高等数学（第二版）下册课件：空间解析几何简介

多元函数微分学§6.1空间解析几何简介§6.2多元函数的基本概念§6.3偏导数§6.4全微分及其应用§6.5多元复合函数和隐函数的求导法则§6.6二元函数的极值和最值§6.1空间解析几何基础6.1.1空间直角坐标系6.1.2空间两点间的距离6.1.3空间曲面及其方程6.1.4一些常见的曲面及其方程6.1.1空间直角坐标系1.基本概念竖轴定点横轴纵轴在空间中取定一点O，过O点作三条相互垂直各轴上再规定一个共同的长度单位，这就构成了一个的数轴.空间直角坐标系.称O为坐标原点，称数轴为坐标轴，平面.称由两坐标轴确定的平面为坐标平面,简称三个坐标轴的正方向符合右手系.当右手的四个手指空间直角坐标系竖轴横轴纵轴定点大拇指的指向就是

轴的正向.即以右手握住轴，度转向轴正向时，从轴正向以角空间直角坐标系共有八个卦限为什么叫做卦限呢？源自《易经》，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦。面面ⅧⅦ面ⅣⅢⅤⅠⅡⅥ特殊点的表示坐标轴上的点坐标面上的点空间的点有序数组坐标面：面面面坐标轴：

轴

轴

轴6.1.2空间两点间的距离设、为空间两点,这两点之间的距离在直角及直角中，使用勾股定理知又故空间两点间距离公式为：该如何计算？(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得

，故所求的点为.例6.1.1在

轴上求与两点和

分析因为所求的点在

轴上,所以设该点坐标为

利用已知条件建立方程求得

值.解设所求点的坐标为，依题意有,

即等距离的点.6.1.3空间曲面及其方程有如下关系:F(x,y,z)=0

Sxyzo方程;不满足方程;定义6.1

空间直角坐标系中,

若曲面

与三元方程(1)曲面

上任一点的坐标都满足(2)不在曲面

上的点的坐标都那么,方程叫做曲面

的方程,而曲面

就叫做方程

的图形.所求方程为特殊地：球心在原点时方程为M0

R

M例6.1.2建立球心为点

、解：设是球面上任一点，半径为

的球面方程.根据题意有，即解设是所求平面上任一点，根据题意化简得所求方程有，即例6.1.3已知,求线段

的垂直平分面的方程.在空间解析几何中关于曲面的研究,有下列两个基本问题：(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立曲面的方程(讨论旋转曲面);(2)已知坐标和间的一个方程时,研究这方程所表示的曲面形状(讨论柱面、二次曲面)．1.平面的一般方程

空间任一个平面方程均可表示为平面通过坐标原点.6.1.4一些常见的曲面及其方程下面是几种特殊的平面方程：其中

不全为零,上式为平面的一般方程。类似地可讨论的情形．平面平行于坐标面;类似地可讨论的情形．平面通过

轴平面平行于

轴例6.1.4设平面与三个坐标轴分别交于点、

、、(其中),求此平面方程．解设平面方程为,将三点坐标分别代入方程得解得将代入所设方程,得.注

称为平面的截距式方程,oyxz其中，分别为

轴，轴，轴上的截距.2.旋转曲面定义6.2以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周

所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴.

设在平面上有一已知曲线,它的方程为.把这曲线绕轴旋转一周,得到一个以轴为轴的旋转曲面.有,当曲线绕轴旋转设为曲线上任一点,则时,点绕轴转到另一点点的坐标满足以下两个条件：(1)(2)点到轴的距离将代入,得方程同理,曲线绕轴旋转一周所得的旋转曲面的方程为例6.1.5

将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成的旋转曲面的方程.(1)双曲线分别绕轴和轴旋转：绕轴旋转得绕轴旋转得绕轴旋转得(3)抛物线绕轴旋转：绕轴旋转得(2)椭圆绕轴和轴旋转：绕轴旋转得CL3.柱面定义6.3

平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面．这条定曲线C叫柱面的准线,动直线L叫柱面的母线．分析

从曲面上点的坐标的特点来分析.例6.1.6方程表示怎样的曲面？解

在

平面上,

方程表示圆心在原点、半径为

的圆.在空间直角坐标系中,方程不含竖坐标

,即不论空间中点的竖坐标

怎样变化,只要和

能满足方程,那么这些点就在这曲面上.圆柱面,如右图所示.于是,过面内圆上一点且平行于轴的直线一定在表示的曲面上.所以,方程表示的曲面上的圆移动而成的面是由平行于轴的直线沿准线为一般地,只含而缺的方程,在空间直角坐标系中表示面上的曲线.母线平行于轴的柱面,其准线是面叫做抛物柱面.方程

表示母线平行于例如，方程表示母线平行于

轴的柱面,它的准线是面上的抛物线

,该柱轴的椭圆柱面;

表示母线平行于轴的双曲柱面.类似地,只含而缺的方程和只于轴和轴的柱面.含而缺的方程分别表示母线平行(1)椭球面椭球面的几种特殊情况：4.二次曲面由椭圆

绕

轴旋转而成．

时,为旋转椭球面

时,为球面

.(2)抛物面