高等数学（第2版）课件：行列式

行列式8.2n阶行列式的概念8.18.4行列式的性质及计算矩阵的秩及其求法8.3矩阵求逆和克莱姆法则第8章行列式8.2n阶行列式的概念8.18.4行列式的性质及计算矩阵的秩及其求法8.3矩阵求逆和克莱姆法则8.1.1二阶、三阶行列式二元线性方程组由消元法，得当时，该方程组有唯一解求解公式为二元线性方程组请观察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再相减而得.其求解公式为二元线性方程组我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.记号数表表达式称为由该数表所确定的二阶行列式，即其中，称为元素.i为行标，表明元素位于第i行；j为列标，表明元素位于第j

列.原则：横行竖列二阶行列式二阶行列式的计算主对角线副对角线即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积——对角线法则二阶行列式7记则二元线性方程组的解可以写为：例1

求解二元线性方程组解∴注意：Ｄ称为系数行列式，Ｄj是用常数项b1,b2替换Ｄ中的第

j

列(j=1,2).二阶行列式8三阶行列式用消元法解三元线性方程组为了记忆三元线性方程组的求解公式,引入三阶行列式.求解公式?9定义设有9个数排成的3行3列数表：（1）记为数表（1）所确定的三阶行列式.二阶行列式的对角线法则并不适用！主对角线副对角线三阶行列式10三阶行列式那么,三元方程组有唯一解其中

Dj(j=1,2,···

,n)是系数行列式

D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的3阶行列式.三阶行列式的计算——对角线法则注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.三阶行列式三阶行列式的计算1

：对角线法则三阶行列式三阶行列式的计算2：降阶法三阶行列式14Aij叫做元素aij

的代数余子式.定义在n阶行列式中,把元素aij

所在的第i行和第j列划去后,剩下的元素按它们在原行列式中的相对位置组成的n–1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij；Aij=(–1)i+jMij

,记三阶行列式15例2

计算三阶行列式三阶行列式解16例3

解方程组

三阶行列式解基本信息8.1.2n阶行列式定义行数不等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有n2个元素矩阵行列式基本信息特殊行列式20或D=a1jA1j+a2jA2j+···+anjAnj(j=1,2,···,n).行列式按行(列)展开定理8.1.1行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即D=ai1Ai1+ai2Ai2+···+ainAin(i=1,2,···,n),这个定理叫做行列式按行（列）展开法则.21例4

计算解第8章行列式8.2n阶行列式的概念8.18.4行列式的性质及计算矩阵的秩及其求法8.3矩阵求逆和克莱姆法则8.2.1行列式的性质行列式称为行列式的转置行列式.若记，则.记性质1（对称性）

行列式与它的转置行列式相等.行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质2（反对称性）

互换行列式的两行（列）,行列式变号.验证于是推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有，所以.备注：交换第行（列）和第行（列），记作.性质3（线性性）

（1）若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和,即（2）

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数，等于用数乘以此行列式.验证我们以三阶行列式为例.记根据三阶行列式的对角线法则，有备注：第行（列）乘以，记作.推论8.2.2

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．推论8.2.1

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．备注：第行（列）提出公因子，记作.例5求解性质4（被加行（列）性质）

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．则验证我们以三阶行列式为例.记备注：以数乘第行（列）加到第行（列）上，记作.8.2.2行列式的计算

例5（三角形法）例6（化三角形法）计算阶行列式解将第列都加到第一列得35例7（降阶法）

计算解8.2.3方阵的行列式定义：由

n阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵

A的行列式，记作|A|或detA.运算性质(4)若

可逆，则有第8章行列式8.2n阶行列式的概念8.18.4行列式的性质及计算矩阵的秩及其求法8.3矩阵求逆和克莱姆法则38定义：在m×n

矩阵A中，任取k

行k

列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2

个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k

阶行列式，称为矩阵A的k阶子式．显然，m×n矩阵A的k

阶子式共有个．概念辨析：

k阶子式、余子式、代数余子式1.k阶子式与元素a12相对应的余子式相应的代数余子式矩阵A的一个2阶子式定义：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式

D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么

D称为矩阵A

的最高阶非零子式，数r

称为矩阵

A

的秩，记作R(A)．规定：零矩阵的秩等于零．2.矩阵的秩矩阵A的一个3阶子式矩阵A的2阶子式如果矩阵A中所有2阶子式都等于零，那么这个3阶子式也等于零．根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵A中任何一个r+2阶子式（如果存在的话）都可以用r+1阶子式来表示．如果矩阵A中所有r+1阶子式都等于零，那么所有r+2阶子式也都等于零．事实上，所有高于r+1阶的子式（如果存在的话）也都等于零．

因此矩阵A

的秩就是A

中非零子式的最高阶数．规定：零矩阵的秩等于零．定义：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式

D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么

D称为矩阵A

的最高阶非零子式，数r

称为矩阵

A

的秩，记作R(A)．矩阵A

的秩就是A

中非零子式的最高阶数．显然，若矩阵A

中有某个s

阶子式不等于零，则R(A)≥s； 若矩阵A

中所有t

阶子式等于零，则R(A)<t

．若

A为n阶矩阵，则A的n

阶子式只有一个，即|A|．若

A为m×n

矩阵，则0≤R(A)≤min(m,n)．R(AT)=R(A)．矩阵A的一个2阶子式矩阵AT

的一个2阶子式AT

的子式与A

的子式对应相等，从而R(AT)=R(A)．例8：求矩阵A

和B

的秩，其中解：在

A中，2阶子式．A的3阶子式只有一个，即|A|，而且|A|=0，因此R(A)=2．例8：求矩阵A

和B

的秩，其中解（续）：B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，因此其4阶子式全为零．以非零行的第一个非零元为对角元的3阶子式，因此R(B)=3．还存在其它3阶非零子式吗？例8：求矩阵A

和B

的秩，其中解（续）：B

还有其它

3

阶非零子式，例如结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数．一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的.行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵.两个等价的矩阵的秩是否相等？3.用初等变换求矩阵的逆定理：若A~B，则R(A)=R(B)

．证明思路(了解)证明A

经过一次初等行变换变为B，则R(A)≤R(B)．

B

也可经由一次初等行变换变为A，则R(B)≤R(A)，于是R(A)=R(B)．经过一次初等行变换的矩阵的秩不变，经过有限次初等行变换的矩阵的秩仍然不变．设A

经过初等列变换变为B，则AT

经过初等行变换变为BT

，从而R(AT)=R(BT)． 又R(A)=R(AT)，R(B)=R(BT)，因此R(A)=R(B)．定理：若A~B，则R(A)=R(B)

．应用：根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩．例9：求矩阵的秩，并求A

的一个最高阶非零子式．解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．行阶梯形矩阵有3个非零行，故R(A)=3．第二步求A的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列

，与之对应的是选取矩阵A的第一、二、四列．R(A0)=3，计算

A0的前

3行构成的子式因此这就是A

的一个最高阶非零子式．第8章行列式8.2n阶行列式的概念8.18.4行列式的性质及计算矩阵的秩及其求法8.3矩阵求逆和克莱姆法则定理8.4.1

矩阵可逆的充要条件是，且

证明若可逆，机动目录上页下页返回结束8.4.1方阵可逆的充要条件按逆矩阵的定义得证毕.1AA*A1-=例10

求方阵的逆矩阵.解=2故59

定理8.4.2

克莱姆法则

如果线性方程组的系数行列式不等于零,即8.4.2克莱姆法则60那么,方程组(1)有唯一解其中Dj(j=1,2,···,n)是系数行列式D

中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n

阶行列式,即61例11

解线性方程组解6263于是得64程的个数与未知量的个数不等时,就不能用克拉通过上述例子,我们看到用克拉默法则求解线性方程组时,要计算n+1

个n

阶行列式,这个计算量是相当大的,所以,在具体求解线性方程组时,很少用克拉默法则.另外,当方程组中方默法则求解.但这并不影响克拉默法则在线性方程组理论中的重要地位.克拉默法则不仅给出了方程组有唯一解的条件,并且给出了方程组的解与方程组的系数和常数项的关系.8.4.3线性方程组有解的判定对于齐次线性方程组(2)x1=x2=···=xn=0

一定是它的解,这个解叫做齐次线性方程组(2)的零解.66

推论8.4.2如果齐次线性方程组(2)有非零如果一组不全为零的数是做齐次线性方程组(2)的非零解.齐次线性方程组(2)一定有零解,但不一定有非零解.对于齐次线性方程组(2)有以下定理.推论8.4.1如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D

0,则齐次线性方程组(2)只有零解没有非零解.解,则它的系数行列式必为零.的解,则它叫67例12：问取何值时，齐次方程组有非零解？解如果齐次方程组有非零解，则必有.所以时齐次方程组有非零解.

线性方程组有解的判定n

元线性方程组Ax=b有解的充要条件是R(A)=R(A,b)；当R(A)=R(A,b)=n，有唯一解；当R(A)=R(A,b)<n，有无穷多解；无解的充要条件是R(A)<R(A,b).n

元线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是R(A)<n；只有零解的充要条件是R(A)=n.例13：设有线性方程组问l

取何值时，此方程组有