高等数学（经济类-上册第2版）课件：导数的概念

导数、微分1导数的概念一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数可导性与连续性的关系五、小结2一、引例1、变速直线运动的瞬时速度3设描述质点运动位置的函数为则从到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为在时刻的瞬时速度为例1自由落体运动的瞬时速度4已知自由落体的运动方程为

，求落体的瞬时速度解：52、切线问题曲线在

点处的切线割线的极限位置由割线

的斜率则切线的斜率记则6瞬时速度切线斜率两个问题的共性所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.与之类似加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限瞬间变化率问题7二、导数的定义定义1

设函数在点记作:的某邻域内有定义,在点的导数.自变量在处取得增量，因变量相应取得增量，即存在,则称函数若在点处可导,并称此极限为即8在时刻的瞬时速度质点变速直线运动的位置函数为曲线在

点处的切线斜率注1函数在点处可导，也称为函数在点具有导数或导数存在.注2若记，则注3若记，则，不存在,就说函数在点不可导.

若也称在的导数为无穷大

.若极限10若函数在开区间

I

内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:就称函数在I内可导.或即开区间内的导数11单侧导数在点的某个右

邻域内有定义,若极限则称此极限值为在处的右

导数,记作即(左)(左)例如,在

处有定义2设函数存在,12根据单侧极限与极限的关系，定理1

函数在点即可导的充分必要条件是在点左右导数都存在且相等，闭区间上的导数若函数与都存在,则称在开区间

内可导,在闭区间

上可导.且例如,在

处不可导13例2求常函数(为常数)的导数.解:第二步即第一步第三步14例3求幂函数的导数，

解:第二步第一步第三步并计算(*)例3求幂函数的导数，

解:即并计算更一般地例如16二项式定理其中二项式系数例如(返回)例4证明指数函数的导数证明:其中为常数.即特别地，当时熟练后可三步合并合理选择定义式例5求对数函数的导数，解:其中为常数.即特别地，当时例6求正弦函数的导数解:.即类似地20例7已知，求.是分界点两侧表达式不同与的符号有关解:第二步第一步第三步当时当时当时当时21例8已知，求.解:是分界点两侧表达式相同无需讨论单侧导数22三、导数的几何意义回顾引例中的切线问题23在时刻的瞬时速度质点变速直线运动的位置函数为曲线在

点处的切线斜率24三、导数的几何意义切线方程为法线方程为曲线在点的切线斜率为若则切线方程为若则切线方程为25例9分别求曲线通过点的切线方程.

，解:在曲线上不在曲线上该曲线过的切线方程为即设曲线过点的切线的切点为则切线方程为且从而26例9分别求曲线通过点的切线方程.

，解:设曲线过点的切线的切点为则切线方程为且从而或切点为或切线方程为或即或27四、函数可导性与连续性的关系定理2若函数在点可导

存在,因此必有所以，函数则证明:在点连续

若函数在点可导，

在

点连续.

28注4函数在点处连续却未必在该点可导.例如，在

处连续，但在

处不可导.再如，在

处连续，01但在

处不可导.29五、小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.函数可导与连续的关系：5.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;2.增量比的极限;切线的斜率;瞬间变化率;可导必连续