高等数学（第二版）下册课件：全微分及其应用

全微分及其应用

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6.4.1全微分的定义6.4.2全微分在近似计算中的应用6.4.1全微分的定义上一页目录下一页退出在一元函数微分学中,如果函数在点

处可微,其中

是与

无关的常数.则函数的改变量

可以表示为

的线性函数与一个比

高阶的无穷小之和,即,类似的,二元函数

在点

的全改变量与一元函数类似,我们希望分离出自变量的改变量

、

的线性函数,从而引入如下定义．可表示为定义6.9

如果函数

在点

的某邻域内有定义,且函数在点

的全增量

其中

是不依赖于

、

而仅与

有关的量,且,

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,则称函数

在点

可微分,而

称为函数

在点

处的全微分,记如果函数在区域D内各点处都可微分,那么称函数在D为

,即.内可微分．上一页目录下一页退出可微与连续、偏导数存在之间的关系在第三节,我们指出,对于多元函数,即使偏导数在某点处都存在,也不能保证函数在该点处连续.但是,如果函数

可得

,从而.因此函数在点

处连续.由此可得下面的定理．上一页目录下一页退出在点处可微分,则函数在该点处必连续.由上一页目录下一页退出定理6.2

如果函数

在点

处可微分,则函数在该点连续．定理6.3(必要条件)如果函数在点

处可微且函数在点

的全微分为分,则该函数在点处的偏导数

,必定存在,且函数

下面进一步讨论函数在点

处可微的必要和充分条件．证明

因为函数

在点

处可微,所以有成立．特别地,当

时,上式也成立,此时.从而

存在．所以上一页目录下一页退出同理,

,所以分条件(见本节例6.4.1).这要与一元函数区分开来,一元函注意：偏导数，存在是可微分的必要条件,但不是充数可微与可导是等价的.上一页目录下一页退出例6.4.1讨论函数在点(0,0)处的偏导数与全微分问题.分析

利用偏导数定义求出函数在(0,0)处的偏导数,根据解函数在点(0,0)处有偏导数上一页目录下一页退出全微分定义判断函数在该点的可微性.同理，,即两个偏导数存在.上一页目录下一页退出

但是如果考虑点沿直线趋于，则这表明，它不能随而趋于0.因此，当时，不是的高阶无穷小.因此函数在点(0,0)处的全微分不存在，即不可微.上例表明，函数偏导数存在，不一定可微分，那么函数满足什么条件才可微分呢？定理6.4（充分条件）如果函数的偏导数在点处连续，则函数在该点的全微分存在.我们将自变量的增量分别记作，称为自变量的微分，则函数的全微分就可以写为：二元函数微分定义及定理对三元及三元以上的多元函数可完全类似的加以推广，如对三元函数有全微分上一页目录下一页退出例6.4.2

求函数

的全微分.

解因为所以解例6.4.3计算函数

在点(1,2)处的全微分.因为所以例6.4.4设函数，求全微分.解因为所以6.4.2全微分在近似计算中的应用上一页目录下一页退出当二元函数在点处的两个偏导数连续，并且都较小时，有近似式即我们可以利用上述近似式对二元函数做近似计算和误差估计.例6.4.5

有一圆柱体,受压后发生形变,它的半径由此解

设圆柱体的底面半径、高和体积依次为则有

已知根据近似公式，有

即此圆柱体在受压后体积约减少了

20cm增大到20

05cm,高度由100cm减少到99cm．求此圆柱体体积变化的近似值．

例6.4.6计算的近似值.

分析设函数.要计算的值就是函数在点处的函数值，利用进行近似计算.