山东省聊城市名校2025届高三3月份模拟考试数学试题含解析_第1页
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文档简介

山东省聊城市名校2025届高三3月份模拟考试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知定义在上的偶函数满足,且在区间上是减函数,令,则的大小关系为()A. B.C. D.2.直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A,B两点,则的最小值是A.10 B.9 C.8 D.73.直线与抛物线C:交于A,B两点,直线,且l与C相切,切点为P,记的面积为S,则的最小值为A. B. C. D.4.已知三棱柱()A. B. C. D.5.函数的部分图象如图所示,则()A.6 B.5 C.4 D.36.函数在上的最大值和最小值分别为()A.,-2 B.,-9 C.-2,-9 D.2,-27.在平面直角坐标系中,若不等式组所表示的平面区域内存在点,使不等式成立,则实数的取值范围为()A. B. C. D.8.已知集合,若,则实数的取值范围为()A. B. C. D.9.如图,这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图,则下列说法不正确的是()A.甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B.甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C.甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D.甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是10310.已知向量与的夹角为,定义为与的“向量积”,且是一个向量,它的长度,若,,则()A. B.C.6 D.11.已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|x2﹣4x﹣5<0},则A∩B=()A.{﹣2,﹣1,0} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,1} D.{0,1,2}12.等差数列中,,,则数列前6项和为()A.18 B.24 C.36 D.72二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数在区间内有且仅有两个零点,则实数的取值范围是_____.14.已知△的三个内角为,,,且,,成等差数列,则的最小值为__________,最大值为___________.15.已知集合,则_______.16.已知函数的最大值为3,的图象与y轴的交点坐标为,其相邻两条对称轴间的距离为2,则三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥中,平面ABCD平面PAD,,,,,E是PD的中点.证明:;设,点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为,求二面角的余弦值.18.(12分)已知椭圆()的离心率为,且经过点.(1)求椭圆的方程;(2)过点作直线与椭圆交于不同的两点,,试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.19.(12分)在世界读书日期间,某地区调查组对居民阅读情况进行了调查,获得了一个容量为200的样本,其中城镇居民140人,农村居民60人.在这些居民中,经常阅读的城镇居民有100人,农村居民有30人.(1)填写下面列联表,并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关?城镇居民农村居民合计经常阅读10030不经常阅读合计200(2)调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人,参加一次阅读交流活动,若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言,求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.附:,其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820.(12分)已知函数(1)当时,证明,在恒成立;(2)若在处取得极大值,求的取值范围.21.(12分)已知函数,.(Ⅰ)判断函数在区间上零点的个数,并证明;(Ⅱ)函数在区间上的极值点从小到大分别为,,证明:22.(10分)已知函数f(x)=|x-2|-|x+1|.(Ⅰ)解不等式f(x)>1;(Ⅱ)当x>0时,若函数g(x)(a>0)的最小值恒大于f(x),求实数a的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

可设,根据在上为偶函数及便可得到:,可设,,且,根据在上是减函数便可得出,从而得出在上单调递增,再根据对数的运算得到、、的大小关系,从而得到的大小关系.【详解】解:因为,即,又,设,根据条件,,;若,,且,则:;在上是减函数;;;在上是增函数;所以,故选:C【点睛】考查偶函数的定义,减函数及增函数的定义,根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程:设,通过条件比较与,函数的单调性的应用,属于中档题.2、B【解析】

根据抛物线中过焦点的两段线段关系,可得;再由基本不等式可求得的最小值.【详解】由抛物线标准方程可知p=2因为直线l过抛物线的焦点,由过抛物线焦点的弦的性质可知所以因为为线段长度,都大于0,由基本不等式可知,此时所以选B【点睛】本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用,基本不等式的用法,属于中档题.3、D【解析】

设出坐标,联立直线方程与抛物线方程,利用弦长公式求得,再由点到直线的距离公式求得到的距离,得到的面积为,作差后利用导数求最值.【详解】设,,联立,得则,则由,得设,则,则点到直线的距离从而.令当时,;当时,故,即的最小值为本题正确选项:【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用,考查利用导数求最值的问题.解决圆锥曲线中的面积类最值问题,通常采用构造函数关系的方式,然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.4、C【解析】因为直三棱柱中,AB=3,AC=4,AA1=12,AB⊥AC,所以BC=5,且BC为过底面ABC的截面圆的直径.取BC中点D,则OD⊥底面ABC,则O在侧面BCC1B1内,矩形BCC1B1的对角线长即为球直径,所以2R==13,即R=5、A【解析】

根据正切函数的图象求出A、B两点的坐标,再求出向量的坐标,根据向量数量积的坐标运算求出结果.【详解】由图象得,令=0,即=kπ,k=0时解得x=2,令=1,即,解得x=3,∴A(2,0),B(3,1),∴,∴.故选:A.【点睛】本题考查正切函数的图象,平面向量数量积的运算,属于综合题,但是难度不大,解题关键是利用图象与正切函数图象求出坐标,再根据向量数量积的坐标运算可得结果,属于简单题.6、B【解析】

由函数解析式中含绝对值,所以去绝对值并画出函数图象,结合图象即可求得在上的最大值和最小值.【详解】依题意,,作出函数的图象如下所示;由函数图像可知,当时,有最大值,当时,有最小值.故选:B.【点睛】本题考查了绝对值函数图象的画法,由函数图象求函数的最值,属于基础题.7、B【解析】

依据线性约束条件画出可行域,目标函数恒过,再分别讨论的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系,即可求解【详解】作出不等式对应的平面区域,如图所示:其中,直线过定点,当时,不等式表示直线及其左边的区域,不满足题意;当时,直线的斜率,不等式表示直线下方的区域,不满足题意;当时,直线的斜率,不等式表示直线上方的区域,要使不等式组所表示的平面区域内存在点,使不等式成立,只需直线的斜率,解得.综上可得实数的取值范围为,故选:B.【点睛】本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题,分类讨论与数形结合思想,属于中档题8、A【解析】

解一元二次不等式化简集合的表示,求解函数的定义域化简集合的表示,根据可以得到集合、之间的关系,结合数轴进行求解即可.【详解】,.因为,所以有,因此有.故选:A【点睛】本题考查了已知集合运算的结果求参数取值范围问题,考查了解一元二次不等式,考查了函数的定义域,考查了数学运算能力.9、D【解析】

计算两班的平均值,中位数,方差得到正确,两班人数不知道,所以两班的总平均分无法计算,错误,得到答案.【详解】由题意可得甲班的平均分是104,中位数是103,方差是26.4;乙班的平均分是102,中位数是101,方差是37.6,则A,B,C正确.因为甲、乙两班的人数不知道,所以两班的总平均分无法计算,故D错误.故选:.【点睛】本题考查了茎叶图,平均值,中位数,方差,意在考查学生的计算能力和应用能力.10、D【解析】

先根据向量坐标运算求出和,进而求出,代入题中给的定义即可求解.【详解】由题意,则,,得,由定义知,故选:D.【点睛】此题考查向量的坐标运算,引入新定义,属于简单题目.11、D【解析】

解一元二次不等式化简集合,再由集合的交集运算可得选项.【详解】因为集合,故选:D.【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题.12、C【解析】

由等差数列的性质可得,根据等差数列的前项和公式可得结果.【详解】∵等差数列中,,∴,即,∴,故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前项和公式的应用,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

对函数零点问题等价转化,分离参数讨论交点个数,数形结合求解.【详解】由题:函数在区间内有且仅有两个零点,,等价于函数恰有两个公共点,作出大致图象:要有两个交点,即,所以.故答案为:【点睛】此题考查函数零点问题,根据函数零点个数求参数的取值范围,关键在于对函数零点问题恰当变形,等价转化,数形结合求解.14、【解析】

根据正弦定理可得,利用余弦定理以及均值不等式,可得角的范围,然后构造函数,利用导数,研究函数性质,可得结果.【详解】由,,成等差数列所以所以又化简可得当且仅当时,取等号又,所以令,则当,即时,当,即时,则在递增,在递减所以由,所以所以的最小值为最大值为故答案为:,【点睛】本题考查等差数列、正弦定理、余弦定理,还考查了不等式、导数的综合应用,难点在于根据余弦定理以及不等式求出,考验分析能力以及逻辑思维能力,属难题.15、【解析】

由可得集合是奇数集,由此可以得出结果.【详解】解:因为所以集合中的元素为奇数,所以.【点睛】本题考查了集合的交集,解析出集合B中元素的性质是本题解题的关键.16、【解析】,由题意,得,解得,则的周期为4,且,所以.考点:三角函数的图像与性质.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)【解析】

(1)由平面平面的性质定理得平面,.在中,由勾股定理得,平面,即可得;(2)以为坐标原点建立空间直角坐标系,由空间向量法和异面直线与所成角的余弦值为,得点M的坐标,从而求出二面角的余弦值.【详解】(1)平面平面,平面平面=,,所以.由面面垂直的性质定理得平面,,在中,,,由正弦定理可得:,,即,平面,.(2)以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,设,则,,得,,而,设平面的法向量为,由可得:,令,则,取平面的法向量,则,故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用,属于中档题.18、(1)(2)见解析【解析】

(1)由题得a,b,c的方程组求解即可(2)直线与直线恰关于轴对称,等价于的斜率互为相反数,即,整理.设直线的方程为,与椭圆联立,将韦达定理代入整理即可.【详解】(1)由题意可得,,又,解得,.所以,椭圆的方程为(2)存在定点,满足直线与直线恰关于轴对称.设直线的方程为,与椭圆联立,整理得,.设,,定点.(依题意则由韦达定理可得,,.直线与直线恰关于轴对称,等价于的斜率互为相反数.所以,,即得.又,,所以,,整理得,.从而可得,,即,所以,当,即时,直线与直线恰关于轴对称成立.特别地,当直线为轴时,也符合题意.综上所述,存在轴上的定点,满足直线与直线恰关于轴对称.【点睛】本题考查椭圆方程,直线与椭圆位置关系,熟记椭圆方程简单性质,熟练转化题目条件,准确计算是关键,是中档题.19、(1)见解析,有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.(2)【解析】

(1)根据题中数据得到列联表,然后计算出,与临界值表中的数据对照后可得结论;(2)由题意得概率为古典概型,根据古典概型概率公式计算可得所求.【详解】(1)由题意可得:城镇居民农村居民合计经常阅读10030130不经常阅读403070合计14060200则,所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.(2)在城镇居民140人中,经常阅读的有100人,不经常阅读的有40人.采取分层抽样抽取7人,则其中经常阅读的有5人,记为、、、、;不经常阅读的有2人,记为、.从这7人中随机选取2人作交流发言,所有可能的情况为,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共21种,被选中的位居民都是经常阅读居民的情况有种,所求概率为.【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算,以及独立性检验的应用,利用列举法是解决本题的关键,考查学生的计算能力.对于古典概型,要求事件总数是可数的,满足条件的事件个数可数,使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可,属于中档题.20、(1)证明见解析(2)【解析】

(1)根据,求导,令,用导数法求其最小值.设研究在处左正右负,求导,分,,三种情况讨论求解.【详解】(1)因为,所以,令,则,所以是的增函数,故,即.因为所以,①当时,,所以函数在上单调递增.若,则若,则所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是,所以在处取得极小值,不符合题意,②当时,所以函数在上单调递减.若,则若,则所以的单调递减区间是,单调递增区间是,所以在处取得极大值,符合题意.③当时,,使得,即,但当时,即所以函数在上单调递减,所以,即函数)在上单调递减,不符合题意综上所述,的取值范围是【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性和极值,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于难题.21、(Ⅰ)函数在区间上有两个零点.见解析(Ⅱ)见解析【解析】

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