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文档简介
某些特殊类型的不定积分
预备知识：二次函数的因式分解；多项式除法法则；三角函数的万能公式.4.4.1有理函数的不定积分定义4.3
有理函数（有理分式）指的是两个多项式之比所构成的函数，其一般式可表示为：与不可约如果n<m,称上式为真分式，如果n≥m,称上式为假分式，利用多项式的除法，可以将假分式化为多项式与真分式的和．因此，只要掌握真分式的积分，就可以解决假分式的积分问题．例如：设是真分式，即，则在实数范围内，可以将分母因式分解成为若干因式与因式的乘积．(1)如果分母含有单因式，通过待定系数法即可确定(2)如果分母含有重因式，则部分分式相应含有项之和：通过待定系数法即可确定(3)如果分解后含有质因式，则部分分式必然含有一项，待定系数法求出即可；*(4)如果分解后含有质因式，部分分式呈现如下形式：最后(4)这种情况过于繁复，本书不在赘述.上述过程称为将真分式化为最简分式之和．分析上述结果，有理真分式的积分大体有下面三种形式：接下来我们继续研究利用待定系数法求解有理函数的积分问题.例
4.4.1
计算不定积分分析被积函数分母可分解为两个单因式乘积，因此为第一种类型，用待定系数法来处理.解令等式右边通分，两端分子相等两端比较系数，得：解得：则例
4.4.2
计算不定积分分析
被积函数分母为一次函数与二重因式乘积，其中二重因式可分解为两项之和的形式，属于第二种类型.解法一：令等式右边通分得：比较系数则解法二：此题也可将被积函数分解为一个一次函数与一个二次函数之积，即：待定系数法解得：然后再进行积分，得到同样的结果：原式例4.4.3
计算不定积分分析被积函数分母由一次函数和二次函数乘积构成，属于第三种类型，分解然后用待定系数法求解.解令两边同乘以得：比较系数得：解得：
则*例4.4.4
求不定积分分析
考虑被积函数分母的导数，因此，可将分子变形为，分为两部分的积分.解
4.4.2三角函数有理式的不定积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数．求解这类特殊类型的函数积分，通常可以考虑利用三角函数公式（主要是万能公式），将三角函数有理式转化为普通有理式的积分，然后用前面所讲的一系列方法求解，一般都可以解决.具体来讲就是，把，表示成的函数，然后作变换变换后原积分变成了有理函数的积分，由，以及常数经过有限次四则运算所构成的函数，记作，积分称为三角函数有理式的积分．作代换，则，且所以
例4.4.5
计算不定积分解考虑万能代换：假设，则，
，代入原式可得：分析
被积函数只含有三角函数和常数，像这样的函数可用万能公式转化为只含有的有理函数，然后再求解.分析
同上题类似，只不过被积函数既有正弦函数又有余弦函数，需要将它们都化作只含有的有理函数.解设，则代入原式可得：例4.4.6计算不定积分本节主要介绍了
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