九年级数学上册 24 一元二次方程教学案 （新版）冀教版

第二十四章一元二次方程本/章/整/体/说/课教学目标的一元二次方程.际意义检验结果的合理性.情感态度与们值观教材分析学的奠基工程.【重点】教学重难点【难点】教学建议形式.算功底.课时划分24.1一元二次方程1课时24.2解一元二次方程3课时24.3一元二次方程根与系数的关系*1课时24.4一元二次方程的应用3课时回顾与反思1课时24.1一元二次方程 整体设计教学目标【难点】2.正确识别一般式中的“项”及“系数”【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P34~35.教学过程导入一端沿墙面下滑1m,那么梯子的底端B在地面上滑动的距离也是1m吗?你能列方程解决这个问题吗?(1)3x-2=0,(2)x²+2x-3=0,(3)x+=0,(4)x²-5=0.【师生活动】复习方程、一元一次方程及方程的解的概念.新知构建思路一积为的面积为分析如何建立一元二次方程的数学模型，整理所列出的方程.【课件展示】解：(1)设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为xm,则它的长为m.根据题意，可得方程(90-2x)·x=700.思路二(1)分析题意，题中的已知条件是什么?(2)分析题意，题中的等量关系是什么?【课件展示】设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为xm,则它的长为m.小亮的做法：设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为xm,则它的宽为(90-2x)m.根据题意，可得方程(90-2x)·x=700.整理，得x²-45x+350=0.共同探究二共同归纳概念请口答下面问题.次方程.(7)3x(x-1)=3x2-5.学习数学的兴趣和积极性.共同探究三一元二次方程的一般形式【课件展示】【思考2】【课件展示】共同探究四一元二次方程的根【思考】【课件展示】(3)2y²-y-1=0.①2x²+5=0;②ax²+bx+c=0;③(x-1是整式方程，同时注意二次项系数不为0.①④⑤满足条件，②中二次项系数可能为0,③化简后2.一元二次方程7x²-2x=0的二次项、一次项、常数项依次是()方程中二次项、一次项、常数项依次是7x²,-2x,0.故选D.解析：把x=2代入方程，得4+2m+2=0,解得m²-2=2,m-2≠0,解得m=-2.故填-2.5.根据题意填空.为耕地，要使耕地的面积为500m2.若设路宽为xm,则可列方程为,一般形式为24.1一元二次方程共同探究二共同归纳概念共同探究三一元二次方程的一般形式共同探究四一元二次方程的根9布置作业教材第36页习题A组第1,2,3题.教材第36页习题B组第1,2题.象限.数项.5.1(解析：把x=1代入方程可得1+a+b=0,:a+b=-1,:a²+b²+2ab=(a+b)²=(-1)²=1,故填m,宽为(20-x)m.根据长方形面积公式即可列方程(30-2x)(20-x)=6×78项系数为3,一次项系数为10,常数项为5.由题意得m²-1≠0,即m≠±1时，方程(m²-1)x²-(m+1)x+m=0是一元二次方程.此方程的二次项系数是m²-1,一次项系数是-(m+1),常数项是m. 教学反思成功之处在教学过程中，小组合作交流还存在个别学生参与意识不强的现象，有些问题教师引导不到位，比如实际问题中建立数学模型时，通过题意不能找到等量关系时，没有很好地帮助学生提高分析问题的能力.本节课虽采取了学生自主学习、共同探究的方法，但是还是没有放开手再教设计本章内容的难点为一元二次方程的应用，在引出一元二次方程的有关概念时，通过创设实际情景，建立一元二次方程的模型，通过观察方程特点，类比一元一次方程的有关概念得出新真正让学生在课堂上动起来.教材习题解答练习(教材第35页)习题(教材第36页)A组题号一般形式-次项常数项00 备课资源课的重点.2.类比方法是数学中重要的方法，所以本节课类比以前学过的一元一次方程的有关概念，让学生通过自主学习、小组交流方式探究新知识，重难点基本能够解决，教师适时点拨即可让学生掌握重难点.3.本节课重难点、易错点的掌握通过不同形式的练习加以巩固，让学生积极参与，培养竞争意识，激发学习兴趣，教师随时注意学生们出现的问题，及时引导和反馈，使学生在快乐中掌握知识.整体思想及学过的知识与本节课的重点结合成为了本节课的一个难点，在习题的设计上要难易适中，有适当的梯度，尊重学生差异，对有困难的学生多关注，培养学生综合能力的提经典例题题已知α是方程x²-2016x+1=0的一个根，试求α²-2015α+的值.化成与α²-2016a,a²+1有关的代数式=-1+=-1+2016=2015.推理能力.学生的学习兴趣.第一课时 整体设计2.知道形如(ax+b)²=p的方程可以用直接开平方法求解.3.理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程.过程与方法过程与方法元二次方程中的运用.的兴趣和自信心.学结论的确定性.)教学重难点【重点】利用配方法解简单的一元二次方程.【难点】通过配方把一元二次方程转化为(x+m)²=n(n≥0)的形式.教学准备【教师准备】多媒体课件.教学过程 【课件展示】一桶油漆可刷的面积为1500dm2,张明用这桶油漆恰好刷完10个同样【师生活动】学生思考，教师引导回答下列问题：(1)设其中一个盒子的棱长为xdm,则一个正方体的表面积为dm²;【师生活动】学生在教师的引导下完成填空，教师及时引导和点拨.解：设其中一个盒子的棱长为xdm,则一个正方体的表面积为6x²dm².1.什么是一个数的平方根?平方根有哪些性质?通过复习平方根的概念和性质及完全平方公式，让学生很自[过渡语]我们复习了平方根的定义，根据平方根的定义可以解某些特殊的一元二次方[过渡语]我们复习了平方根的定义，根据平方根的定义可以解某些特殊的一元二次方(2)(x+1)²=4.二次方程?【师生活动】学生独立思考后小组合作交流，教师对学生的展示进行点评、归纳.【课件展示】(2)x²+2x-3=0.的次数有什么变化?将新知识化成原来学过的知识，是数学中常用的转化思想.做一做(4)x²+x-=0.思路一【课件展示】根据完全平方公式填空：【思考】即=1,[设计意图]通过复习利用完全平方知识填空，学生归纳、猜想、验证二次项系数为1解决过程同思路一.的目的【课件展示】【思考】你能归纳出配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤吗?【课件展示】例题讲解【课件展示】所以x1=11,x2=-1.所以x1=-1+,X2=-1-.【课件展示】对于方程2x²+4x+1=0,如何用配方法求解呢?(观察方程移项后，二次项系数不为1,所以不能直接配方)(二次项系数不为1)(3)如何把二次项系数化为1?(根据等式的基本性质，方程两边同时除以二次项系数可得)(4)根据上边的分析，尝试完成解方程.二次项系数化为1,得x²+2x=-,配方，得x²+2x+1=-+1,结能力.【课件展示】得x²-3x=-配方，得x²-3x+-,所以x1=,X2=质将方程两边都加上一次项系数一半的平方(二次项系数必须为1).的形式.配方为了降次，利用平方根的定义把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解. 3课堂小结这种解一元二次方程的方法叫做配方法.2.解一元二次方程的基本思路：降次——把一元二次方程化为(x+h)²=k(k≥0)的形式后检测反馈1.若代数式2x²-6的值为12,则x的值为()故选C.C.x²+8x+4²=1答案：93a(4)9y²-18y-4=0.(3)移项，得x²+2x=3,两边同时加1,得x²+2x+1=4,配方得(x+1)²=4,∴x+1=2或x+1=-2,∴x1=1,x2=-3.板书设计试着做做做—做例题讲解布置作业教材作业【必做题】教材第39页习题A组第1,2,3题.【选做题】教材第40页习题B组第1,2题.课后作业【基础巩固】【能力提升】【拓展探究】X²+X=-,...第一步X=,.第五步的求根公式是【答案与解析】3.x1=9,x2=-3(解析：系数化为1,得(x-3)²=36,直接开平方，得x-3=±6,x-3=6或4.x1=1,x2=-5(解析：移项，得x²+4x=5,两边同时加4,得x²+4x+4=9,配方得3-2x=-,∴X₁=,X2=.(3)∵x²+6x(4)∵x2-2x=-3,∴x²-2x+3=0,∴(x-)²=0,∴(5)∵3x²+2x=1,∴x²+X=,∴X²+X+,,∴X+=±,∴X1=,X2=-1.是移动时间不能是负值.所以2秒后△PBQ的面积等于8cm².成功之处生命活力.本节课知识的归纳总结是学生在老师的引导下完成，培养同时学生的数学思维得到了培养.)不足之处印象.再教设计方根的概念解特殊的一元二次方程，再通过探究二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，很自然地探究二次项系数为1的一元二次教材习题解答练习(教材第39页)(3)x1=-9,X2=1.(4)x1=X2=1.习题(教材第39页)(4)x₁=,X2=.B组1.解：设较小的正整数为x,则较大的正整数为x+1.根据题意，得x(x+1)=156,解得时发现问题并加以引导，通过学生的合作交流经历知识的形成过程，从而突破本节课的难点并让学生体会成功的喜悦，同时培养了学生状.第二课时 整体设计知与技能知与技能3.熟练地使用求根公式解一元二次方程过程与方法过程与方法生的数学建模意识.内在美.【难点】一元二次方程求根公式的推导过程.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P40~42.教学过程 导入一导入二：即=-,[设计意图]通过数学家的故事，激发学生学习数学的兴趣，激发学生学习本节课的求知欲；通过对旧知识的回顾，学生再次经历了配方法解方程的全过程，为本节课配方法探究一元的思维，为后面的探索奠定了良好的基础问题2共同探究一用配方法解方程ax²+bx+c=0(a≠0)平方形式.思路一于是，得到课件展示推导过程，有错误的学生及时改正.方程中的二次项系数化为1,得x²+x=-.配方，得x²+x+=-共同探究二一元二次方程的求根公式一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)配方后的方程一定有根吗?X1=,X2=.=0.X1=X2=-.【思考】对于一元二次方程ax²+bx+c=0:我们把b²-4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0根的判别式.做公式法.解.通过例题检验一下学习情况吧.例题讲解【课件展示】(3)2x²-4x+5=0.示解答过程.2(教材41页例4)用公式法解下列方程：(2)x²-2x-5=0.学生展示答案后教师点评规范解题过程.即x1=1+,X2=1-度.[知识拓展]公式法解一元二次方程的一般步骤： 3课堂小结根公式. 根?(3)5x+2=3x2.共同探究一用配方法解方程ax²+bx+c=0(a≠0)共同探究二一元二次方程的求根公式 教材第42页习题A组第1,2题.教材第42页习题B组第1,2题.1.下列方程中没有实数根的是()A.x²+x-1=0B.x²+x+2=0A.a≥2B.a≤26.关于x的一元二次方程(k-1)x²+2x-2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围【能力提升】9.已知关于x的方程x²+(1-m)x+=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值周长.【拓展探究】时元收费.(2)下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况.月份交电费总金额(元)34【答案与解析】般形式3x²-2x+1=0;∵a=3,b=-2,c=1,∴b²-4ac=(-2)²-4×3×1=0,∴x1=X2=.(3)将方程化4+2.元.(2)依题意得值为50千瓦时. 教学反思本节课的主要内容是探究一元二次方程根的判别公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模题及解决问题的能力真正得到提升.教材习题解答练习(教材第42页)习题(教材第42页)A组(5)整理，得3x²+2x-2=0,这里相等的实数根.(2)解方程9+8k=0,得k=-,即k=-时，方程有两个相等的实数根.(3)解不等 备课资源教学建议求根公式解方程.在解决这个问题的过程中，让学生3.解一元二次方程是建立在解一元一次方程的基础之 (2)若方程的两个实数根分别为xi,X2 整体设计知识与技能知识与技能2.会用因式分解法解一元二次方程的思想方法.【重点】会用因式分解法解一元二次方程.【学生准备】预习教材P43~44.教学过程 导入一错点.【课件展示】一个正方形蔬菜园需修整并用篱笆围住，修整蔬菜园的费用是30元平学生思考如何解方程?解：设这个正方形蔬菜园的边长为x米，根据题意可得30x²=15×4x,化简可得x²-2x=0.配方法或公式法可以解这个方程.通过复习因式分解等有关知识，有利于学生熟练正确地将多项式进行因式 [过渡语]除配方法和公式法以外，能否找到更简单的方法解这个方程?对于导入二中的方程x2-2x=0,除了可以用配方法或公式法求解，还可以怎样求解呢?思路一于是得X(x-2)=0.方程X²-2x=0的两个根为x1=0,x2=2.点评.思路二(2)如果AB=0,那么(3)尝试将方程左边分解因式，能不能达到降次的目的?即x=0或x-2=0.通过观察小亮的解法或者在教师引导下观察方程的特点，通过分解因式达到降次的目的，从而求出方程的解，让学生亲自经历知识的形成过程，培养学生观察问题、分析问题及解决问题的能力.1.上述解方程的方法第一步是如何变形的?2.上述解法中如何达到降次的目的?3.什么样的方程适合用这种方法求解?【课件展示】把一元二次方程的一边化为0,另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.追问：你能总结因式分解法解方程的步骤是什么吗?【课件展示】因式分解法解一元二次方程的步骤：做一做范书写过程.例题讲解(教材43页例5)用因式分解法解下列方程：x1=1,x2=.得x+12=0或x-2=0.法.【师生活动】(4)(3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2).解方程.C.x1=0,x2=-2D.x₁=0解析：移项得(x-3)(x-6)-(x-3)=0,方程左边提公因式得(x-3)(x-6-1)=0,即x-3=0或的周长为3+4+6=13.故填13.3x-2=0∴x1=-,X2=.第3课时布置作业教材第44页习题A组第1,2,3题教材第44页习题B组第1,2题.【基础巩固】角形.的解为8.若关于x的一元二次方程(m-1)x²+3m2x+(m+3)(m-1)=0有一个根是0,则m的值为10.为解方程(x²-1)²-5(x²-1)+4=0,我们可以将x²-1视为一个整体，然后设x²-1=y,则到了降次的目的，体现了转化的思想.(x+2+5)(x+2-5)=0,即(x+7)(x-3)=0,解得x-2.)7.解：(1)移项，得3(x+2)-5x(x+2)=0,因式分解，得(x+2)(3-5x)=0,∴x+2=0或8.C(解析：把x=0代入方程可得(m+3)(m-1)=0,所以m=-3或m=1,又因为二次项系数m-1(2)(x²-4)(x²+1)=0,(x+2)(x-2)(x²+1)=0,∴x1=-2,x2=2.教学反思不足之处人学到有价值的数学.再教设计教材习题解答练习(教材第44页)习题(教材第44页)(3)x1=-,X2=-1.(4)x1=2,x₂=4.(3)x1=5,x2=1.(4)x1=-5,x2=6.长分别为6cm,8cm.B组则方程的另一个根为1.)教学建议利用因式分解降次解一元二次方程1.本节课的重点是用因式分解法解一元二次方程，解法的基本思路是通过“降次”将一题三角形的每条边的长都是方程x²-6x+8=0的根，求这个三角形的周长.角形的周长.的三边长是4,4,4时，则周长是12;当三角形的三边长是2,2,4时，2+2=4,不符合三角形的三长是6或10或12.24.3一元二次方程根与系数的关系* 整体设计知识与技能知识与技能过过程与方法1.通过学生探究发现根与系数的关系，培养学生的观察思考、归纳概括能力和探究精神.3.让学生经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展推理能力，培养创新精神教学重难点【重点】1.一元二次方程的根与系数的关系.2.能根据根与系数的关系解决有关问题【难点】探究一元二次方程的根与系数的关系的过程.教学准备【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P45~46.教学过程1新课导入导入一抛出的重物总会落下——万有引力定律(牛顿);电路中的电流、电压、电阻存在一定关边a,b,c满足关系：a²+b²=c²——勾股定理(毕达哥拉斯),那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢?今天共同去探究，感受一次当科学家的味道.复习提问：1.解一元二次方程的方法有几种?如何选择解一元二次方程的方法?x²-5x+6=0的形式，所以方程x²-5x+6=0的两根为【课件展示】方程【师生活动】学生独立完成回答，教师对学生的答案作出点评.让学生感受到数学和其他学科一样，里边有很多有价值的规律等待我们去根与系数之间的关系做好铺垫.新知构建探究猜想一元二次方程根与系数之间的关系用式子表示你发现的规律吗?【师生活动】小组讨论，共同探究，教师适时引导方程两根的和与积与系数之间的关系一起探究二验证一元二次方程根与系数之间的关系思路二【课件展示】==-,X1·X2=·=.X1+X2=-,X1·X2=.(2)3x²+4x-7=0.2.利用根与系数之间的关系可以不解方程而求出与根有关的一组代数式的值.比如=(x₁+X2)²-2x₁x2,(xi+a)(x₂+a)=X1X2+a(xi+X2)+a²等. 3课堂小结1.一元二次方程根与系数的关系式如何推导的?5.已知方程x²-6x+m²-2m+5=0的一个根为2,求另一个根及m的值.∵方程的一个根为2,∴方程的另一个根为4,6.已知关于x的一元二次方程2x²+4x-3=0的两个解为x1和X2.(1)=(xi+x₂)²-2x₁X2=(-2)²-2×=4+3=7. 一起探究一猜想一元二次方程根与系数之间的关系一起探究二验证一元二次方程根与系数之间的关系例题讲解 教材第46页习题A组第1,2题.【选做题】教材第46页习题B组第1,2题.(2)x2+X1.的周长.不能构成三角形；当腰为7时，设x1=7,代入方程或15,:7+7<15,不能组成三角形；当m=4时方程变为x²-10x+21=0,解得x=3或7,此时三角形的周长为7+7+3=17. 教学反思成功之处不足之处任务而上课的感觉.再教设计性思维和探究能力 教材习题解答练习(教材第46页)(2)有两个相等实根，两根之和2,两根之积为1.(3)有两个不等实根，两根之和3,两根之积为2.(4)有两个不等实根，两根之和4,两根之积为0.2.(1).(2)两根的和是1,积是.习题(教材第46页)A组B组数根.当方程的两根互为相反数时，根据题意，得解得k=-1.此时方程整理为x²-1=0,解得x1=1,x2=-1. 备课资源教学建议1.根与系数的关系也称为韦达定理(韦达是法国数学家),它是初中代数中的一个重要定理，通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，对后面函数的学习研究也是作用非凡，通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础2.一元二次方程根与系数的关系是本节课重点，会求与一元二次方程两个根有关的代数次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，给学生充足的时间探究根与系数直接的关系，通过合作交流、共同探究形式经历知识的形成过程，降低了学生学习的难度，易于突破重难点3.通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，可以进一步培养学生的创新意识和创新精神.根据教材内容在教学中注重过程教学，注重创新教学，注重问题意识，关注学生的学习兴趣和经典例题(2)(x1-X2)²=(X1+X2)²-4x₁X2=42-4×2=8.知识与技能知识与技能3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.过程与方法过程与方法建模思想.趣2.进一步培养学生合作的意识和主动探索事物内在联系及变化规律的习惯.教学重难点【重点】列一元二次方程解决应用题整体设计)教学目标知识与技能3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.过程与方法兴趣.2.进一步培养学生合作的意识和主动探索事物内在联系及变化规律的习惯.【重点】列一元二次方程解决与面积有关的应用题.教学过程新课导入导入一【复习回顾】1.三角形、正方形、长方形、平行四边形的面积公式是什么呢?2.解一元二次方程的方法有哪些?【师生活动】教师提问，学生回答.你能求解本章前言中的问题吗?好铺垫，很自然地走进今天的学习内容；创设实际问题的导入，让学生感受建模思想在与面积有关的实际问题中的应用，激发学生学习兴趣.共同探究列一元二次方程解应用题方形包书纸如图所示，它的面积为1260cm²,虚线表示的是折痕.由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形，求正方形的边长.思路一(包装纸的长=书宽+厚1cm+2x,包装纸的宽=书长+2x)题步骤.解：设正方形的边长为xcm,根据题意，得(26+2x)(18.5×2+1+2x)=1260.题中的等量关系式是,设正方形的边长为xcm,则长方形包装纸的长意识长.1.题目中有几个未知量?未知量之间有什么数量关系?(两个未知量，两直角边的和是12)2.设一个未知量为x则另一个未知量怎样用未知数表示?(设一条直角边长为x,则另一条直角边长为12-x)3.直角三角形中直角边和斜边之间的数量关系是什么?答作出点评.3课堂小结2.列方程解应用题的一般步骤：检测反馈所以可列方程x(5-x)=6.故选B.x解析：挂图长为(60+2x)cm,宽为(40+2x)cm,所以根据矩形的面积公式可得地毯的面积是40平方米，则花边的宽为米.舍去),所以花边的宽度为1米.故填1.地的长是m.5.某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000平方米，施工队在绿化了22000平方米后，将每天的工作量变为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程.(2)该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相根据题意得-=4,答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米.(2)设人行道的宽度为x米，根据题意得(20-3x)(8-2x)=56,答：人行道的宽为2米.第1课时教材第48页习题A组第1,2题.【选做题】教材第49页习题B组第1,2题.课后作业【基础巩固】2.有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的宽比第一块的长少2m,长是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m²,这两块木板的长和宽分别是()A.第一块木板长18m,宽9m,第二块木板长16m,宽27m(第6题图)(第7题图)(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米?(2)能否使所围的矩形场地的面积为810平方米?为什么?9.小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形.(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm².”他的说法对吗?请说明理【拓展探究】【答案与解析】方形铁片的面积是8×8=64(cm²).故选C.)宽6m,第二块木板长18m,宽10m.故选B.)矩形场地面积为750m²;或当平行于墙面的边长为30m,邻边长为25m时矩形场地面积为为810m²的矩形场地.设AA'=x;则阴影部分的底长为x,高A'D=12-x,∴x(12-x)=32,:∴,x=4或8,即AA'=4或8.故填4或8.)58,解得x₁=12,x2=28,.∴较短的这段为12cm,较长的这段就为28cm.(2)设剪成的较短的长的这段就为(40-m)cm,由题意，得=48,变形为形的面积之和不可能等于48cm². 教学反思的应用意识和数学建模思想.通过复习解一元二次方程的方法及用方程解应用题的一般步骤，不足之处再教设计教材习题解答练习(教材第48页)习题(教材第48页)A组组邻边长是5和20.B组得x(35-2x)=150,整理，得2x²-35x+150=0.解这个方程，得x=10,x2=.当x=10 备课资源强化学生对建立方程模型的过程体会和认识，培养学生从多角度思考和分析、解决实际问题2.在解决生活实际问题中，学生通过“审题--寻找等量关系-列经典例题研题某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店念品共获利1250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元?求出即可.200(10-6)+(10-x-6)(200+50x)+[(4-6)(600-200整理得x2-2x+1=0,答：第二周的销售价格为9元. 整体设计知与技能3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.过程与方法过程与方法建模思想.兴趣.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P49~50.教学过程导入一多少?的一元一次方程引入新课，为本节课建立一元二次方程的数学模型解决增长率的实际问题打 [过渡语]我们刚才用一元一次方程知识解决了简单的[过渡语]我们刚才用一元一次方程知识解决了简单的增长率问题，今天我们继续学习和增长率有关的应用问题.【课件展示】随着我国汽车产业的快速发展以及人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入普通家庭.据某市交通部门统计，2010年底，该市汽车保有量为15万辆，截至(1)2011年底比2010年底增加了万辆汽车，达到了万辆.(2)2012年底比2011年底增加了万辆汽车，达到了万辆.解方程得x₁=0.2,x2=-2.2(不合题意舍去).答：这个增长率为20%.拓展提问：如果增长率不变，2013年底，该市汽车保有量达到多少万辆?(1)基数是a,增长率为x,则第一年增长多少?增长到多少?第二年增长多少?增长到多少?(2)本题中有哪些数量关系?(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程?(4)根据等量关系列方程并求解.解方程得x1=0.2,x₂=-2.2(不合题意舍去).答：这个增长率为20%.如果增长率不变，则2013年底该市汽车保有量为21.6×(1+20%)=25.92(万辆).[设计意图]把分析问题的过程设置成小问题的形式，通过教师的引导或者小组合作交做一做【思考】(工业废气年排放量300万立方米减少两次=144万立方米)例题讲解【课件展示】是(教材49页例3)建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径.经过市场调查发现：【课件展示】整理，得10x²+3x-18=0.解方程，得x1=1.2,x2=-1.5(不合题意，舍去).一审、二设、三找、四列、五解、六答最后要检验根是否符合实际意义.1.某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为49万元x,则可列方程为()2.为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是()为289(1-x)²,由题意得289(1-x)²=256.故选A.3.学校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底增加到7200平方米，则这两年的年平均增长率为解析：设这两年的年平均增长率为x,根据题意得5000(1+x)²=7200,即(1+x)²=1.44,开20%.故填20%.4.某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.5.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1320元，求这种存款方式的年利率解析：设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x;第二次存，本金就变为1000+2000x,其他以此类推.解：设这种存款方式的年利率为x,由题意，得[2000(1+x)-1000](1+x)=1320,答：这种存款方式的年利率为10%.第2课时一起探究一元二次方程解增长率问题例题讲解教材第50页习题A组第1,2题.教材第51页习题B组第1,2题.2.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个每月的增长率为x,那么x满足的方程是()4.某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率.设平均每次降价的百分率为x,可列方程为一次降价20%,降价后这种商品的价格是一【能力提升】【拓展探究】书阅读量(单位：本)进行了调查，2012年年增加10%,2014年全校学生人数比2013年增加100人.(1)求2014年全校学生人数.(2)2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本阅读总量比2012年增加1700本.(注：阅①求2012年全校学生人均阅读量；②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2013年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a,2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a,那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%,求a的值.故选B.)解得x₁=0.2,x₂=-2.2(不合题意，舍去),即这两年同期旅游总收入的年平均增长率约为20%.故选C.)(2)225+225×(14-5)+[225+225×(14-5)]×(14-5-5)=11250(人).答：共有11250人患病7.解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x,根据题意得1+(1+x)+(1+x)²=3.31,去括号得1+1+x+1+2x+x²=3.31,整理，得x²+3x-0.31=0,解得人数为1100+100=1200(人).(2)①设2012年全校学生人均阅读量为x本，则2013年全全校学生人均阅读量为6本.②由题意，得2012年读书社的人均阅读量为 教学反思成功之处形成积极主动的求知态度.不足之处教材习题解答练习(教材第50页)舍去),所以每个月的增长率为20%.习题(教材第50页)A组1.解：设年平均增长率为x,根据题意，得1000(1+x)²=1322.5,解这个方程，得x1=0.15,x2=-2.15(不合题意，舍去).即年平均增长率为15%.0.34=34%.即第一次降价的百分率约为34%.2.解：设前年的利润率为x,则去年的利润率为x+0.1.根据题意，得去),x=0.25=25%,所以x+0.1=0.25+0.1=0.35=35%.即前年和去年的利润率分别为25%和35%. 备课资源一元二次方程是初中数学中最重要的数学模型之一，通过建立一元二次方程模型解决实应用意识.经典例题2013年投资1000万元，预计2015年投资1210万元.若这两年内平均每年投资增长的百分率相同.(2)已知河道治污每平方米需投入400元，园林绿化每平方米需投入200元，若要求2015年河道治污及园林绿化总面积不少于35000平方米，且河道治污费用不少于园林绿化费用的由题意得1000(1+x)²=1210,解得190≤y≤242.答：园林绿化的费用不少于190万元且不多于242万元.第课时 整体设计教学目标过程与方法过程与方法的建模思想.情能态度与价值观情能态度与价值观教学重难点【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P51~52. 教学过程导入一【师生活动】学生回答，教师点评.[设计意图]通过复习旧知识及讨论足球单循环赛问题，为继续学习一元二次方程的应[过渡语]我们知道了什么是单循环赛，让我们一起探究下面足球[过渡语]我们知道了什么是单循环赛，让我们一起探究下面足球单循环赛的问题吧!思路一设应邀请x支球队参加比赛.(2)用含x的代数式表示比赛的总场数为于是可得方程【师生活动】学生独立思考后小组合作交流，教师点评并分析如何建立一元二次方程根据题意可得x(x-1)=28,化简得x²-x=56,答：应邀请8支球队参加比赛.思路二师及时补充.解：设应邀请x支球队参加比赛，则每支球队要与其他(x-1)支球队各赛一场.化简得x²-x=56,的过程，感受数学在实际生活中的应用，同时提高学生分析问题、解决问题的能力.购买数量不超过80个，按标价收费；一次购买数量超过80个，每多买1个，所购路灯每个可降价8元，但单价最低不能低于3200元/个若一顾客一次性购买这样的路灯用去516000元思路一(2)若顾客一次性购买路灯用去516000元则所买路灯数量80个.(6)解方程，并检验根是否都符合题意.【师生活动】学生在教师的引导下分析，对问题(3)可进行小组讨论交流，然后独立完成解：因为4000×80=320000<516000,所以该顾客购买路灯数量超过80个.设该顾客购买这种路灯x个，则路灯的售价为[4000-8(x-80)]元/个当x=430时，4000-8(x-80)=4000-8×(430-80)=1200(元),低于3200元.不合题意，舍去.答：该顾客实际购买了150个路灯.思路二【思考】(4)解方程，并检验答案是否符合题意.【师生活动】小组合作交流，共同探究，教师在巡视过程中帮助有困难的学生，学生展示解题过程，教师规范解题格式.解：因为4000×80=320000<516000,所以该顾客购买路灯数量超过80个.当x=430时，4000-8(x-80)=4000-8去.答：该顾客实际购买了150个路灯.在共同分析、解答的过程中提高学生分析问题及解决问题的能力.经销商以21元/双的价格从厂家购进一批运动鞋，如果售价为a元双，那么可以卖出这种运动鞋(350-10a)双.物价局限定每双鞋的售价不得超过进价的120%.如果该商店卖完这批鞋赚得400元，那么该商店每双鞋的售价是多少元?这批鞋有多少双?【课件展示】化简可得a²-56a+775=0,解得a=25或a=31,因为售价不得超过进价的120%,即21×120%=25.2(元),共卖出350-10×25=100(双).答：该商店每双鞋的售价是25元，这批鞋有100双.比赛总场数=x×(x-1)÷2(x为球队个数).易错点是列方程时忽略除以2.1.某生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一182件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是()舍去).故填7.2100元?化简得X²-35x+300=0,解得x1=15,x2=20,选x=20.板书设计一起探究一元二次方程解单循环赛问题例题讲解布置作业一、教材作业【必做题】教材第52页习题A组第1,2题.【选做题】教材第52页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3,则这个两位数是C.25或36D.-25或-36x(元)满足关系：p=100-2x若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，则每件商品的售价应定为元.发送短信号个瓷份就母大去出价每上原免，其镇售查得满少m个观定除不地想过进物的1411%响小事【能力提升】8.某批发商以每件50元的价格购进800件T时间第一月清仓时单价元销售量件【拓展探究】9.有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售.甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，以此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销.某单位需购买一批图形计算器.(2)若此单位恰好花费7280元在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，那么是在哪家公司购买的?数量是多少?【答案与解析】2.40(解析：根据题意得(x-30)(100-2x)=200,整理得x²-80降价20元.解得x₁=4,x2=6.物价局规定，售价不能超过进价的240%,即2×240%=4.8(元).∴x2=6不合意，舍去).故选C.)8.解：(1)第二列：80-x200+10x第三列：800-200-(200+10x)(2)根据题意，得70元.9.解：(1)由题，800-20×12>440,在甲公司购买12台图形计算器需要用75%×800×12=7200(元),7200>6720,:∴应去甲公司购买花费较少费75%×800x=600x元.①若该单位是在甲公司花费7280元购买的图形计算器，则有800-20×14=520(元),520>440,符合题意；当x2=26时，每台单价为800-20×26=280(元),280<440,不符合题意，舍去.②若该单位是在乙公司花费7280元购买形计算器，买了14台 教学反思成功之处高分析问题、解决问题的能力及数学思维能力.同时以生活中的足球赛问题和销售问题为背不足之处大部分学生对本节课的实际问题的解决有困难，在教学过程中教师虽然设计了一些小问再教设计力和应用数学解决实际问题的能力.教材习题解答练习(教材第52页)21×120%=25.2(元),所以应取a=25,400÷(25-21)=100(双).即每双鞋售价25元，这批鞋有100双.习题(教材第52页)A组即这种奶糖的销售单价应定为22元/千克解这个方程，得x₁=80,x₂=120.即销售单价定为80元/件或120元/件.即销售单价定为8元/千克或12元/千克.(2)销售单价定为8元/千克复习题(教材第55页)A组(6)x₁=1,X2=.5.解：设最短的一条边长为x,则另两条边长分别为x+1,x+2.根据题意，得6.解：设个位数字为x,根据题意，得10(x-2)+x=3x(x-2),整理，得3x²-17x+20=0.解得x1=4,x2=(舍去),则这个数是24.去),即菜园的边长为12米.8.解：设月增长率为x,根据题意，得25+25(1+x)+25(1+x)²=91,整理，得x²+3x-=0.解得x1=0.2,x2=-3.2(舍去).即月增长率为20%.x1=10,x2=15.即每件降价10元或15元1.(1)x1=-,X2=.(2)y=,y2=.(32.解：设月平均增长率为x,根据题意得500(1-10%)(1+x)²=648,整理，得(1+x)²=1.44.解得x₁=0.2,x2=-2.2(舍去).即月平均增长率为20%.即平均每年折旧率为10%.C组即生产的是第5档次的产品. 备课资源程模型解决单循环赛问题和销售中的利润问题，可以使学生更深入地体会数学与现实世界的题某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出解即可.解：由题意得200×(10-6)+(10-x-6)(200+50x)+(4-6)[600-200-(200+50x)]=1250解得x1=X2=1,本/章/复/习/教/案 的重要模型.的一元二次方程的实际问题.迫程与方法的兴趣.解决问题的意识.【重点】一元二次方程及其有关的概念；解一元二次方程；建立一元二次方程的数学模型解决实际问题数量关系程解应用题等量关系验根专题讲解(2)m为何值时，此方程是一元二次方程?并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.〔解析〕方程的二次项系数为0,一次项系数不为0时，方程为一元一次方程；方程的二次项系数不为0时，方程为一元二次方程.这个方程的二次项系数为m²-1;一次项系数为1-m;常数项为m-2.例2若关于x的一元二次方程ax²+bx+5=0(a≠0)的根是x=1,则2015-a-b的值是b(b-a+1)=0,∵-b≠0,:.b-a+1=0,∴a-b=1.故选A.专题二解一元二次方程法，需要依据方程的特点进行选择.(5)2x²-4x=1.解简便；(5)方程的系数没特殊特点，移项后用公式法求解即可.【针对训练3】(2015重庆中考)一元二次方程x²-2x=0的根是()C.x1=1,x2=-2D.x1=0,x-2=0,:x₁=0,x2=2.故选D.〔解析〕观察方程发现左边两个因式中都含有4a+4b,所以可以应用整体思想求解，x1=1,x2=-,即a+b=-或a+[方法归纳]解一元二次方程时，要根据方程的特点灵活选择解方程的方法，形如专题三一元二次方程根的判别式【专题分析】A.k>-1B.k≥-1〔解析〕根据题意可得b²-4ac=4+4k>0,解得k>-1,因为一元二次方程二次项系数不为0,所以k≠0.故选D.【针对训练5】已知a,b,c是△ABC的三边长，且方程a(1+x2)+2bx-d(1-x²)=0的两根4b²-4(a+c)(a-c)=4b²-4a²+4c2=0,所以b²+c²=a2,根据勾股定理的逆定理可判定该三角形【针对训练6】(北京中考)已知关于x的方程mx²-(m+2)x+2=0(m≠0).整数，∴正整数m的值为1或2.系数含有字母，易忽略讨论二次项系数为0的情况2.如果一元二次方程有两个实数根，此时分有两个相等的实此时判别式≥0,易忽略等于0的情况.专题四根与系数之间的关系+7=19.故选A.[解题策略]该题综合考查了一元二次方程根的概念和根与系数之间的关系，将所求代的值.解得k₁=10,k₂=-2,∵当k=10时，该一元二次方程根的判别式小于0,[方法归纳]应用一元二次方程根与系数之间的关系解决问题时，要把方程化成一般形式，求出两根之和(积),常常用整体思想代入进行有关的计算.与两根之和(积)有关的几个式子的变形是：=(xi+X2)²-2x₁x2;利用根与系数之间的关系求字母的值时，易忽略考虑满足判别式大于等于0的值才符合题意.专题五建模思想在一元二次方程中的应用建模思想是在解决实际问题时，通过对已知和所求的分析，建立和数学知识的联系，转化为相应的数学问题，从数学的角度找出问题的答案，从而使问题得以解决的一种思想方法.一元二次方程是刻画数量关系的重要数学模型.现实生活中，许多问题中的数量关系可以抽象为例6某旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准(如图所示):如是人氧对过23人如是人氧对过23人母过1人，人均施将壹用序孤九，恒人均雅师曹用下低于30克某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树