2021-2022学年上海交大附中高二（上）期末数学试题及答案VIP

交大附中高二期末数学试卷2022.01一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）(+)i1i1.的实部为_________．{}=−(∈)S=naa2n1nN*n2.已知等差数列的通项公式为，那么它的前项和___________.A∪B=，则__________.nn{}{}B=x−1<x<2A=x0<x≤23.已知集合，集合()A3，且垂直于A4.的直线方程为_______________.π3()=−，，若将函数=()的图像向左平移个单位能使其图像与原图像fxsin2xx∈Ryfxa5.设a重合，则正实数的最小值为___________.(−)x2的定义域为___________.26.y=y=−4−x2(x≤0)的长度为____________.7.8.如图，在长方体正弦值为__________.ABCD−ABCDAB=BC=4，1=2BC，则直线与平面DD所成角的111111112xm9.圆锥曲线x2+fx2=1的焦点在轴上，离心率为，则实数的值是__________.y=()f(x)=x+e+e−xf(x)>f(2x−)x成立的的取值范围是2x10.若函数___________.x的解析式，则使得y2++y2=1，则−+y22若实数、满足xx的取值范围为___________.12.如图，与是三棱锥ABCD中互相垂直的棱，−BC=2，=c（c为常数）若AB+BD=AC+CD=2a，则实数a的取值范围为__________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）llllll213.、是平面直角坐标系上的直线，“与的斜率相等是“与平行的（）12121A.充分非必要条件C.充要条件B.必要非充分条件D.既非充分条件也非必要条件(−−)x+y+2y=0有两个不同的交点时，其斜率的取值范围是14.己知直线l过点1l22k，当直线与圆（）33−,−3,3)(−)(−3)D.A.B.C.3315.a(2,b=(7)，则a在b方向上的投影为（=）5A.65B.C.D.655x2y2=1及以下3f(x)=xf(x)=sinxf(x)=xsinx+16.已知椭圆169象能等分该椭圆面积的函数个数有（A.0个B.1个）C.2个D.3个三、解答题（本大题共有5题，满分76分）ABC−ABC中，2，11=1=4，∠ABC=90．=17.如图所示，在直三棱柱1ABC−ABC的（1）求三棱柱表面积S；111ABAC（2）求异面直线与1)n=(cos,−cosC)bc,a,且m⊥n.，18.在中∆,B,C的对边分别为a,b,cm=(−（1）求角A的大小；33=3，的形状，并说明理由.（2a面积为，试判断41(2,2)()19.已知函数y=(≠)x0的图像为曲线C，点F1F−2,−2.、2x()为曲线CPx,yPF的长（用1x（1）设点上在第一象限内的任意一点，求线段000（2）设点Q为曲线C上任意一点，求证：QF1−为常数；2（3）由（）可知，曲线C为双曲线，请研究双曲线C的性质（从对称性、顶点、渐近线、离心率四个角度进行研究）.x22y2221ab0的一个焦点坐标为=(>>)()1,0，离心率e=20.己知椭圆C：+.ab2（1）求椭圆C的方程；（2O为坐标原点，椭圆C与直线OM的斜率为-1，求线段的长；y=+1相交于两个不同的点、，线段的中点为M.若直线（3）如图，设椭圆上一点R的横坐标为RR作两条不重合直线分别与椭圆C交于、Q两点、若直线与QR的倾斜角互补，求直线的斜率的所有可能值组成的集合.21.某双曲线型自然冷却通风塔的外形是由图1中的双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转一周所形成的曲面Γ图2所示.A′、.己知该冷却通风塔的最窄处是圆O1；A546320Ω；下口为圆ΩΩ1Ω与所在平面间的距离）为2上口为圆，其半径为，其半径为；高（即圆.125（1）求此双曲线的方程；（2）以原平面直角坐标系的基础上，保持原点和x轴、y轴不变，建立空间直角坐标系，如图3所示.ΩP(x,y,z)ΩQ(x,y,z)yyx.请给出、21212+21z口圆上任取一点上任取一点1111222x22+z22与的值；（3）在（）的条件下，是否存在点、Q，使得、Q三点共线.若不存在，请说明理由；若存在，求出点PQ的坐标，并证明此时线段上任意一点都在曲面Γ上.交大附中高二期末数学试卷2022.01一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）(+)i1i1.的实部为_________．【答案】1−【解析】【详解】复数i+i)=i−1=1+i，其实部为−1.考点：复数的乘法运算、实部.{}=−(∈)S=___________.naan2n1nN*n2.已知等差数列的通项公式为，那么它的前项和n【答案】n2【解析】{}aa1【分析】由题意知等差数列的通项公式，即可求出首项，再利用等差数列求和公式即可得到答案.n{}=−(∈)an2n1nNa*【详解】已知等差数列的通项公式为，nn(a+a)n+2n−∴1=1===n2..Sn1n22故答案为：n2.{}{}B=x−1<x<2，则A∪B=__________.A=x0<x≤23.已知集合，集合{x|−1<x≤##（-1,2]【答案】【解析】【分析】根据两集合的并集的含义，即可得答案.{}{}B=x−1<x<2，A=x0<x≤2【详解】因为集合，集合AB={x|1<x≤所以,故答案为：{x|−1<x≤()A3，且垂直于A4.的直线方程为_______________.2x+3y−13=0【答案】【解析】．3223k=A的直线的斜率为，−，再利用点斜式可得结果.【分析】求出【详解】因为，可得垂直于3()=A3k，所以223−所以垂直于A的直线的斜率为，2垂直于A的直线方程为y3x2−=−(−)，32x+3y−13=02x+3y−13=0.化为，故答案为【点睛】对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两l||l⇔k=kl⊥l⇔k⋅k=1，这类1212））1212问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.π3()=−，，若将函数=()的图像向左平移个单位能使其图像与原图像x∈Ryfxafxsin2x5.设a重合，则正实数的最小值为___________.【答案】π【解析】【分析】根据正弦型函数图像平移法则和正弦函数性质进行解题.【详解】解：由题意得：y=()fx的图像向左平移个单位后得：a函数π3π()=+−=sin(2x2a−+fxsin2(xa))3π该函数与原函数图像重合故sin(2x+2a−)=sin(2x−π)33ππ2a−=2kπ−(k∈Z)a=kπ(kZ)∈可知故当，即33k=1时，a=π为最小正实数.故答案为：π(−)6.y=x2的定义域为___________.2【答案】+∞)【解析】【分析】根据函数定义域的求法，即可求解.x−2>0[+∞)x≥3,故函数的定义域为:,解得.【详解】解：log2(x−≥0故答案为：+∞).y=−4−x2(x≤0)的长度为____________.7.【答案】π【解析】y=−4−x(x≤0)2.2y=−4−x2得为圆心，以2为半径的圆的左半圆，∴曲线y=−4−x2（x≤0）的长度是x2+y2=4(x≤0)y=−x≤04−x2（1×π=π，2故答案为：2.πABCD−ABCDAB=BC=4，1=2BC8.如图，在长方体正弦值为__________.，则直线与平面DD所成角的111111110515【答案】【解析】##10【分析】过CCH⊥BD，垂足为H，则1H⊥作平面∠1BH，则即为所求角，从而可得结DD111111果.【详解】依题意，画出图形，如图，过CCH⊥BD，垂足为H，1作111AB=BC=可知点H为中点，BB1⊥AC，11由平面CH⊥BBDB∩=B可得所以，又111111CH⊥DD，11平面1∠1BH则即为所求角，因为AB=BC=4，1=2，1H22105所以sin∠1BH===，12510故答案为：.512x2+=1的焦点在x轴上，离心率为，则实数m的值是__________.29.圆锥曲线4【答案】【解析】3x【分析】根据圆锥曲线焦点在轴上且离心率小于，确定ab求解即可.12x2+2=1的焦点在轴上，离心率为x，【详解】因为圆锥曲线1a2=b2=所以曲线为椭圆，且，，mc22a2−b2114所以e2===1−=aa2m43解得m=，43故答案为：=()的fxf(x)=x2+ex+e−xf(x)>f(2x−)x成立的的取值范围是y10.若函数解析式，则使得___________.1{x<x<【答案】【解析】3的导函数判断f(x)在(0,+∞上单调递增，根据偶函数f(x))【分析】由题意先判断函数为偶函数，再利用的对称性得(−∞,0)上单调递减.fx()>(−)成立，即f2x1|x||2x1|>−，解不等式即可得到答案.fxx2exe−x()=++∴f(x)f(x)，yfx为偶函数，当=−=()x>0【详解】，时，(ex)2−1+∞)上单调递增.y=f(x)∴f(x)f'(x)2xe=+x−e−x=2x+>0(0,ex1(−∞,0)上单调递减.fx()>(−)成立，即f2x1|x||2x1|>−⇒x2>(2x−2⇒<<x1在.31<x<1.故答案为：3xyx2++y2=1，则x2−+y2若实数、满足的取值范围为___________.1,3【答案】3【解析】【分析】直接利用换元法以及基本不等式，求出结果．【详解】解：设x2−+2y=m，x2++y2=1，由于所以由于所以1−m=2，x2+y2||，(当且仅当|x|y|时取等号)2(当且仅当x=−y时取等号，(当且仅当x=y时取等号)，−2++1故−，322，323所以1−m，1整理得：m3．31−+y2的取值范围,3．x2−+y2的取值范围为x2故31,3故答案为：．312.如图，与是三棱锥ABCD中互相垂直的棱，−BC=2，=c（c为常数）若AB+BD=AC+CD=2a，则实数a的取值范围为__________.【答案】(c++∞)2【解析】B,C,D>为焦点的椭球上，再利用椭球的性质得到b2，化简即得解.【分析】分析得【详解】解：因为ABBDACCD2a，B,C,D都在以+=+=所以都在以为焦点的椭球上，BC是垂直椭球焦点所在直线的弦，BC的最大值为2b,ABCD共面且BC过AD中点，即b>∴b>∴b2>∴a2−c2>∴a>c+1.2a故实数的取值范围为(c2++∞).故答案为：(c2++∞)二、选择题（本大题共4题，满分20分）llllll213.、是平面直角坐标系上的直线，“与的斜率相等是“与平行的（）12121A.充分非必要条件C.充要条件【答案】DB.必要非充分条件D.既非充分条件也非必要条件【解析】【分析】根据直线平行与直线斜率的关系，即可求解.llll2【详解】解：与的斜率相等”，“与可能重合，故前者不可以推出后者，121llll2若与平行，与的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，121故前者是后者的既非充分条件也非必要条件，故选：D.(−−)x+y+2y=0有两个不同的交点时，其斜率的取值范围是14.己知直线l过点1l22k，当直线与圆（）33−,−3,3)(−)(−3)D.A.B.C.33【答案】A【解析】【分析】设直线方程，利用圆与直线的关系，确定圆心到直线的距离小于半径，即可求得斜率范围.【详解】如下图：y−(=k(x−(2))−y+2k−1即设直线l的方程为x2+y+(y+)(0)2+2y=0∴x22=1∴-，半径是1圆心为直线与圆有两个不同的交点1+2k−1∴<12k+133∴−<k<33故选：A15.a(2,b(7)，则a在b方向上的投影为（==−）5A.65B.C.D.655【答案】C【解析】【分析】利用向量数量积的几何意义即得．【a=(2,b(7)=−,a⋅b2⋅(4)+3⋅713655===故a在b方向上的投影为：b(−4)2+7265故选：．x2y2=1及以下3f(x)=xf(x)=sinxf(x)=xsinx+16.已知椭圆169象能等分该椭圆面积的函数个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】x2y2=1的图像关于原点对称，因为函数f(x)=x,函数+【分析】由椭圆的几何性质可得椭圆169f(x)=sinxf(x)=xsinxy在为奇函数,其图像关于原点对称，则①②满足题意,对于函数轴右侧y在轴右侧的图像显然不x∈(0,π)时，f(x)>0x∈π,4)f(x)<0，即函数f(x)=xsinx，只有yf(x)=xsinxy能等分椭圆在轴右侧的图像的面积,又函数为偶函数,其图像关于轴对称，则函数f(x)=xsinxyyf(x)=xsinx的在轴左侧的图像显然也不能等分椭圆在轴左侧的图像的面积,即函数图像不能等分该椭圆面积，得解.x2y2+=1的图像关于原点对称，【详解】解：因为椭圆169f(x)=xf(x)=x的图象能等分该椭圆面积；对于①，函数对于②，函数为奇函数，其图像关于原点对称，即可知f(x)=sinxf(x)=x为奇函数，其图像关于原点对称，即可知的图象能等分该椭圆面积；x∈π,4)f(x)<0，即，只有时，f(x)=xsinxyx∈(0,π)f(x)>0对于③，对于函数在轴右侧f(x)=xsinxyy轴右侧的图像（如图）显然不能等分椭圆在轴右侧的图像的面积,函数在f(x)=xsinxyf(x)=xsinxy在轴左侧的图像显然也不能等分椭为偶函数,其图像关于yf(x)=xsinx圆在轴左侧的图像的面积即函数即函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有2个，故选C.的图像不能等分该椭圆面积，【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、函数的奇偶性及函数的对称性，重点考查了函数的性质，属基础题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）ABC−ABC中，2，11=1=4，∠ABC=90．=17.如图所示，在直三棱柱1ABC−ABC的表面积S；11（1）求三棱柱1ABAC（2）求异面直线与15【答案】（）32）【解析】）利用＝2S+S，可得三棱柱ABCABC的表面积S；侧111（2）连接BC，确定∠BAC就是异面直线AB与ACBC中，利用余弦定理可111111求结论．）在△ABC中，因为＝2AC4，∠ABC＝，所以＝23．△ABC＝AB×BC＝23．所以＝△ABC+S侧＝43+（3+4×4＝24+123（2）连接BCC，所以∠BAC就是异面直线AB与AC1111115在△ABC中，AB2，BC＝2，AC4，由余弦定理可得cos∠BAC＝，11111111055所以∠BAC＝arccos，即异面直线AB与AC所成角的大小为arccos．111010【点睛】本题考查三棱柱的表面积，考查线线角，解题的关键是正确作出线线角，属于中档题．)n=(cos,−cosC)bc,a,且m⊥n.，18.在中∆,B,C的对边分别为a,b,cm=(−（1）求角A的大小；33=3，的形状，并说明理由.（2a面积为，试判断4π【答案】（）2）为等边三角形．3【解析】【1）由（2bc）﹣acosC＝0及正弦定理，得（2cosA10，从而得角；1233（2S＝bcsinA＝，可得＝，①；再由余弦定理a22b+c2﹣2bccosA可得b2+c＝，②；24联立①②可求得bc＝3，从而可判断△ABC的形状．）由（﹣cosAacosC0及正弦定理，得（2sinB﹣sinC）﹣sinAcosC0，∴2sinBcosA﹣sinA+C）＝0，（2cosA10．1∵0＜＜π，∴sinB≠0，∴cosA＝．∵0＜A＜π，2π∴A＝．31233（2）△ABC为等边三角形，∵S＝bcsinA＝，412π33即bcsin＝，∴bc＝，①34π∵a2b2+c2﹣2bccosA，＝，＝3，∴b2＝，②23由①②得＝＝3，∴△ABC为等边三角形．【点睛】本题考查三角形形状的判断，着重考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．1(2,2)()19.已知函数y=(≠)x0的图像为曲线C，点F1F−2,−2.、2x()为曲线CPx,yPF的长（用1x（1）设点上在第一象限内的任意一点，求线段000（2）设点Q为曲线C上任意一点，求证：QF1−为常数；2（3）由（）可知，曲线C为双曲线，请研究双曲线C的性质（从对称性、顶点、渐近线、离心率四个角度进行研究）.1||x+−2|；【答案】（）100（2）具体见解析；3）具体见解析.【解析】）由两点间的距离公式求出距离，进而将式子化简即可；|QF|,|QF|x>x<0两种情况，然后结合基本不等式即可证明问题；（2）求出，进而讨论21F,F为双曲线C（3）根据的焦点，结合双曲线的图形特征即可求得该双曲线的相关性质.12【小问1详解】由题意，212222()()()|PF1=x−2+y−2=x−2+−200001111=2+−22x++4=x+−2|0+−2|.0x20x0000【小问2详解】211x设()，由（）−2|，|2|(2Qx,y|QF1|x+=+++x22x211=x++2|x++2|.xx11112，x=1时取“=”|QF1=x+−2|2=x++2若x>0x+≥2x⋅=xxxx−=22.1211−x1−x1=−2x=1时取“=”|QF=−x+−2若x<0x+=−−+x≤−−⋅2x，1xx1|QF=−x++2222.−=，所以21x−=22综上：，为常数.12【小问3详解】1易知曲线C：yx0=(≠)为奇函数，则其图象关于原点对称.xF,F为双曲线C的焦点，则它关于直线l对称，还关于与l由（2C为双曲线，垂直且121212l.过原点的直线对称22()==−1，则l12:y−2=x−2⇒=x，易得l:y=−xyk.12−22y=x,y=−x综上：双曲线C关于原点（0,0）对称，且关于直线对称.y=x=0容易知道，直线是双曲线C的渐近线.y=xA(−),A1).12FF代入双曲线C解得顶点：易知线段是双曲线的实轴，将124=|FF=4，则离心率e==2于是实轴长为|AA|22,焦距为.121222x22y2221ab0的一个焦点坐标为=(>>)()1,0，离心率e=20.己知椭圆C：+.ab2（1）求椭圆C的方程；（2O为坐标原点，椭圆C与直线OM的斜率为-1，求线段的长；y=+1相交于两个不同的点、，线段的中点为M.若直线（3）如图，设椭圆上一点R的横坐标为RR作两条不重合直线分别与椭圆C交于、Q两点、若直线与QR的倾斜角互补，求直线的斜率的所有可能值组成的集合.x2+y=1；2【答案】（）225（2）；32}.（3）{2【解析】【分析】(1)根据给定条件求出椭圆长半轴长a即可计算得解.y=+1代入椭圆(2)将C的方程，再结合给定条件求出k值即可计算出的长.(3)设出直线的方程，再与椭圆C的方程联立求出点P坐标，同理可得点Q坐标，计算的斜率即可作答.【小问1详解】c2依题意，椭圆C的半焦距=1，而=e=，解得a=2，则b2=a2−c=1，2a2x2所以椭圆C的方程是：+y=1.22【小问2详解】y=+14k=(2k2+x2+4=0x0x=−，2由并整理得：y，解得，，2+2y2=212k2+1x2k111M(−,)OM−斜率为=−1，解得k=于是得线段的中点，直线2k2+12k2+12k214×1252因此，|AB=1+k2|x−x=1+()2×=，211232×()2+12253所以线段的长为.【小问3详解】22)，依题意，设直线的斜率为tt≠−=t(x−，由(1)知，点R，直线方程为：y222y=tx−t−)2y(2t2+x2−tt−)x+t−2t−1=02由2并整理得，，2x2+2y=22t−2t−12P(x,y)=Q(x,y)设点，则有xP，显然直线QR的斜率为-，设点，同理有QPPQt2+1t+2t−12Q=，t2+1于是得直线的斜率t2−2t−1t+2t−12t(+)−tyP−yQt(x−+t(x−PQ−t2t2+12t+1kPQ=====，xPQ−xPQ−t2−2t1t−2+2t1t+1−−24t−t2+122}.所以直线的斜率的所有可能值组成的集合{2a2，b2焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出ab；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论.21.某双曲线型自然冷却通风塔的外形是由图1中的双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转一周所形成的曲面Γ图2所示.A′、.己知该冷却通风塔的最窄处是圆O1；A546320Ω；下口为圆ΩΩ1Ω与所在平面间的距离）为2上口为圆，其半径为，其半径为；高（即圆.125（1）求此双曲线的方程；（2）以原平面直角坐标系的基础上，保持原点和x轴、y轴不变，建立空间直角坐标系，如图3所示ΩP(x,y,z)ΩQ(x,y,z)yyx.请给出、21212+21z口圆上任取一点上任取一点1111222x22+z22与的值；（3）在（）的条件下，是否存在点、Q，使得、Q三点共线.若不存在，请说明理由；若存在，求出点PQ的坐标，并证明此时线段上任意一点都在曲面Γ上.x2−y2=1；【答案】（）312251616925y=1y=−2x+1，122=x22+z2=2（2），，；453344121233121255P,,Q−,−P,−,Q−,（3）存在，或，证明见解析.5544【解析】x22y2213554【分析】（1）设双曲线的标