高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质（第3课时）直线与椭圆的位置关系（二）课件 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学课件VIP

第3课时直线与椭圆的位置关系(二)第一章2.2.2

椭圆的几何性质NEIRONGSUOYIN内容索引题型探究达标检测1题型探究PARTONE题型一弦长问题解设动点P的坐标是(x，y)，解设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，Δ＝16k2－4(1＋2k2)＝8k2－4>0，整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1或k2＝－2(舍).∴k＝±1，经检验符合题意.∴直线l的方程是y＝±x＋1，即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.反思感悟求弦长的两种方法(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长.跟踪训练1

已知斜率为1的直线l过椭圆

＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长.解设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，题型二中点弦问题例2

已知椭圆

＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程.解方法一根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y－1＝k(x－2).将其代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，又M为线段AB的中点，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.方法二点差法设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.∵M(2,1)为线段AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B两点在椭圆上，于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.方法三对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，由于点M(2,1)为线段AB的中点，则另一个交点为B(4－x,2－y).∵A，B两点都在椭圆上，①－②，得x＋2y－4＝0.即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.反思感悟解决椭圆中点弦问题的两种方法①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.√解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，例3

已知椭圆C：4x2＋y2＝1.(1)P(m，n)是椭圆C上一点，求m2＋n2的取值范围；题型三与椭圆有关的最值或范围问题解m2＋n2表示原点O到椭圆C上点P的距离的平方，(2)设直线y＝x＋m与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程.将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，消去y得5x2＋2mx＋m2－1＝0.反思感悟求最值问题的基本策略(1)求解形如|PA|＋|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|＋|PB|取得最值.(2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围.(3)求解形如ax＋by的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决.(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.设点M的坐标是(m,0)，又－6≤m≤6，解得m＝2，所以点M(2,0).设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有由于－6≤x≤6.核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN运用“设而不求”法研究直线和椭圆位置关系问题(1)求椭圆的方程；得(m2＋3)y2－2my－2＝0.设E(x1，y1)，F(x2，y2).∴m＝1或m＝－1(舍去)，直线EF的方程为x＝y－1，即x－y＋1＝0.(3)对于D(－1,0)，是否存在实数k，使得直线y＝kx＋2分别交椭圆于点P，Q，且|DP|＝|DQ|，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由.解记P(x1′，y1′)，Q(x2′，y2′).得(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0，

(*)x1′，x2′是此方程的两个相异实根.由|DP|＝|DQ|，得DM⊥PQ，故这样的k不存在.素养评析本例(2)(3)均采用了“设而不求”的数学运算策略，特别(3)利用定点D与弦端点的几何关系，由设而不求的思想方法，转换成坐标关系，构造出关于k的方程，减小了数学运算的难度，提高了解题效率.2达标检测PARTTWO1.若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b等于

A.1 B.±1C.－1 D.±2√12345√12345设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，123453.已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1,1)为中点的弦所在直线的方程是

A.x＋2y－3＝0

B.2x＋y－3＝0C.x－2y＋3＝0

D.2x－y＋3＝0√12345解析由题意易知所求直线的斜率存在，设过点M(1,1)的直线方程为y＝k(x－1)＋1，即y＝kx＋1－k.得(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋2k2－4k－2＝0，即x＋2y－3＝0.123454.过椭圆

＝1的右焦点F作与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，以AB为直径的圆的面积是________.1234512345设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，即x2－3x－8＝0.∴x1＋x2＝3，x1x2＝－8.课堂小结KETANGXIAOJIE解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为：