高等数学（经济类-上册第2版）课件：不定积分

不定积分不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、不定积分的几何意义三、基本不定积分公式四、不定积分的性质五、小结

在中，我们已经学习了求给定函数的导函数的方法，本章主要讨论其反问题，即求某一区间的一个未知函数，使其在该区间上的导函数恰好是已知函数,这种由已知导数求原来函数的逆运算称为不定积分，本章将介绍不定积分的概念及其各种计算方法.如果，则称f(x)为F(x)的导函数，那么F(x)为f(x)的什么呢？

在区间(-1,1)中一、原函数与不定积分的概念定义1设在区间I上，有或则称，F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数.因此，在(-1,1)中，是的一个原函数.

是比如:的原函数.

在整个实数集，因此，在是的原函数.问题：(1)在什么条件下，一个函数存在原函数？(2)如果f(x)有原函数，原函数是唯一的吗？

若不唯一，原函数之间有什么关系？简言之：连续函数一定有原函数.如果f(x)在区间I上连续，则f(x)一定在区间I上存在原函数.

定理1（原函数存在定理）

注：由于初等函数在其定义区间上是连续的，因此，初等函数在其定义区间上都存在原函数.定理2设F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则（1）F(x)+C也为f(x)在区间I上的原函数，其中C为任意常数.（2）f(x)在区间I上的任意两个原函数相差一个常数.证（1）由于F(x)为f(x)在区间I上的原函数，即成立.因而

由原函数的定义知，对任意的常数C,F(x)+C也为f(x)在区间I上的原函数.定理2设F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则（1）F(x)+C也为f(x)在区间I上的原函数，其中C为任意常数.（2）f(x)在区间I上的任意两个原函数相差一个常数.证令（2）设F(x)和都为f(x)在区间I上的一原函数，则有则有因此，必有常数，不妨记为C,则

定理2说明，如果一个函数存在原函数，那么原函数将有无穷多个，并且彼此之间相差一个常数.定义2在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为

函数f(x)的不定积分，记作任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量由定义可知，若F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则f(x)的不定积分可以表示为可见，一个函数的不定积分是一族函数.例1求解：因为则，是x的一个原函数，因此例2求解：因为因此二、不定积分的几何意义若F(x)为f(x)的一个原函数，则称y=

F(x)的图形为f(x)的一条积分曲线.显然，

f(x)的不定积分在几何上表示f(x)的积分曲线族，它可由f(x)的某一条积分曲线y=F(x)沿着y轴方向上下平移而得到.曲线族中的每一条积分曲线横坐标相同点处的切线相互平行.例3设曲线通过点(0,0)

，且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标2倍，求此曲线.解：设所求曲线为y=f(x),(x,y)为曲线上任意一点，由导数几何意义和题设条件有所以，将条件x=0,y=0代入，有C=0因此，所求曲线方程为三、基本不定积分公式根据求导公式可得出积分公式.K为常数；例5求解由不定积分的基本公式知，例4求解由不定积分的基本公式知，四、不定积分的性质性质1或性质2或性质3性质4微分运算(d)和不定积分()的运算是互逆的！d使函数还原，d使函数相差一个常数.例6求解例7求解例8求解例10求例9求解解例12求例11求解解例13求解由于故有此方法在积分的计算中经常用到！五、小结1.原函数的概念2.不定积分的概念3.基本不定积分公式4.不定积分的性质不定积分与导数的互逆运算不定积分换元积分法一、第一换元积分法（凑微分）二、第二换元法三、小结

尽管通过不定积分的定义、性质得到了基本积分表，但利用基本积分表计算的不定积分非常有限，因此本节主要研究一种不定积分的计算方法—换元积分法.一、第一换元法问题：如何计算可以用基本公式吗？显然，用基本公式无法求出这个不定积分.我们可以利用导数运算猜出由于故由不定积分的定义可知，不是所有函数的原函数都能被猜到哦！答：一、第一换元法问题：如何计算可以用基本公式吗？利用复合函数，设置中间变量.不妨令原式为答：则通过换元，引入一个中间变量，把原不定积分化为基本不定积分公式！别忘了，最后还要把t换回x的形式哦！设f(u)具有原函数F(x),定理1可导，则有由复合函数微分法，有即是的一个原函数.说明：简单！不容易求原函数！注意：要利用上式求不定积分需考虑(1)将被积函数g(x)写为的形式；(2)

f(u)具有原函数F(u);第一类换元公式

(凑微分法)(3)

可导，求出原函数F(u)后，要把u换为例1求解：令u=ax+b，则例2求解：总结：凑微分则分析：如果把不定积分化为则直接利用基本公式求不定积分即可.例3求解：例4求分析：被积函数是由复合而成，而被积函数符合的形式.解：分析：被积函数是由复合而成，而被积函数符合的形式.例5求解：显然x>0，例6求解：对凑微分法熟悉后，可直接凑，不用写出中间变量u！例7求解：例8求解：在计算中，要理解、掌握“凑”的规律和技巧！导数要熟练！！例9求解：例10求解：要掌握裂项法例11求解：例12求解法1：试用类似的方法计算例12求解法2：利用例12，还可求得例13求解：例14求解：被积函数出现sin或cos的奇数次或奇偶次乘积时，一般是对奇数次拆项！例15求解：例16求解：被积函数出现sin或cos的偶数次时，利用二倍角公式！例17求解：例18求解：熟记公式：例19求解：例20求解：积化和差公式凑微分法常用形式：二、第二换元法问题：如何计算可以用凑微分吗？答：的形式，无法显然，这个不定积分不是用凑微分法求原函数.能否用换元的方法，去掉根式，化为的形式？可以令则不定积分可以化为（继续应用“凑微分”即可求出结果）又设定理2是单调的可导函数，并且具有原函数，则有上式右端对t求导，t是关于x的复合函数，有

说明：这说明右端是f(x)的不定积分.注意：用第二换元法时，结果要利用换回原来的积分变量x.第二类换元公式1、三角函数代换法当被积函数中出现以下二次根式时，可以利用三角函数代换法，化去被积函数中的根式.一般地，当被积函数中含有可令可令可令应用公式去根号例21求解：令则于是由于因此故有例22求解：令则于是由于故有因此例23求解：显然x的取值应分为两种情况:由于当时，令则因此故例23求解：当时，当时，可令则于是有总之有例24求解：令则利用例22的结论.2、无理函数代换当被积函数中出现形如的二次根式时，分别利用可以化去被积函数中的根式.例25求解：令则于是有根式换元法例26求解：令则于是有例27求解：令则于是有被积函数中有4次根式和2次根式，取4和2的最小公倍数4，作换元！3、倒代换倒代换是指引入变量与原变量为倒数关系，即法适用于被积函数的分母阶次较高时.倒代换例28求解：令则于是有你还能想到其他的方法吗？凑微分？例29求解：令则于是有当时，有当时，有相同的结果.再添加几个常用的不定积分公式(其中a>0)：五、小结1.第一换元法（凑微分）2.第二换元法3.常用的不定积分公式三角函数代换、无理函数代换、倒代换不定积分分部积分法一、分部积分公式二、分部积分公式的应用三、小结一、分部积分公式问题：如何计算可以用换元法吗？换元法无法求出这个不定积分.我们可以利用两个函数乘积的求导法则答：设具有连续导数，由则有或注意：(2)分部积分公式应用的关键在于u和v的选取.分部积分公式

若定理1可导，且不定积分存在，则有或记为(1)分部积分法是由难到简的过程，即计算复杂，计算简单；而二、分部积分公式的应用1、降次法选多项式为u,三角函数或指数函数为

当被积函数为多项式与三角函数或指数函数的乘积时，进行积分，将化为多项式的次数降低了一次，此方法称为降次法.例1求解：选则故有例2求解：选取于是有例3求解：2、转换法

当被积函数为多项式函数与对数函数或反三角函数的乘积时，选对数函数或反三角函数为u,多项式函数为化为此方法称为转换法.进行积分，将例4求解：例5求解法1：例5求解法2：例6求解：3、循环法

当被积函数为指数函数与正弦（或余弦）函数的乘积时，任选一个函数为u,另一个函数为原不定积分，通过移项整理得到所求积分，此方法称为循环法.经过两次分部积分，会还原到例7求解：于是有能不能把cosx移到后面？即变为：

例8求解：于是有4、递推法

当被积函数为某一简单函数的高次幂函数时，可以适当选取即所谓的递推公式，此方法称为递推法.通过分部积分后，得到该函数的高次幂函数与低次幂函数的关系，证明：于是有例9已知n为自然数,证明整理即得例10求解：令则于是有换元积分法和分部积分法可结合使用！

三、小结1.分部积分公式2.分部积分公式的应用降次、转换法、循环法、递推法不定积分有理函数的积分一、有理函数的概念二、六种简单的有理函数的积分三、待定系数法求有理函数的积分四、有理三角函数的积分五、小结

虽然前面学习了换元法与分部积分法，但并不是所有的函数（即使已知它的原函数是存在的）都能通过上面的方法积出来.而有理函数的原函数一定能求出来，本节研究有理函数的积分.一、有理函数的概念定义形如的函数称为有理函数.其中，均为正整数，为m次多项式，分子与分母是互质的（没有公因子），且为为n次多项式，当时，称为有理真分式，当时，称为有理假分式.二、六种简单的有理函数的积分一般地，一个有理函数（真分式）的积分都可以分为以下6个类型的基本积分的代数和.可用递推法推出.例1求解：联合凑微分三、待定系数法求有理函数的积分对于有理真分式函数，我们可以将其分解为部分分式之和，利用待定系数法确定分式中的系数，然后求部分分式的积分.例2求解：将被积函数分解为将右端通分，则有比较两边同次幂项的系数，有解得于是有例3求解：将被积函数分解为将右端通分，则有比较两边同次幂项的系数，有解得于是有例4求解：将被积函