高等数学（经济类）全书习题解答第6章（定积分）

PAGE57-习题解答习题6－11．利用定积分定义计算下列各题：（1）；解对区间作等分，，，；（2）．解对区间作等分，，，，，因为，所以，即．２．将以下各极限表示成某个函数在某区间上的定积分（１）解原式=＝=（２）解＝＝3．利用定积分的几何意义求下列定积分：（1）（；解因为表示为一个半圆面积，所以；（2）；解因为表示为两个三角形面积，所以=；（3）．解因为表示为上直线与轴围成的平面图形面积之差，用轴上方的面积减轴下方的面积，所以．(4)解因为表示为区间上曲线与轴围成的平面图形面积之差，用轴上方的面积减轴下方的面积，所以=04．已知，利用定积分的几何意义求．解由定积分的几何意义得．5．设，，，求（1）；解；（2）；解因为，所以；（3）；解；（4）．解；6．不计算定积分的值，比较下列各对定积分值的大小：（1）与；解因为在闭区间上，，所以；（2）与；解因为在闭区间上，，所以；（3）与；解因为在上，，>．（4）与；解因为在闭区间上，，所以．7．估计下列各积分的值：（1）；解设，在闭区间上，，即，所以；（2）；解设，，在区间内，，是单调增函数，，，因此，（3）．解设，在闭区间上，，是单调减少函数，即有，所以．(4)解设，在闭区间上，，是单调增加函数，故有，所以≤≤；8．设及在闭区间上连续，证明：（1）若在上≥，且，则在上；（2）若在上≥，且，则，；（3）若在上≤，且，则在上．证明：（1）反证法若使则，由连续函数的局部保号性，必存在的某一邻域使（）从而，(右边三个积分均大于等于零)，与矛盾.所以在上；（2）由知若则由（1），矛盾，故（3）在上，且，所以由（1）得．即．9．设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且满足，证明：在内至少存在一点，使得．证明由积分中值定理，存在，使得，因此有，对函数，由罗尔定理，在内至少存在一点，使得．10．设函数在闭区间上可微，且满足，证明：在内必有一点，使得．证明由积分中值定理，存在，使得，因此有，对函数，∵，∴由罗尔定理，在内至少存在一点，使得．即．11.设函数和在区间上连续，且，。试证：至少存在一点，使得证令,,由函数和在区间上连续知，在内可导，且，所以由柯西中值定理得，至少存在一点，使得即。习题6－21．计算下列各定积分：（1）；解；（2）；解；（3）；解;（4）；解原式＝；（5）；解原式＝；（6）；解；（7）；解；（8）；解原式＝+＝；（9）；解原式＝++＝（10），其中．解；2．计算下列各导数：（1）；解原式＝；（2）；解原式＝；（3）；解原式＝；（4）；解原式＝；（5）解原式==(6)．解因为是常数，所以，＝0；3．求由所确定的函数的导数．解，，∴．4．求由参数方程，所确定的函数的导数．解∵，∴．5．设在内连续，，求．解，，；6．求下列各极限：（1）；解原式=；（2）；解=1（3）；解原式；（4）；解原式．（5），其中在内连续．解原式==7．若在的某邻域内连续，且，，求解===18．求的极值与其图形的拐点．解，令，得驻点，又，．∴极小值为，令，得，当时，；当时，，∴拐点为．9．设求在上的表达式，并讨论在上的连续性与可导性．解当时，，当时，，所以；，，，即，在上连续；，，因为，在处不可导．10．设在上连续，在内可导，且，记，证明：在内单调减少．证明由积分中值定理，存在，使得；由，得，∵∴在内单调减少．11．设在内连续，且，证明：函数满足方程，并求．解∵，∴＝112．利用定积分定义，求解原式==习题6－31.用换元积分法求下列定积分：（1）；解原式=；（2）解=（3）解原式（4）；解（5）；解；（6）；解；（7）；解＝＝．（8）解===（9）解；(10)；解原式==;(11）；解法一原式=解法二原式==;（12）；解原式=;（13）；解原式=;（14）；解令，则原式＝＝；（15）；解令，则，由，得，由，得，；（16）解===(17)；解（18）；解令，则，由，得，由，得，；(19)解（20）；解令，则，由，得，由，得，；(21)；解令，则，由，得，由，得，；（22）；解令，则，原式==（23）；解原式=；（24）．解令原式＝＝而＝，∴原式；2．设，求．解令，原式===;3.求在上的最大值、最小值．解=,令，得，又，∴最大值为，最小值为．4.设函数在区间上连续，并满足条件，求。解令，则所以条件化为，两边求导，得，所以5．用分部积分法求下列定积分：（1）；解原式===（2）；解；（3）；解原式＝＝（4）；解（5）；解；（6）；解原式=（7）；解原式;（8）（8）；解；（9）；解，；（10）；解，∴；（11）；解原式＝＝；（12）；解；（13）．解原式＝；6．试推导的递推公式，其中为自然数，并计算．解∵∴．7．计算下列定积分：（1）；解令，则，由，得，由，得，原式=；（2）；解令，则，由，得，由，得，．（3）；解为奇函数，所以原式＝0.（4）；解令，原式＝．（5）；解；（6）；解∵∴原式==.（7）；解∵,是偶函数，∴原式＝．（8）；解原式=+而＝∴原式+．（9）；解令t=arcsinx,则原式=＝．（10）．解令x=sint,则原式为奇数为偶数=．为奇数为偶数9．证明下列各等式：（1），其中；证令，则，由，得，由，得，；（2）设是连续函数，证令，则左边==右边可积（3）；可积证明令，则左边＝＝右边．（4）,其中f(x)在[0,1]上连续．证明令则于是＝．9．设在上连续，且，，，求．解．10．若是连续的奇函数，证明是偶函数；若是连续的偶函数，证明是奇函数．证若是连续的奇函数,则，令，即是偶函数；若是连续的偶函数，则，令，即是奇函数．习题6－41．讨论下列反常积分的敛散性，如果收敛，求反常积分的值：（1）；解；（2）解原式=（3）；解；；（4）；解原式＝（5）；解∵，∴原积分发散；（6）；解原式==.（7）；解∴．（8）；解．（9）．解原式=====．2．讨论下列无界函数的反常积分的敛散性，如果收敛，求反常积分的值：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）解原式=因，故原积分发散。（5）；解原式=+．3．（1）已知，求常数的值（2）已知，求常数的值．解（1）令，所以（2），而，由，解得．4．当为何值时，反常积分收敛？当为何值时，该反常积分发散？又当为何值时，该反常积分取得最小值？解当时，；当时，；设，则，，令，得，且，即在处取极大值，所以取最小值．5．用函数表示下列反常积分（已知）：（1）；解令，则，由，得，由，得，；（2）；解令，则，由，得，由，得，原式；（3）；解令，则，由，得，由，得，原式；（4）；（m是正整数）解原式＝．（5）；解；（6）（m是正整数）．解令，则，由，得，由，得，．6．证明，其中．证明利用数学归纳法．已知．当时，，等式成立，设时，等式成立，即，则时，．7．证明，其中．证明∵∴．习题6－51．求由下列各组曲线或直线所围成的平面图形的面积：（1）与；解由得交点为，，.（2）与及；解所求面积为.（3）与、及；解所求面积为.（4）与；解由得交点为，，2．求曲线与其过原点的一条切线及轴围成的平面图形的面积。解设曲线的过原点的一条切线为，切点坐标为，则，且，又，解得，所以切点坐标为，所以切线方程为，所以所求面积为3．求垂直于轴的直线，它将曲线与直线所围成的平面图形分成面积相等的两部分．解由，得交点横坐标，，设将曲线与直线所围成的平面图形分成面积相等的两部分，则，即，上述方程在内的唯一解为．4．求曲线在区间内的一条切线，使该切线与直线，及曲线所围成的图形面积为最小．解设切点为，，则切线方程为，即，，令，解得，且，所以时面积最小，所求切线方程：．5．问为何值时，由曲线、直线及所围成的图形面积为最小．解，解得，，令，解得，由，得时，图中阴影部分面积最小．6．求由下列各组曲线或直线所围成的平面图形，绕指定的轴旋转所构成的旋转体的体积：（1）、及，分别绕轴、轴；解，；（2），及，分别绕轴、轴；解，；（3）及，绕轴；解；（4）及，绕轴；解由得交点为，，根据对称性知，所求旋转体的体积.（5），绕轴；解；（6）、、及，绕轴．解．7．求位于曲线下方，轴右方以及轴上方之间的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积．解．8．求由抛物线与直线所围成的图形绕直线旋转所得旋转体的体积．解由微元法可知，与所围图形绕旋转所得旋转体的体积为.9．求以抛物线与直线所围成的图形为底，而垂直于抛物线轴的截面都是等边三角形的立体的体积．解，．10．求以半长轴、半短轴的椭圆为底，而垂直于长轴的截面都是等边三角形的立体的体积．解椭圆的方程为：，，．11.已知某工厂的某种产品的产量的变化率是时间（年）的函数，（1）求第一个五年计划期间该厂的该产品的产量；（2）按照题设的变化率，求第二个五年计划期间的该产品的产量；解（1）总产量为它对时间的变化率的原函数，所以（2）第二个五年计划期间的总产量为.12.已知某商品的需求量对价格的弹性的绝对值为，最大需求量为，试求（1）该商品的需求函数和总收入函数；（2）价格定为多少时总收入最大，此时需求量为多少？解由题意得，即，所以，故有，所以需求函数为总收入函数为令=0，得，，此时价格此时总收入最大，而相应的需求量为。13．设生产某产品的固定成本为10，当产量为时的边际成本函数为；边际收入函数为。试求（1）总利润函数；（2）使总利润最大的产量。解（1）总成本函数，总收入函数所以，总利润函数（2）令(即令利润函数的导数等于零，此为取得最大利润的必要条件)，得，解得，而，,所以产量为2时利润最大。总习题61．选择题：（1）设在上，，，，记，，，则（）；（A）（B）（C）（D）解因为，，所以在上单调减少，且是凹的，由定积分的几何意义得，即．所以选项C正确；（2）设，，，则（）；（A）（B）（C）（D）解由奇偶函数在对称区间上积分的结论，得，，，即选项D正确；（3）设是连续函数，，且，则的值（）；（A）依赖于与（B）依赖于、和（C）依赖于、，不依赖于（D）依赖于，不依赖于解，即选项D正确；（4）设是连续函数，，则（）；（A）（B）（C）（D）解即，两边积分得亦即，由得．故选项B正确．（5）设，，则当时，（）；（A）与都不是无穷小（B）是比高阶的无穷小（C）与是同阶无穷小（D）与是等价无穷小解与都是无穷小∵，∴是比高阶的无穷小．故选项B正确．（6）设，，则在区间上（）．（A）有第一类间断点（B）有第二类间断点（C）两类间断点都有（D）是连续的解，，，，即选项D正确（7）曲线，轴及轴所围成的图形被曲线分为面积相等的两部分，其中，则常数（）；（A）（B）（C）（D）解由，解得，，由，解得，即选项C正确；2．填空题：（1）设当时是连续函数，且，则；解，令，得；（2）设连续函数，则；解极限＝．（3）；解是奇函数，故原式＝0.（4）；解∵是偶函数，∴原式＝；（5）；解令，则原式==.（6）设是连续函数，为常数，则．解令，则，由，得，由，得，．（7）由曲线、及直线所围成的图形面积为；解曲线、及所围图形面积为；（8）由曲线及直线所围成的平面图形绕轴旋转所得旋转体体积为；解曲线及所围图形绕轴旋转所得体积为；3．计算题：（1）求极限；解原式＝．（2）求极限；解原式＝．（3）设，求极限；解令，则，∵，∴原式＝．（4）；解；（5）；解；（6）设函数可微，且，求；解∴；（7）设可微函数在上有定义，其反函数为，且满足：，试求；解将代入等式得∴，等式两边对x求导得注意到所以上式两边积分得，由得，所以．（8）已知满足，求；解设，则．上式两端平方并积分，得，即，，．解得或．于是或．（9）已知，且，求；解,所以；（10）设，求；解令，则，由，得，由，得，所以．（11）；解由定积分的几何意义，原式＝．4．设有曲线，在原点与之间求一点，使该点左右两边阴影部分（图6-37所示）的面积相等，并写出的表达式．解由题意得，图6-37从而．5．求由曲线，直线及所围成的第一象限内的图形绕轴旋转所得旋转体的体积．解所求旋转体的体积为．6．求由曲线与轴