21.在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系同椭圆中a，b，c之间的关系相同.(

)2.点A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线.(

)3.双曲线

＝1的焦点在x轴上，且a>b.(

)4.平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU××××2题型探究PARTTWO题型一求双曲线的标准方程例1

(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点

，求双曲线的标准方程；(2)焦距为26，且经过点M(0,12).解∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.反思感悟求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论，实为一种好方法.跟踪训练1

根据下列条件，求双曲线的标准方程.若焦点在y轴上，设双曲线的方程为(2)c＝

，经过点(－5,2)，焦点在x轴上.题型二双曲线定义的应用命题角度1双曲线中的焦点三角形问题多维探究(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积.解将|PF2|－|PF1|＝2a＝6两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，则|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得所以∠F1PF2＝90°，引申探究将本例(2)中的条件“|PF1|·|PF2|＝32”改为“∠F1PF2＝60°”，求△F1PF2的面积.由双曲线的定义和余弦定理得|PF2|－|PF1|＝6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，反思感悟求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；跟踪训练2

已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为______.解析不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，又|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，命题角度2利用定义确定与双曲线有关的轨迹方程由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去右顶点).反思感悟(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.跟踪训练3

如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.解圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1；圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，题型三由双曲线方程求参数解得－3<m<2或m>3.所以m的取值范围是{m|－3<m<2或m>3}.{m|－3<m<2或m>3}反思感悟方程表示双曲线的条件及参数范围求法(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围.(－1,1)则(1＋k)(1－k)>0，所以(k＋1)(k－1)<0，所以－1<k<1.(2)若双曲线2x2－y2＝k的焦距为6，则k的值为_____.综上所述，k＝－6或6.±6核心素养之数学建模HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO双曲线在生活中的应用典例“神舟”九号飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点.某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角.解因为|PC|＝|PB|，所以P在线段BC的垂直平分线上.又因为|PB|－|PA|＝4<6＝|AB|，所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上.以线段AB的中点为坐标原点，AB的垂直平分线所在直线为y轴，正东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示.所以P点在A点的北偏东30°方向.素养评析利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下：(1)建立适当的坐标系；(2)求出双曲线的标准方程；(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题.注意：①解答与双曲线有关的应用问题时，除要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用.②实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.3达标检测PARTTHREE√12345解析由题意知，34－n2＝n2＋16，∴2n2＝18，n2＝9.∴n＝±3.123452.若双曲线E：

＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于

A.11 B.9 C.5 D.3√解析由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(负值舍去)，故选B.12345又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，√123454.已知双曲线中a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为______________________.123455.已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为____________.解析令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程无解，即该圆与y