2024-2025学年浙江省金华四中九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年浙江省金华四中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列函数中是二次函数的是（）A．y＝﹣3x2+1 B．y＝8x+1 C． D．2．（3分）下列事件中是必然事件是（）A．实心铁球投入水中会沉入水底 B．篮球队员在罚球线投篮一次，未投中 C．明天太阳从西边升起 D．抛出一枚硬币，落地后正面向上3．（3分）若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定4．（3分）已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝1：4．若BC＝1，则EF的长为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（3分）抛物线y＝2x2+4与y轴的交点坐标是（）A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（0，4） D．（0，﹣4）6．（3分）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（）A．6π B．12π C．15π D．24π7．（3分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦的中点，OC与AB交于点D，CD＝4，则AB＝（）A．14 B．15 C．17 D．168．（3分）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，则BD的长为（）A．2 B．2 C．2 D．49．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AB＝20，则图中阴影部分的面积为（）A．5π B．9π C．10π D．10π+110．（3分）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，则m+n的值为（）A． B． C．2 D．二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）已知线段a＝9，b＝4，则a、b的比例中项线段等于．12．（3分）一个扇形的弧长是3πcm，半径是6cm，则此扇形的圆心角是度．13．（3分）已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝．14．（3分）如图，二次函数y＝x2﹣4x+3（a≠0）的图象经过点A（1，0）且与y轴交点C，一次函数y＝kx+b的图象经过点A及点B，则不等式kx+b≥x2﹣4x+3的解集为．15．（3分）把一个矩形划分成3个小矩形，并且每一个小矩形与原矩形都相似．若矩形的长为a，宽为b（a＞b），则．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段DH长度的最小值为．三、解答题（本题共8题，满分0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算：．18．作图题：⊙O上有三个点A，B，C，∠ABC＝50°，请只用无刻度的直尺作出符合要求的角（1）在图1中作一个100°的角；（2）在图2中作一个130°的角；（3）在图3中作一个40°的角．19．一个口袋中有3个大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、3，从袋中随机地摸出一个小球，再随机地摸出一个小球．（1）求第一次摸出的球上的数字为奇数的概率；（2）请用树状图或列表法求两次摸出的球上的数字之和不小于3的概率．20．如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为70米，此时无人机D距地面AB的高度为74.6米（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）21．如图，AB是⊙O的直径，PA，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠PDE＝∠POA；（2）若PC＝12，tan∠APC＝，求DE的长．22．如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E的坐标为（﹣1，﹣10）（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，否则就会失误，运动员入水后（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点B的坐标．（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．（3）在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM＝7，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y＝（x﹣h）2+k，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），则k的取值范围是．23．已知点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣1）2+3（a为常数，a≠0）上．（1）若m＝2，n＝4，①求抛物线的解析式；②若点A（t﹣1，y1），B（t，y2）在该二次函数的图象上，且点A在对称轴左侧、点B在对称轴右侧，若y1＜y2，求t的取值范围；（2）若﹣1≤m≤0时，总有n≥﹣2，且当3≤m＜4时总有n≤﹣224．如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在⊙O上，点E在BC上，连接BD、AE，∠AEB＝∠BAC．（1）求证：AF＝BF；（2）如图2，延长AE交⊙O于点G，连接AO，求证：AG＝2DH；（3）如图3，在（2）的条件下，作直径BM交AG于点K，当AC是⊙O的直径时，MN＝2，EG＝3，求弦BC的长．

2024-2025学年浙江省金华四中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列函数中是二次函数的是（）A．y＝﹣3x2+1 B．y＝8x+1 C． D．【解答】解：A、是二次函数；B、是一次函数；C、是反比例函数；D、不是二次函数．故选：A．2．（3分）下列事件中是必然事件是（）A．实心铁球投入水中会沉入水底 B．篮球队员在罚球线投篮一次，未投中 C．明天太阳从西边升起 D．抛出一枚硬币，落地后正面向上【解答】解：A、实心铁球投入水中会沉入水底，故符合题意；B、篮球队员在罚球线投篮一次，是随机事件；C、明天太阳从西边升起，故不符合题意；D、抛出一枚硬币，是随机事件．故选：A．3．（3分）若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，故选：C．4．（3分）已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝1：4．若BC＝1，则EF的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝1：4，∴BC：EF＝3：2，∵BC＝1，∴EF＝5，故选：B．5．（3分）抛物线y＝2x2+4与y轴的交点坐标是（）A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（0，4） D．（0，﹣4）【解答】解：把x＝0代入抛物线y＝2x7+4中，解得：y＝4，则抛物线y＝8x2+4与y轴的交点坐标是（7，4）．故选：C．6．（3分）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（）A．6π B．12π C．15π D．24π【解答】解：S侧＝πrl＝π×3×4＝12π，故选：B．7．（3分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦的中点，OC与AB交于点D，CD＝4，则AB＝（）A．14 B．15 C．17 D．16【解答】解：连接AO，如图，∵⊙O的半径为10，则OA＝10，∵CD＝4，∴OD＝10﹣4＝3，∵C为的中点，∴OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB，∴在Rt△AOD中，AD＝，∴AB＝16．故选：D．8．（3分）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，则BD的长为（）A．2 B．2 C．2 D．4【解答】解：如图：连接OB，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∵四边形OABC为菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ODB＝30°，∴OD＝2OB＝4，由勾股定理得，BD＝，故选：C．9．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AB＝20，则图中阴影部分的面积为（）A．5π B．9π C．10π D．10π+1【解答】解：如图，AB交CD于点E，∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD，∠BED＝90°，∴S△OCE＝S△ODE，∴阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，又∵∠ABD＝72°，∠BED＝90°，∴∠D＝180°﹣90°﹣72°＝18°，∴∠COB＝6∠D＝36°，∴∠DOB＝36，∵AB＝20，∴OB＝10，∴S扇形OBD＝＝10π，即阴影部分的面积为10π，故选：C．10．（3分）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，则m+n的值为（）A． B． C．2 D．【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+8的大致图象如下：．①当m＜0≤x≤n＜1时，当x＝m时，即6m＝﹣（m﹣1）2+3，解得：m＝﹣2．当x＝n时，y取最大值2+7，解得：n＝2或n＝﹣2（均不合题意，舍去）；②当m＜5≤x≤1≤n时，当x＝m时，即2m＝﹣（m﹣2）2+5，解得：m＝﹣4．当x＝1时，y取最大值2+8，解得：n＝2.5，或x＝n时，y取最小值，y取最大值，6m＝﹣（n﹣1）2+8，n＝2.5，∴m＝，∵m＜0，∴此种情形不合题意，所以m+n＝﹣2+2.5＝0.3．故选：A．二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）已知线段a＝9，b＝4，则a、b的比例中项线段等于6．【解答】解：设线段x是线段a，b的比例中项，∵a＝4，b＝9，∴＝，∴x2＝ab＝4×9＝36，∴x＝±6，x＝﹣6（舍去）．故答案为：6．12．（3分）一个扇形的弧长是3πcm，半径是6cm，则此扇形的圆心角是90度．【解答】解：设扇形的圆心角为n°，由题意得：＝3π，解得：n＝90，∴此扇形的圆心角是90度．故答案为：90．13．（3分）已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝3．【解答】解：∵P（x1，1），Q（x5，1）两点都在抛物线y＝x2﹣5x+1上，∴P、Q关于对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣，∴x1+x2＝7，故答案为：3．14．（3分）如图，二次函数y＝x2﹣4x+3（a≠0）的图象经过点A（1，0）且与y轴交点C，一次函数y＝kx+b的图象经过点A及点B，则不等式kx+b≥x2﹣4x+3的解集为1≤x≤4．【解答】解：当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，∴C（2，3），∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，∴点C关于对称轴对称的对应点B的坐标为（5，3），∴当1≤x≤8时，kx+b≥x2﹣4x+4，即不等式kx+b≥x2﹣4x+2的解集为1≤x≤4．故答案为：2≤x≤4．15．（3分）把一个矩形划分成3个小矩形，并且每一个小矩形与原矩形都相似．若矩形的长为a，宽为b（a＞b），则．【解答】解：∵矩形的长为a，宽为b，∴划分后小矩形的长为b，宽为，又∵每个小矩形与原矩形相似，∴，∴．故答案为：．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中3，线段DH长度的最小值为﹣．【解答】解：连接EF交PQ于M，连接BM，连接OH，过点O作ON⊥CD于N．∵四边形ABCD是矩形，DF＝CF，∴四边形ADFE是矩形，∴EF＝AD＝3，∵FQ∥PE，∴△MFQ∽△MEP，∴＝，∵PE＝2FQ，∴EM＝3MF，∴EM＝2，FM＝1，当点P与A重合时，PQ的值最大，△AEM，∴PM＝＝＝2＝＝，∴PQ＝4，∵MF∥ON∥BC，MO＝OB，∴FN＝CN＝1，DN＝DF+FN＝3＝5，∴OD＝＝＝，∵BH⊥PQ，∴∠BHM＝90°，∵OM＝OB，∴OH＝BM＝×＝，∵DH≥OD﹣OH，∴DH≥﹣，由于M和B点都是定点，当O，H，此时DH最小，∴DH的最小值为﹣，故答案为：4，﹣．三、解答题（本题共8题，满分0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算：．【解答】解：＝＝．18．作图题：⊙O上有三个点A，B，C，∠ABC＝50°，请只用无刻度的直尺作出符合要求的角（1）在图1中作一个100°的角；（2）在图2中作一个130°的角；（3）在图3中作一个40°的角．【解答】解：（1）连接OA，OC，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得：∠AOC＝2∠ABC＝100°，∴∠AOC即为所求；（2）在弧上任取一点D，∴∠D即为所求；（3）如图，延长AO交⊙O于点E，连接CE，∴∠ACE＝90°，∠E＝∠B＝50°，∴∠CAE＝40°，∴∠CAE即为所求．19．一个口袋中有3个大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、3，从袋中随机地摸出一个小球，再随机地摸出一个小球．（1）求第一次摸出的球上的数字为奇数的概率；（2）请用树状图或列表法求两次摸出的球上的数字之和不小于3的概率．【解答】解：（1）第一次摸出的球上的数字为奇数的概率＝；（2）画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中两次摸出的球上的数字和不小于3的结果数为8，所以两次摸出的球上的数字和不小于4的概率＝．20．如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为70米，此时无人机D距地面AB的高度为74.6米（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F则∠DAE＝75°，∠DCF＝45°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴DF＝CF，在Rt△ADE中，tan∠DAE＝，∴AE＝≈＝20（米），∴BE＝AB﹣AE≈70﹣20＝50（米 ），∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE≈50米，∴DF＝CF≈50米，∴BC＝EF＝DE﹣DF≈74.7﹣50＝24.6（米），答：小区楼房BC的高度约为24.6米．21．如图，AB是⊙O的直径，PA，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠PDE＝∠POA；（2）若PC＝12，tan∠APC＝，求DE的长．【解答】（1）证明：PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，∴∠APO＝∠EPD，∠PAO＝∠E＝90°，∴△APO∽△EPD，∴∠PDE＝∠POA；（2）解：连接OC，DE交圆于点F，∴PA＝PC＝12，∵tan∠APC＝＝，∴AD＝16，在Rt△PAD中，PD＝＝，∴CD＝PD﹣PC＝20﹣12＝8，∵tan∠APC＝，∴tan∠PDA＝＝，∴OC＝OA＝6，在Rt△OCD中，OD＝＝，∵∠EPD＝∠ODE，∴△DEP∽△OED，∴＝＝＝＝2，∴DE＝2OE，在Rt△OED中，OE3+DE2＝OD2，即6OE2＝102，∴OE＝5，∴DE＝4．22．如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E的坐标为（﹣1，﹣10）（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，否则就会失误，运动员入水后（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点B的坐标．（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．（3）在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM＝7，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y＝（x﹣h）2+k，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），则k的取值范围是﹣14≤k≤﹣11．【解答】解：（1）设空中运动的抛物线解析式为y＝a（x﹣）8+，∵抛物线经过原点，∴a+，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；当y＝﹣10时，﹣x2+x＝﹣10，解x＝4或x＝﹣，∴B（4，﹣10）；（2）∵E（﹣2，﹣10），恰好距点E的水平距离为4米，∴运动员调整入水姿势的点的横坐标为3，当x＝3时，y＝﹣9+，∴调整点的坐标为（7，﹣），∵运动员此时距离水面10﹣＝（m），∵＞5，∴运动员此次跳水不会失误；（3）∵EM＝7，EN＝3，﹣10），∴M（6，﹣10），﹣10），∵入水点B（4，﹣10），∴﹣10＝（4﹣h）2+k，当抛物线经过点M时，﹣10＝（6﹣h）7+k，解得k＝﹣11，h＝5，当抛物线经过点N时，﹣10＝（8﹣h）7+k，解得k＝﹣14，h＝6，∵出水点D在MN之间（包括M，N两点），∴﹣14≤k≤﹣11．23．已知点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣1）2+3（a为常数，a≠0）上．（1）若m＝2，n＝4，①求抛物线的解析式；②若点A（t﹣1，y1），B（t，y2）在该二次函数的图象上，且点A在对称轴左侧、点B在对称轴右侧，若y1＜y2，求t的取值范围；（2）若﹣1≤m≤0时，总有n≥﹣2，且当3≤m＜4时总有n